第5讲 相交线与平行线.docx
- 文档编号:27889445
- 上传时间:2023-07-06
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:165.87KB
第5讲 相交线与平行线.docx
《第5讲 相交线与平行线.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第5讲 相交线与平行线.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第5讲相交线与平行线
第五讲相交线与平行线
【基础知识归纳】
摘要:
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;⑵如果
是对顶角,那么一定有
;反之如果
,那么
不一定是对顶角,⑶如果
互为邻补角,则一定有
;反之如果
,则
不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
1.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征。
(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
联系:
都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
1.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵
∥
,
∥
∴
∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
1
如图,判断下列各对角的位置关系:
⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
典型例题:
判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答:
⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。
“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏。
⑵正确
⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。
因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。
典型例题:
如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?
解答:
⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行;
⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;
⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。
1.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意:
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
3、命题:
⑴命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……,那么……”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。
对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。
注意:
命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
典型例题:
已知∠1=∠B,求证:
∠2=∠C
证明:
∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,
两直线平行)
∴∠2=∠C(两直线平行
同位角相等)
注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。
典型例题:
如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°
求∠2、∠3的度数
解答:
∵DE∥BC(已知)
∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥DF(已知)
∴AB∥DF(已知)
∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°
1.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
典型例题:
如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,那么:
⑴点A的对应点是点_________;⑵点B的对应点是点______。
⑶点_____的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段_______;
⑸线段BC的对应线段是线段_______;⑹∠A的对应角是______。
⑺____的对应角是∠F。
解答:
⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB。
思维方式:
利用平移特征:
平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答。
【例题精讲】
一.选择题
1.(2012临沂)如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠1=40°,则∠2的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
考点:
平行线的性质;直角三角形的性质。
解答:
解:
∵AB∥CD,DB⊥BC,∠1=40°,
∴∠3=∠1=40°,
∵DB⊥BC,
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°.故选B.
2.(2012张家界)如图,直线a、b被直线c所截,下列说法正确的是( )
A.当∠1=∠2时,一定有a∥bB.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b
考点:
平行线的判定;平行线的性质。
解答:
解:
A.若∠1=∠2不符合a∥b的条件,故本选项错误;
3.(2012中考)如图,直线a∥b,直线c与a,b相交,∠1=65°,则∠2=( B )
A.115° B.65° C.35° D.25°
4.(2012山西)如图,直线AB∥CD,AF交CD于点E,∠CEF=140°,则∠A等于( )
A.35°B.40°C.45°D.50°
考点:
平行线的性质。
解答:
解:
∵∠CEF=140°,
∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°,
∵直线AB∥CD,
∴∠A∠FED=40°.
故选B.
5.(2012潜江)如图,AB∥CD,∠A=48°,∠C=22°.则∠E等于( )
A.
70°
B.
26°
C.
36°
D.
16°
考点:
平行线的性质;三角形内角和定理。
分析:
由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠1的度数,又由三角形外角的性质,即可求得∠E的度数.
解答:
解:
∵AB∥CD,∠A=48°,
∴∠1=∠A=48°,
∵∠C=22°,
∴∠E=∠1﹣∠C=48°﹣22°=26°.
故选B.
点评:
此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质.此题比较简单,注意掌握两直线平行,内错角相等定理的应用.
6.(2012十堰)图,直线BD∥EF,AE与BD交于点C,若∠ABC=30°,∠BAC=75°,则∠CEF的大小为( D )
A.60° B.75° C.90° D.105°
【考点】平行线的性质;三角形内角和定理.
【专题】探究型.
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠1的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵∠1是△ABC的外角,∠ABC=30°,∠BAC=75°,
∴∠1=∠ABC+∠BAC=30°+75°=105°,
∵直线BD∥EF,
∴∠CEF=∠1=105°.
故选D.
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质,熟知两直线平行,同位角相等是解答此题的关键.
7.(2012宜昌)如图,将三角尺与直尺贴在一起,使三角尺的直角顶点C(∠ACB=90°)在直尺的一边上,若∠1=60°,则∠2的度数等于( )
A.
75°
B.
60°
C.
45°
D.
30°
考点:
平行线的性质;余角和补角。
分析:
根据题意得:
∠ADC=∠BEF=90°,又由直角三角形的性质,即可求得∠A的值,继而求得∠B的度数,然后求得∠2的度数.
解答:
解:
如图,根据题意得:
∠ADC=∠BEF=90°,
∵∠1=60°,
∴∠A=90°﹣∠1=30°,
∵∠ACB=90°,
∴∠B=90°﹣∠A=60°,
∴∠2=90°﹣∠B=30°.
故选D.
点评:
此题考查了直角三角形的性质.此题难度不大,注意直角三角形中两锐角互余定理的应用是解此题的关键.
8.(2012海南)小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线
上,测得
,则
的度数是【】
A.450B.550C.650D.750
【答案】D。
【考点】平行线的性质,平角定义,对顶角的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵
,∴∠ABn=
。
∴∠ABC=600。
又∵∠ACB=
,∠A=450,
∴根据三角形内角和定理,得
=1800-600-450=750。
故选D。
二.填空题
1.(2012河北)14、如图7,AB,CD相交于点O,AC⊥CD与点C,若∠BOD=38°,则∠A等于______°。
【解析】又对顶角性质和直角三角形两锐角互余,可以求出∠A的度数。
【答案】52
【点评】本题主要考查“对顶角相等”和“直角三角形中两锐角互余”,这两条性质,属于简单题型。
2.(2012义乌市)如图,已知a∥b,小亮把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40°,则∠2的度数为 50° .
考点:
平行线的性质;余角和补角。
解答:
解:
∵∠1=40°,
∴∠3=180°﹣∠1﹣45°=180°﹣40°﹣90°=50°,
∵a∥b,
∴∠2=∠3=50°.
故答案为:
50°.
3.(2012长沙)如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 360 度.
解答:
解:
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°…①,
∵CD∥EF,
∴∠CEF+∠ECD=180°…②,
①+②得,
∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°,
即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
4.(2012宜宾)如图,已知∠1=∠2=∠3=59°,则∠4=.
考点:
平行线的判定与性质。
解答:
解:
∵∠1=∠3,
∴AB∥CD,
∴∠5+∠4=180°,又∠5=∠2=59°,
∴∠4=180°﹣59°=121°.
故答案为:
121°
三.解答题
1.(2012•益阳)如图,已知AE∥BC,AE平分∠DAC.
求证:
AB=AC.
考点:
等腰三角形的判定与性质;平行线的性质;等腰三角形的判定。
专题:
证明题。
分析:
根据角平分线的定义可得∠1=∠2,再根据两直线平行,同位角相等可得∠1=∠B,两直线平行,内错角相等可得∠2=∠C,从而得到∠B=∠C,然后根据等角对等边即可得证.
解答:
证明:
∵AE平分∠DAC,
∴∠1=∠2,
∵AE∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
点评:
本题考查了等腰三角形的判定,平行线的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
2.(2010云南玉溪)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图a,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因∠BOD是
△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D.将点P移到AB、CD内部,如图b,以上结论是否成立?
若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?
请证明你的结论;
(2)在图b中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图c,则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系?
(不需证明);
(3)根据
(2)的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
【答案】解:
(1)不成立,结论是∠BPD=∠B+∠D.
延长BP交CD于点E,
∵AB∥CD.∴∠B=∠BED.
又∠BPD=∠BED+∠D,
∴∠BPD=∠B+∠D.…………4分
(2)结论:
∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.…………7分
(3)由
(2)的结论得:
∠AGB=∠A+∠B+∠E.
又∵∠AGB=∠CGF.
∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°.…………11分
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第5讲 相交线与平行线 相交 平行线