小学数学圆的认识不同时期教材比较研究.docx
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小学数学圆的认识不同时期教材比较研究
浙教版《数学》“圆的认识”不同时期教材比较研究
现在的浙教版小学《数学》教材的前身是《现代小学数学》,《现代小学数学》是在1984年开始使用的一套教材,至今已经快三十年了,这三十年来,教材经过多次修改,不断变化与完善。
教材名称从最初的《现代小学数学》到现在的《数学》,出版社由原来的科学出版社到现在的浙江教育出版社。
但无论教材怎么变化,近三十年来,都是张天孝老师执笔编写这套教材。
始终由一个人执笔编写小学数学教材近三十年,这在我们国家的小学数学教材编写历史上或许是绝无仅有的。
比较这套教材不同时期“圆的认识”的编写特点,可以从一个侧面了解张天孝主编及其团队的教学理念的变化过程,将为我们更好的编写与使用教材起到积极的作用。
1.选取哪些教材进行比较?
本文选取的教材分别是1992年出版的《现代小学数学》实验课本,2003年出版的《现代小学数学》教材,这两种教材都有科学出版社出版。
2008年由浙江教育出版社出版的《数学》教材。
第一种教材是五年制教材,后两种教材都是六年制教材。
(教材详见附录)
2.三种教材把圆的认识教学,安排在哪一个年级?
五年制1992年《现代小学数学》教材把圆的认识安排在第九册,即五上年级进行教学。
六年制2003年的《现代小学数学》教材安排六年级上册学生学习圆的认识。
六年制2008年的《数学》教材把圆的认识安排在四上年级进行教学。
3.三种教材分别是依据哪一个《课标》或《大纲》编写的?
是否把“圆的认识、圆的周长与面积”这三块内容安排在同一册教材中让学生学习?
1992年的《现代小学数学》教材是依据1988年国家颁布的九年制义务教育全日制《小学数学教学大纲》(试行草案)进行编写的。
在1988年颁布的这份大纲中明确规定圆的认识、圆的周长与面积这三块内容都放在五年制的五年级进行教学,这样教材把这三块内容都放在五上年级进行教学也符合大纲的规定。
2003年的《现代小学数学》教材是依据2000年国家颁布的九年义务教育全日制《小学数学教学大纲》(试用修订版)编写的。
在这个大纲中,明确确定六年制六年级学习圆的认识、圆的周长和面积,2003年的教材把这三块内容放在六上年级供学生学习,当然也没有“违纲”。
2008年出版的《数学》教材是依据2001年国家颁布的九年义务教育《数学课程标准》(实验稿)编写的。
在这个课标中,没有明确规定关于圆的相关知识一定要在哪一个年级进行学习,但规定了圆的相关知识要在第二学段进行学习,也就是要在四到六年级进行教学。
2008年的《数学》教材把圆的认识放在四上年级进行学习,而把圆的周长与面积放在六上年级进行学习。
也就是说,把这三块内容不是放在同一册教材中进行教学,而是分散在四年级上册和六年级上册这两册教材进行教学。
我们可以从本书第二章中知道,把分三块内容分开编写在我们国家的历史上也曾出现过。
早在1932年发布的《课标》中,就比较具体地,提出了在不同的年级学习圆的不同知识:
第一、二学年作业要项:
三角形,圆形,方形的认识。
第三、四学年作业要项:
圆和椭圆的认识。
第五、六学年作业要项:
圆周长和圆面积的计算。
这是一个有意思的历史重现,如果要问为什么要这样编写,在不同的历史时期一定会有不同的理由。
从笔者的调查中发现,我们大陆地区从1949年以来至今,其他各套教材均没有出现过圆的认识、圆的周长与面积这三块内容分开编写的情况。
4.2008年的《数学》教材为什么要把“圆的认识”安排在四上年级进行教学?
2008年的《数学》教材把“圆的认识”教学放在四上年级进行,主要有以下几点理由:
(1)学生对圆这个图形有着十分丰富的感性认识;
在四年级正式学习圆的特征前,学生已经有许多机会认识圆,在实现生活中,在儿童的玩具中,常常有圆形,而在众多的平面图形中,圆是最容易直观认识的,笔者在幼儿园大班调查,给幼儿纸质的长方形、三角形、平行四边形、梯形和圆这五个平面图形,问他们这些图形叫什么名字,百分之百的幼儿能够说出圆的名称。
也就是知道这五个图形中,哪一个是圆形。
(2)在一年级时,学生已经直观的认识了圆。
在学校的数学教学中,根据2011年颁布的《课标》,在第一学段也要认识圆。
2008年出版的浙教版《数学》教材,已经在一年级时,进行了圆的直观认识,学生已经从原来的一些经验的基础上,进一步对圆有了认识,并且在直观认识其他的平面图形时,对圆的特殊性也会有更好的认识,这些经历都将为四年级学习圆的特征打下良好的基础。
(3)有利于学生形成良好的知识结构;
在四年级让学生学习圆的认识,可以让学生早一点认识到象三角形、平行四边形和梯形这样的平面图形都是“直线型”。
而象圆这样的平面图形是“曲线型”。
认识到平面图形可以分成“直线型”和“曲线型”两大类,是学生认识上进一步完善,这样的教学有利于学生形成良好的知识结构。
(4)先学习“两点之间的距离”为学习圆的特征奠定了数学上的基础。
我们注意到2008年的浙教版《数学》教材,在圆的认识以前,出现了“两点间的距离”这样一节教材。
这一内容也是一般教材没有的,在这一节教材中,让学生学习什么叫两点间的距离,并讨论一点在运动时,与另一个点的距离等等问题。
教材还出现了以下类型的习题:
我们可以看到,学习上面的这些内容,对认识圆,揭示圆的本质特征,即圆是由一条曲线围成的封闭图形,这条曲线上的点到圆心的距离都相等。
无疑是十分有帮助的。
(5)为进一步学习“旋转”变换奠定良好的知识基础。
大家知道,2001年颁布的《课标》中,加强了图形的变换的教学。
“旋转”是新增加的教学内容。
在“旋转”这一内容的学习时,会要求学生能够画出一个图形旋转多少度后的图形。
如果我们分析一下思维过程,就会知道,一个图形的旋转,可以看成是组成图形的点的旋转。
而图形中点的旋转是绕着旋转中心的,所以图形的旋转,实质上是点围绕一个固定点的旋转。
应用圆的概念自然对理解图形的旋转有帮助,运用圆规去解决图形的旋转问题会更方便。
我们来分析一个具体的旋转问题,一定会使我们更明白其中的道理,例如,下面的问题:
想一想,画一画。
长方形ABCD绕着A点向顺时针方向旋转90度后的位置。
象这样的问题看上去很简单,但实质上小学生要能解决这样的问题还是有一定的困难的。
事实上他们需要考虑:
要确定旋转长方形ABGD后的位置,就要确定旋转后B、C、D的位置。
进一步要考虑:
①线段AB绕A点,向顺时针方向旋转90度后,B点应该在哪个位置?
(应该到G点的位置)②线段AC绕A点,向顺时针方向旋转90度后,C点应该在哪个位置?
(应该到E点的位置)③线段AD绕A点,向顺时针方向旋转90度后,D点应该在哪个位置?
(应该到F点的位置)从这个分析中可以知道,学生要能够解决长方形旋转的问题就要先解决线段旋转的问题。
也就是说下面的问题是基础:
想一想,画一画。
线段AB绕着A点向逆时针方向旋转45度后,先画出线段AB的位置。
并画出B点经过的路线。
如果是旋转90度呢?
以A点为端点,AB为角的一边,用量角器量出45度的角,AM就是AB旋转后的位置。
再以A为圆心,以AB长为半径画圆,曲线BM就是B点经过的路线。
线段AN是AB旋转90度后的位置。
曲线BN是B点经过的路线。
由以上的分析可知,2008年的浙教版《数学》教材,把圆的认识的教学放在深入研究旋转这一内容以前学习,也就是在四上年级进行教学有一定的道理。
从某种意义上说,“圆的认识”内容这样进行编排,体现了张天孝主编及其团队成员与时俱进的编写观念与行为。
5.“圆的认识”这一内容三种教材分别是按照怎样的顺序进行编写的(教材的结构是怎样的)?
虽然这三种教材都是主编张天孝老师领导下编写的,但由于处在不同的时期编写,会有不同的结构呈现,我们可以通过对整体结构的了解,看一看这套教材在不同时期的变化。
1992年教材的编写顺序如下:
(1)出示一个园林工人画圆的图,并阐述园林工人画圆的过程;
(2)让学生想,体育老师如何在操场上画圆;(3)用圆规画圆;(3)给出圆心、半径、直径等概念;(4)给出圆周长与圆面积的概念;(5)在一个圆内画出一些线段,判断是半径或直径。
(6)半径与直径的属性(分别相等,条数无限)及两者的关系;(7)练习题。
2003年教材的编写顺序如下:
(1)用图钉、线和铅笔画圆;
(2)出示一些实物图,让学生找圆;(3)用圆规画圆;(4)描述性地给出圆的含义;(5)给出圆心、半径与直径等等概念;(6)讨论:
半径与直径的关系;(7)阐述同圆或等圆中,半径相等。
并利用这一道理用绳子与笔画圆;(8)剪下一个纸质的圆形,对折几次后,让学生发现规律,用这样的方法寻找圆心;(9)画指定不同半径长度的圆,并比较圆的大小;(10)讨论问题:
圆的大小与位置分别由什么决定;车轮为什么要做成圆的,车轴应该安装在哪里;(11)练习题。
2008年教材的编写顺序如下:
(1)让学生说一说生活中的圆;
(2)用圆规画圆和用其他物体画圆;(3)给出圆的各部分名称;(4)比较圆与其他平面图形的不同,给出圆的特征;(5)讨论半径与直径的条数以及相互关系;(6)讨论圆的位置与大小各由什么决定;(7)练习题。
6.三种教材各是如何开头,引导教师与学生对“圆的认识”进行研究的?
有什么共同点与不同点?
教材如何开头,引导师生研究圆的特征,体现了编者对数学知识产生的观念,以下是三种教材引入圆的认识研究的过程:
1992年教材:
2003年教材:
2008年教材:
从上面三个不同时期的教材对圆的认识的引入过程中,我们可以看到,它们的共同点是:
(1)注重唤起学生的生活经验;
1992年的教材通过描述园林工人画圆的过程以及“想一想”体育老师如何在操场上画圆的情境,让学生能够再现生活中曾经认识的圆。
2003年和2008年的教材,分别出示了五分硬币,钟面以及电扇,冰上芭蕾等等实物图,让学生想象圆形物体。
这些都是学生已经有的经验,这些经验的唤醒对于学生进一步认识圆的特征,将起到积极的作用。
(2)注重圆的动态形成过程。
从上面的三种不同时期的教材所列举的圆形实物的实际例子中,我们可以看到,教材十分注重圆的动态形成过程。
大家知道,圆是在平面内到一个定点距离等于定长的点的集合,也就是说,圆可以看成是一个动点按照某种规律跑动而形成的。
根据这一本质属性,三种教材都列举了相应的实际生活原型,1992年教材中的园林工作画圆,体育老师画圆;2003年教材中的用图钉、绳子和笔画圆;2008年教材中的电风扇旋转形成的圆、冰上芭蕾女运动圆用脚画出的圆等等,都是体现了动态的形成一个圆的过程。
这样的编写对学生更好的认识圆的本质属性必将会有帮助。
从上面的三种引入中,我们也可以看到,三种教材各有着自己的个性。
它们各自的特点如下:
(1)1992年的教材让学生阅读和回忆的是两个画圆的过程,这两个画圆的过程都不是学生可以操作的,因此,这一种教材是通过回忆与想象这两种途径,让学生唤起生活中关于圆形的一些经验。
但这样的画圆过程只能是想象,而不能操作。
另外,园林工人画圆的情境与学生的生活实际相对较远。
体育老师画圆的过程,看上去与学生的校园生活很近,但实际上,体育老师在操场上画圆的机会本身也不多,学生要见到体育老师画圆的过程,可能更是一件不易的事。
但是笔者认为,这些事情虽然离学生的生活并不是很贴近,但学生想象这两个画圆的过程,有着足够的能力,这对于培养他们的想象能力是有帮助的。
(2)2008年的教材也有与1992年类似的回忆与想象,但所不同的是:
2008年教材所提供的电扇,有着双重的“效果”,一是电扇外在的形状中本身就有圆形;二是电扇与学生的生活实际相对贴近,学生还可以想象电扇的运动过程,它在运动过程中,还能形成圆。
另外,冰上芭蕾中女运动圆用脚画出圆的过程学生也不易见到,与1992年教材中的园林工人画圆和体育老师画圆一样,学生是有能力想象的。
(3)2003年的教材可谓“双管齐下”一是有操作,强调活动。
教材一开始就写着一个大标题“活动”,并要求学生用图钉、线和铅笔画图,在这个活动中,可以让学生体会与经历图钉固定处是圆心;线的长度是半径长,铅笔尖是一个动点,移动过程是动点围绕一个固定点的运动,运动一周后形成的图形是圆。
这个画图的过程会有利于圆的概念发生。
二是有想象。
教材出示了硬币、钟面和墨水瓶盖等等实物图,让学生想象它们的底或面的轮廓都是圆形。
但2003年教材出示的实物图中,动态想象成份比较降低,没有2008年教材提供的实物图片那样更具有动态形成过程。
5.三种教材是如何引导学生画圆的?
教材是如何给出圆心、半径和直径概念的?
画圆是圆的认识教学的要求之一,这是《课标》明确提出的要求。
画圆可以分成“用圆规画圆”和“利用其他实物画圆”两大类。
在利用其他实物画圆时,又可以分成“用圆形实物画圆”和“不是用圆形实物画圆”这两种画法。
不同时期的三种教材是如何编写怎样画圆的呢?
1992年的教材只给出了用圆规画圆的方法,没有给出用其他物体画圆。
在用圆规画圆时,把操作过程分成了三步。
在画圆后,给出了圆心、半径与直径等概念。
具体编写如下:
2003年的教材给出了三次画圆。
第一次是给出了用图钉等实物画图,这虽然不是明确告诉学生的画圆方法,但实质上是利用实物画圆。
具体编写如下:
第二次是用圆规画圆;教材在编写用圆规画圆时,也与1992年的教材一样,给出了三个具体操作步骤。
并在用画圆规画圆的基础上,给出圆心、半径与直径的概念。
具体编写如下:
第三次画圆是在研究了圆的一些特征后,明确了同圆中所有半径相等后,进一步教学用物体画圆。
具体编写如下:
2008年的教材阐述了用圆规画圆和用其他物体画圆的方法。
在画圆的基础上,教材给出了圆的各部分名称。
从上面三种教材的编写中,我们可以看到,它们有着以下几个共同点。
(1)三种教材都教学了用圆规画圆,并且都比较具体的给出用圆规画圆的操作步骤;这种分步给出操作程序的编写方法,会有利于教师的教与学生的学,画圆技能的教学从分步到综合会有利于学生对这种技能的掌握与应用。
(2)三种教材都是在教学用圆规画圆后给出圆心、半径与直径的概念。
这说明三种教材都比较重视这三个概念的发生过程。
因为有了用圆规画圆的知识后,对于圆心、半径的概念就可以与画圆的过程相对应:
用圆规画圆时,固定的点就是圆心;圆规两脚尖之间的距离就是半径。
这样可以使抽象的概念具体化,会有利于学生对这些概念的理解。
(3)三种教材都用精确的数学语言定义了圆心、半径与直径的概念。
而不是象有的教材那样,只是直观的描述这三个概念。
如有的教材对着图阐述:
象这样的线段OA叫做半径,没有再给出半径的精确数学定义。
比较三种教材的不同处,我们可以看到它们有以下的个性:
(1)1992年的教材不但给出了圆的画法和各部分名称,而且还给出了圆周长与圆面积的概念。
只给出了用圆规画圆的三个步骤和圆心、半径、直径三个概念的定义。
但它给出了圆周长与圆面积的概念:
(2)2003的教材画圆的次数最多。
教材给出了三次画圆的过程,而且一次比一次要深入。
在用其他物体画圆前,先研究圆和特征,再画圆,这样在原理上的阐述就比其他两种教材要明确。
(3)2008年的教材两种画圆的方法上下排列,有利于对比方法的特点。
2008年的教材把用圆规画圆与用其他工具画圆排列在一起,形成上下文,这样为师生教学时形成对比提供了方便,其实用两种不同工具的画圆各有着长处,但从总体上说,用圆规画圆更具有优越性,它不但画出来的圆比较准确,而且方便画大小不同的圆。
要让学生体会到圆规的这种优越性,就要让学生用其他工具画圆,并加经思考与比较,这样才可以体会到工具的重要性,人类创造工具的伟大。
6.三种教材如何引导学生探索圆的特征?
大家知道,在小学数学教材中,有些概念不给出严格的数学定义,而是用概念的特征来表达。
比如,长方体的定义是:
底面是长方形的直平行六面体叫做长方体。
显然这样的定义不适合让小学生学习。
这样小学数学教材中,表述的长方体的特征是:
长方体有6个面,6个面都是长方形,相对两个面相等;有12条棱,可以分成三组,每组四条棱的长度相等;有8个顶点。
这样的特征表达清楚。
各套教材的表达也基本一致。
但对于圆的特征,在小学数学教材中,就没有一个统一的表达方式。
比如,以下这些圆的属性,常常作为圆的特征在小学数学教学中表达:
在同圆或等圆中,所有半径都相等;所有直径都相等;直径是半径的两倍;半径是直径的一半;圆心决定圆的位置;半径决定圆的大小;圆是轴对称图形等等。
从理论上说,只有先定义了圆,才可以再定义圆的各部分名称。
但小学数学的这些“特征”都是在没有明确定义圆概念的背景下产生的,这或许就是小学数学的特点。
事实上,以下两条是圆最为本质的属性,第一:
圆是由一条曲线围成的封闭图形(在平面内);第二:
这条曲线上的任意点到一个定点(圆心)的距离都相等。
上面所列举的这些圆的所谓特征都是建立在这一关键性的属性基础上的。
我们不妨把以上列举的这些圆的属性都作为圆的特征。
下面我们来比较不同时期的三种教材,是如何引导教师与学生探索这些特征的。
1992年教材在给出用圆规画圆的三个步骤后,出现了下面关于圆的描述性定义:
在给出圆心、半径和直径概念后,给出圆并在圆内画了一些线段,让学生判断半径与直径(详见附录)。
在这个基础上,让学生探索圆的特征:
教材用这些问题形式给出了探索的思路,但在教材中并没有给出这些问题的答案(结论)。
2003年的教材与1992年的教材有着一些类似的地方,也是在阐述了画圆的方法以后,结合图示,给出了圆的描述性定义:
“象这样画出的封闭曲线是圆。
”在给出了圆和各部分名称后,教材要求讨论圆的特征。
具体编写如下:
从上面的这一段教材中可以看到,2003年的教材在编写时,有提出问题但不给出问题答案的形式,也有直接陈述结论的方式,上文中的“在同一个圆里,半径的长度都相等。
”这个结论,与前面的讨论关系不大。
这种直接陈述结论的方式比1992年教材中给出的相应问题比较,可以发现,在启发性上不如1992年的教材。
在2003年教材正文(练习题除外)的最后,给出了下面的两个问题:
但教材中没有给出问题的答案。
这两个问题所涉及到的圆的特征,在1992年的教材中,并没有涉及到。
即1992年的教材没有要求师生去研究:
“圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小”这样的规律。
2008年的教材在给出了圆的各部分名称后,出示了下面的内容,要求学生研究圆的特征:
从上面的内容中可知:
教材要求教师与学生在教学中,能够逐一比较这些图形是不是圆,并能够说明理由。
从第①个三角形图中,希望明确这是一个直线型,而圆是曲线型的,圆是由一条曲线围成的;从第②个图中能够明确形成这个图形的曲线不是封闭的,而圆是由曲线围成的封闭图形;从第③个图形中可知,这虽然是一个封闭图形,但这条曲线上的点到一个中心点的距离是不相等的。
或者这说这个图形弯曲的程度是不一样的,有的地方弯曲得“厉害”一些,有的地方“不太弯曲”;从第④个图形中可知,形成这个图形的曲线上的点到一个中心点的距离不相等;从第⑤个图形,即圆形中可知:
它是由一条曲线围成的封闭图形,这条曲线上的所有点到一个中心点(或者叫定点)的距离都相等。
通过上面的比较和说理过程后,教材用古人的语言或现在人的语言表达了圆的本质属性,即圆的特征:
这样的语言表达圆的特征是以前两种教材所没有出现过的,也是笔者所见的小学数学教材中,表达圆的特征时,最接近中学数学教材定义的一种表达。
教材阐述了圆的本质属性后,进一步要求教师与学生在教学讨论圆的特征。
用“想一想”的形式给出了思考和研究的问题。
这段教材的写法与1992年的教材类似。
最后,2008年的教材还让学生与教师研究圆心与半径的属性,出示了以下的这段教材:
从这段教材中,我们可以看到,教材不但给出供学生与教师思考的问题,配合思考的问题给出了两个相对应的图,使得思考有了方向,而且还用学生对话的方式给出了问题的答案(结论)。
这样的编写对于教师的教和学生的学都将带来方便。
从以上三种教材的编写中,我们可以发现它们有着以下几个共同点:
(1)所研究的“圆的特征”在内容上基本一致;
三种教材都研究了以下这些圆的特征:
在同圆或等圆中,半径与直径各有多少条;半径与直径的长度是否分别相等;半径与直径有什么关系;圆的位置与大小是由什么来决定的。
(2)在“圆的特征”研究的前后顺序上基本一样;
三种教材在研究圆的特征时,前后顺序都是:
①研究怎样画圆;②圆的各部分名称是什么;③半径(或直径)的条数及半径(或直径)与半径(或直径)之间有什么关系;④半径与直径之间有什么关系;⑤圆的位置与大小是由什么决定的。
(3)在“圆的特征”的编写方式上基本相同;
在编写方式上,三种教材都用了问题式的表达方式,它们都是先给出问题,引导教师与学生思考。
并且问题都没有全部给出答案。
十分显然,三种教材也各有着自己的特点:
(1)1992年的教材给出的探索圆的特征的问题最多,最具体,一共用了五个问题引导教师与学生思考半径、直径的条数和关系。
没有要求研究“圆的位置与大小各由什么决定”这些内容。
(2)2003年的教材在研究半径与直径的属性时,表达最简单。
教材只给出了一个问题(半径与直径有什么关系)和一个结论(在同一个圆里,半径的长度都相等)。
(3)2008年的教材内容丰富,要求比较高。
教材中既有对圆的本质属性的揭示,又有像1992年和2003年的教材一样对圆的特征的表达。
应该说,让学生通过各种活动明确圆的本质属性,这是圆概念教学的核心,但由于圆概念比较难用抽象的数学语言表达,所以要揭示出圆的本质属性,特别是要学生去表达这种属性会有一定的难度,正因为如此,2008年的教材要求也就比较高。
7.三种教材出现了哪些练习题的类型?
练习题的类似主要分成两类,一类是三种教材大家都出现在的练习类型,另一个则是每种教材中独有的练习题。
第一类:
三种教材共有的练习题类型如下:
(1)在一个圆内画出一些线段,让学生判断哪些是这个圆的半径或直径。
(2)给出半径或直径的长度,要求画圆。
(3)已知半径或直径,求直径或半径。
第二类:
每种教材独有的练习题:
1992年和2003年的教材都有一个练习题是让学生在一些图形中,判断哪些图形是圆。
1992年教材的练习题:
2003年教材的练习题:
两种教材中的这个题目基本一样,这个练习题将有利于学生进一步掌握圆的特征。
但1992年的教材给出的每一个图形都是没有着上颜色的,而2003年的教材是把每一个图形都着上的颜色的,这种差异的存在可能会使得1992年的教材突出“线”。
2003年的教材可能会突出圆面,显然对于掌握圆是由一条曲线围成的封闭图形这一本质特征来说,1992年的教材更好一些。
2003年的教材中出现了在组合图形中,指出圆的半径或直径的长度,这样的练习必将有利于学生综合应用知识解决问题。
2003年的教材还出现了一个作图题:
解决这个作图问题有利于:
一是巩固圆的概念;二是进一步熟练画圆的技能;三是培养欣赏图形美或创造美丽图形的能力。
2008年的教材中出现了要应用圆的本质属性才能解决的练习题:
要解决上面的问题,需要两个重要的基础:
一是圆的概念,对圆是到一个定点(圆心)距离等于某种长度(定长)的一些点组成的(点的集合);二是能够用圆规画圆。
解决这样的问题对于学生进一步掌握圆的特征,熟练画圆的技能都将十分有利。
主要参考资料:
1.全日制五年级小学教科书《现代小学数学》实验课本(第九册),科学出版社出版,1992年5月第1版。
2.九年义务教育小学教科书《现代小学数学》(六年级上册),科学出版社出版,2003年4月第1版。
3.九年义务教育小学教科书《现代小学数学》(四年级上册),浙江教育出版社出版,2008年8月第1版。
4.20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编《数学卷》,人民教育出版社出版,2001年2月第1版。
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