《整式乘法》中的思想方法与思维技巧.docx
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《整式乘法》中的思想方法与思维技巧
1、《整式》中的思想方法与思维技巧
2、整式的乘法新题例析
3、完全平方公式要点精析
4、因式分解经典试题分析
5、因式分解中常见的错误辨析
6、整式除法运算新题放送
7、正确理解与灵活运用乘法公式
8、因式分解在赛题中的应用
9、整式的乘法错解剖析
10、聚焦特征,活用乘法公式
1、《整式》中的思想方法与思维技巧
本章中蕴含着丰富的数学思想,下面以例说明如何运用这些数学思想指导我们解决
问题.
1、“特殊→一般→特殊”的思想方法
在本章中,许多性质与法则的得出,都是先举出一些具体的例子,然后找出它们的
共同特征,加以推广,概括出一般化的结论,再把所得结论应用于具体的解题过程中。
例
如:
同底数幂的乘法的性质.
2、分类讨论的数学思想方法
例如:
多项式 4 x 2 +1 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,那么这个单
项式是什么?
析解:
根据已知多项式的特点,我们可以把添加的单项式分为:
①四次式(可添 4 x 4 ),
②二次式(添-4 x 2 ),③一次式(±4 x ),④常数(-1).
3、数形结合的数学思想方法
多项式的乘法常常可以看作是某种图形的面积,本章有许多这样数形结合的例子.
例如:
课本 P180,根据图形面积说明平方差公式.P182,根据图形面积说明完全平
方公式.
例.如图是用四张相同的矩形拼成的图形,请你利用图
中的阴影部分的不同表示方法,写出一个关于 a 、 b 的恒等
式:
.
析解:
因大正方形的边长为 a + b ,小正方形的边长为 a - b ,
所以( a + b ) 2 -( a - b ) 2 =
( a 2 +2 a b + b
2
)-( a 2 -2 a b + b
2
)=4 a b .
故填:
( a + b ) 2 -( a - b ) 2 =4 a b .
4、整体代入的思想方法
例如课本 P185 页第 7 题:
已知 a + b =5, a b =3,求 a 2 + b
2 的值.
析解:
直接求出 a 、 b 的值有一定的困难,但可对所求代数式a 2 + b
2
,我们可添
项,变为:
a 2 +2 a b + b
2
-2 a b =( a + b ) 2 -2 a b ,然后整体代入求值.
5、逆向思维技巧
由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程,因此恰当地利用本章的一些性质、
法则、公式进行逆向解题,常常可以起到简化运算,化难为易的作用.
例如课本 P193 第 7 题:
已知 2 m = a ,32 n = b ,求 2 3m+10n .
析解:
先逆用幂的乘方:
(a m ) n = a mn ,再逆用积的乘方:
(ab) n = a n b n .
由 2 m = a ,得(2 m ) 3 = a 3 ,即 2 3m = a 3 ,
由 32 n = b ,得(2 5 n ) 2 = b 2 ,即 2 10n = b 2 ,
∴ 2 3m+10n =2 3m ·2 10n = a 3 b 2 .
由此可见正确地运用数学思想方法往往可使问题化繁为简、化难为易,起到事半功
倍之效.
2、整式的乘法新题例析
整式的乘法是本章的重要内容,也是中考试题中常见的题型,下面请欣赏几例.
一、定义运算类
例 1.(吉安市) 如果“三角形”表示,“方框”表示,
求×的值。
【分析】这是一道定义新的运算,按定义的规则代入运算即可,考查了学生对问题的理
解运用能力。
解:
×=9 m n ×(-4 n2 m5 )=-36 m6 n3 .
二、数形结合类
例 2.如图甲是一个平行四边形,将其裁成四个相同的等腰梯形后,恰好能拼成如图乙的
大小正方形,那么通过计算两图阴影部分的面积,你认为可以验证的乘法公式是
__________.
【分析】观察比较两图形,由图乙易知其阴影部分的面积为边长为 a 的大正方形的面积减
1
去边长为 b 的小正方形的面积,即 a2-b2,并可知等腰梯形的高为(a-b).图甲是平行
2
四边形,其一边长为 a+b,高为两个等腰梯形的高,所以其面积为
1
2
(a-b)×2×(a+b)=(a
-b)(a+b).由此可知验证了平方差公式 (a+b)(a-b) =a2-b2.
解:
填 a2-b2=(a+b)(a-b).
三、规律探索类
例 3.(巴中市)下图左边是大家熟知杨辉三角,观察其右边各列等式,
根据上面各图式规律,则 (a + b)5 =.
【分析】本题是一道与杨辉三角有关的发现探索型试题,根据右边已知的几个算式可以
发现从(a+b)0 开始,各个算式的次数与展开后的项数及系数与左图中的各行有一定的关
系.为此要写出杨辉三角第六行的各数,即为(a+b)5 各项的系数.但我们观察右边各式
(
各项指数的变化规律又可发现:
a+b)5,展开后各项的指数和都应等于 5,且按 a 的降幂,
b 的升幂排列.
解:
(a + b)5 = a5 + 5a 4b +10 a 3b2 +10 a 2b3 +5 ab 4 + b5 .
【自主练习】
1.(永州改编) 形如 a c
a c
b d
x - 1
x + 1 x + 2的结果为
.
2.(盐城)如图,正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张,如果要拼一个长
为(a+2b)、宽为(a+b)的大长方形,则需要 C 类卡片张.
3.观察下列各展开式的项数及各项系数的有关规律.
(a+b)0=1,它只有一项,系数为 1;
(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为 1,1,系数和为 2;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为 1,2,1,系数和为 4;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别为 1,3,3,1,系数和为 8;
„„
根据以上规律,解答下列问题:
(1)(a+b)6 展开式共有项,系数分别为;
...
参考答案:
1、2 x +1;
2、3;
3.
(1)由此可以发现(a-b)4展开后共有 6 项,系数分别是 1,6,15,20 ,15,6 ,1;
(2)根据规律可以发现(a+b)n,共有 n+1 项,系数和为 2 n .
3、完全平方公式要点精析
一、公式的内容:
完全平方公式有两个:
( a + b ) 2 = a 2 +2 a b + b
2
( a - b ) 2 = a 2 -2 a b +
b 2 .即,两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积
的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起,为( a ± b ) 2 = a 2 ±2 a b
+ b
2 .为便于记忆,可形象的叙述为:
“首平方、尾平方,2 倍乘积在中央”.
二、公式的条件:
两数和(或两数差)的平方.
三、公式的结果:
这两数的平方和,加上(或减去)这两数积的 2 倍.
四、公式的特征:
左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项
的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的 2 倍.公式中的字母
可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公
式的结构特征,就可以运用这一公式.
五、使用完全平方公式时应注意以下几点:
(1)千万不要发生类似( a ± b ) 2 = a 2 ± b
2
的错误;更不要与( a b ) 2 = a
2
b 2 混
淆;
(2)切勿不要把“乘积项”2 a b 中的 2 漏掉;
(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接套
用公式进行计算;如不符合,应先变形为公式的结构特点,再利用公式进行计算,如变形
后仍不具备公式的结构特点,则应运用多项式乘法法则进行计算.
4、因式分解经典试题分析
........
因式分解是代数式恒等变形中的重要工具之一,是整式乘法的逆过程,其分解方法
简单,但这一知识点运用灵活,下面举例加以分析说明.
例1 因式分解:
( x - y ) 3 -( y - x ) 2 ;
【分析】本题涉及所提公因式是互为相反数的两个因式,这时需要注意它们的互化,请
同学们记住:
① 当 n 为偶数时,( x - y ) n =( y - x ) n
② 当 n 为奇数时,( x - y ) n =-( y - x ) n
因为( x - y ) 2 =( y - x ) 2 ,所以“公因式”可为( x - y ) 2 。
解:
( x - y ) 3 -( y - x ) 2 =( x - y ) 3 -( x - y ) 2 =( x - y ) 2 ( x - y -1).
例 2 若 4 x 2 + k x +25 是一个完全平方式,则 k 的值为。
【分析】因为原式中有 4 x 2 =(2 x ) 2 和 5 2 ,因此根据完全平方公式的特点可知原式应
为 2 x 与 5 这两数的平方和与这两数积的 2 倍的和(或差)。
解:
∵4 x 2 + k x +25=(2 x ) 2 + k x +5 2 ,要使它是一个完全平方式,则
kx = ±2 ⨯ 2 x ⨯ 5 ,解之得:
k = ±20 .
【注意】根据完全平方公式的特点本题有两个答案,部分同学往往只求到k = 20 就以为
做完了,这是错误的。
例 3 已知 a + b =10, a b =24,求 3 a 2 +3 b
2 的值。
【分析】本题若要求出 a 、 b 的值,再代入 3 a 2 +3 b
2
来求值的话,对我们来说是很困
....
难的,因此这题要想到“整体代入”求值,这就要对原式进行适当的变形。
解:
3 a 2 +3 b
2
=3( a 2 + b
2
)=3( a 2 +2 a b + b
2
-2 a b )=3[( a + b ) 2 -
2 a b ],
当 a + b =10, a b =24 时
原式=3×(102-2×24)=156.
例 4 已知 a 2 + b
2
-6 a +10 b +34=0,求 b a 的值.
【分析】这类题的解题思路就是将已知等式的左边设法进行因式分解,使之变成
A 2 + B 2 = 0 的形式,从而可得 A=0 且 B=0,求出 a 、b 的值;通过观察原式左边有( a
2
-6 a )想到若再加一个常数项 9 的话就成了( a 2 -6 a +9)不就是一个完全平方式吗.由
此想到把 34 拆成 9+25 来解.
辨析:
因式分解的结果是要将多项式 x2- y 2+4x-4 y 化为最后结果是因式积的形式,而
.
解:
∵ 34=9+25,
∴ 原等式可化为:
a 2 - 6a + 9 + b 2 + 10b + 25 = 0 ,
即 (a - 3) 2 + (b + 5) 2 = 0 ,
∴ a - 3 = 0 且 b + 5 = 0 ,
解得 a = 3 且 b = -5 ,
∴ b a = (-5) 3 =-125.
5、因式分解中常见的错误辨析
因式分解在各种恒等变形中应用广泛,但学习时却易犯的错误,下面列举同学们在学
习中常出现的错误加以分析,以作前车之鉴.
一、概念不清导致
例 1.分解因式:
x 2- y 2+4 x -4 y
错解:
原式=( x - y )( x + y )+4( x - y ).
...
上面做的最后结果是和的形式.
正解:
原式=( x - y )( x + y )+4( x - y )= ( x - y )( x + y +4).
二、公因式提不清
例 2.24 a 2 b -9 a b 2
错解:
原式= a b (24 a -9 b ).
辨析:
错在(24 a -9 b )中仍存在公因式 3 可提, 本题最大公因式是 3 a b ;
正解:
原式=3 a b (8 a -3 b ).
例 3.填空:
3 x 2-6 xy +3 x =3 x ().
错解:
原式=3 x ( x -2 y ).
辨析:
错在自以为将第三项 3 x 全部提到括号外面了,该项就是 0 了,事实上,这样做的
结果 3 x ( x -2 y )= 3 x 2-6 x y ≠3 x 2-6 x y +3 x ,漏了项.
正解:
原式=3 x ( x -2 y +1).原式的第三项应看成 3 x ·1 提取 3 x 后,该项应还有常
数 1,不能漏掉.
三、忽视符号
例 4.把 3( a - b )3+9( b - a )2 分解因式.
错解:
原式= 3( b - a )2[( b - a )+3]= 3( b - a )2( b - a +3).
辨析:
错在不懂得( a - b )3≠( b - a )3,而是( a - b )3=[-( b - a )]3=-( b - a )3,不
能与( a - b )2= ( b - a )2 混为一谈.
正解:
原式= 3( a - b )3+9( a - b )2=3( a - b )2[( a - b )+3]= 3( b - a )2( a - b +
3).
四、分解不彻底
例 5. 分解因式:
x 3+ x 2 y - xy 2 - y 3.
错解:
原式=( x 3+ x 2 y )-( xy 2 + y 3)= x 2( x + y )- y 2( x + y )
= ( x + y )( x 2- y 2).
辨析:
错在因式( x 2- y 2)还能用平方差公式再分解.应分解成:
( x + y ) 2( x - y ).
五、画蛇添足,走回头路
例 6.分解因式:
axy(a - b)+ bxy(a - b).
错解:
原式= xy(a - b)(a + b) = xy(a2 - b2 ) .
剖析:
分解到 xy(a - b)(a + b) 已是完美无缺,再反过来做多项式乘法显然是画蛇添足,
造成这种错误的原因可能是受乘法公式的影响,认为碰上了可用公式计算这一好机会不放
过.
正解:
原式= xy(a - b)(a + b) .
6、整式除法运算新题放送
为开阔同学们的视野,培养创新思维,提高分析问题、解决问题的能力,现介绍几道
有关整式除法运算的创新探索题.
一、程序翻译题
例 1.任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是()
A. mB. m 2
C. m +1 D. m -1
分析:
本题是一道和整式运算有关的程序化计算题,解决问题需要正确理解题意,根据
程序正确列出算式.
解:
依题意,得( m 2 - m )÷ m +2= m +1.故选(C).
二、化简计算说理题
:
例 2.有这样一道数学题“己知:
x =2008,y =-6,求代数式[( xy +2)( xy -2)-2( x 2 y 2
-2)]÷(2 x2 )的值.”王小东在抄题时把“2008”和“-6”分别错抄成了“2080”和“6”,
但他的计算结果好象是正确的,请你说说这是怎么回事.
分析:
本题是一道和整式除法运算有关的说理探索题.要弄明白是怎么回事,应先对代
数式进行化简.看看结果所含 x 、 y 的情况.
解:
原式=( x 2 y 2 -4-2 x 2 y 2 +4)÷(2 x2 )=- x 2 y 2 ÷(2 x2 )=-
1
2
1
2
y 2 .
当 x =2080, y =6 时,原式=-
1
2
y 2 =-18.
因为化简后的结果不含有 x ,且含 y 的平方,所以代入求值的最后结果与 x 的值无关,
与的符号也无关,因此王小东也能做到正确的结果.
三、算式污染问题
例 3.放学后,小明在家复习数学课堂笔记,突然发现课堂上抄的一道多项式除法运算题:
(21 x 4 y 3-+7 x 2 y 2)÷(-7 x 2 y )=+5 x y - y .被除式的第二
项被钢笔水弄污了,商的第一项也被钢笔水弄污了.你能帮小明算出两处被污染的内容是
什么吗?
分析:
本题是一道设计比较新颖的题目,根据题中叙述可知被除式有三项,被污染的是
第二项的部分,而商的部分被污染的是第一项.
如果设被除式中被污染的部分为 A,则-A÷(-7 x 2 y )=5x y ,所以 A=35 x 3 y 2,
设商中被污染的项为 B,则 B=21 x 4 y 3÷(-7 x 2 y )=-3 x 2 y 2.
解:
由(5 x y )·(-7 x 2 y )=-35 x 3 y 2, 21 x 4 y 3÷(-7 x 2 y )= -3 x 2 y 2 可知,被除式
中被污染的内容是 35 x 3y2,商式中被污染的内容是-3 x 2 y 2.
练习:
1、按下列程序计算,把答案填写在表格内,然后看看有什么规律,想想为什么会有这个
规律?
(1)填写表格:
(2)发现规律是:
____________________.
(3)用简要的过程说明你发现的规律.
2、李华老师给同学们出了一道题:
当 x=2008,y=2006 时, 求[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-
x2)]÷x2y 的值.题目出完后,小明说:
“老师给的条件,y=2006 是多余的”.王光说:
“不
给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理?
为什么?
3、如图①的瓶子中盛满水,如果将这个瓶子中的水全部倒入图②的杯子中,那么你知道
一共需要多少个这样的杯子吗?
(单位:
cm)
参考答案:
1、
(1)都填 1;
(2)规律:
输入一个非零数,所得的结果都是 1;
(3)设输入的数为 x(x≠0),则(x2+x)÷x-x=x2÷x+x÷x-x=x+1-x=1.
2、x.理由:
因为化简后的结果不含有 y,所以最后的结果与 y 的值无关,所以 y=2006
是多余的,从而小明说的有道理.
⎤
3、依题意得:
⎢ π ça ⎪ h + π ç ⨯ 2a ⎪ H ⎥ ÷ ⎢π ç ⨯a ⎪ ⨯ 8⎥
⎣⎥⎦
⎢ ⎝ 2 ⎭⎝ 2⎭⎦⎣⎢ ⎝ 22 ⎭⎥
⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫1
⎝ 4⎭ ⎝ 2⎭2
⎛ 1⎫
⎝ 2⎭
7、正确理解与灵活运用乘法公式
我们知道,整式乘法是本章的重点,而乘法公式是特殊的多项式乘法,因此 乘法公
式又是这重中之重了,不仅是因为它常用,更重要的是因为它使它 简单、方便和快捷 ;
另外在以后内容的学习过程中,如化简计算、因式分解等也起着重要的作用.
本节我们学习三个乘法公式:
平方差公式和完全平方公式(和或差的),在学习过程
中应注意以下几点:
一、正确理解和记忆公式
1.抓住公式的特点
平方差公式:
( a + b )( a + b )= a 2 - b 2 .
特点:
公式左边是两个二项式相乘,在两个二项式中,有一项完全相同,另一项是互
为相反数;公式右边是“相同项的完全平方”减“相反项的完全平方”.
完全平方公式:
( a ± b ) 2 = a 2 ±2 a b + b 2 .
特点:
公式左边是两个相同多项式的乘积;公式右边是三项齐次式;一般对a 按
降幂排列,对b 按升幂排列,系数呈对称式;特别是 (a - b)2 ,其右边系数的符号规律是
正、负相间.
2.可用口诀的方法:
完全平方公式的记忆方法可以是“ 首平方,尾平方,二倍首尾夹
中央”.
3.公式使用的广泛性:
公式中的字母可以表示数、单项式,也可以表示多项式.
二、灵活运用公式
例 1. 计算:
① (2 a - 3
2
) 2 ;②( a + b +c)( a + b -c).
3
2
对于②我们可把“ a + b ”整体当作平方差公式中的 a ,而把“c”当作 b .
339
224
②原式=( a + b ) 2 -c 2 = a 2 -2 a b - b 2 -c 2 .
例 2.设 m + n =7, m n =12,求 m 2 - m n + n 2 的值.
【分析】刚看此题部分同学可能会想解由 m + n =7,m n =12,组成的方程组,分别求
出 m 、 n 的值再代入求解,其实这是不明智的,观察要求值的代数式,会发现它与第一
个条件式的平方仅相差几个 m n ,于是想到先对第一个条件式两边平方再说.
解:
因为 m + n =7,所以由完全平方公式,得
( m + n ) 2 =49,即 m 2 +2 m n + n 2 =49,
所以 m 2 - m n + n 2 =49-2 m n ,
所以 m 2 - m n + n 2 =49-3×12=13.
点评:
善于将公式变形使用,也是灵活运用公式的一种能力;本题还用到了整体代入的
思想.
例 3.若| x +2|+ y
2
-4 y +4=0,求 (x - y )2 .
2
【分析】观察发现“ y-4 y +4”符合完全平方式的条件,于是原条件式可化为| x +
2|+( y -2) 2 =0,再利用绝对值与完全平方数的非负性质解答.
解:
原式可变形为| x +2|+( y -2) 2 =0,
所以| x +2|=0 且( y -2) 2 =0,
所以 x =-2, y =2,
当 x =-2, y =2 时, (x - y )2 =(-2-2) 2 =16.
点评:
乘法公式不仅要会正向使用,还要学会逆用公式,只有这样才能不断提高运用公式
的能力.
8、因式分解在赛题中的应用
在各类数学考试或竞赛中,因式分解往往作为一种运算技巧或解题方法融合在试题
中.常见的应用主要有以下几种:
一、在化简计算中的应用
∴ ⎨ ,解得 ⎨ . 故 a 2008 - b2008 = 02008 - (- 1)2008 = -1 .
( )
解:
原式变为:
2 a 2 +2 b +2 c 2 -2 a b -2 b c -2 a c =0,
2000 3 - 2 ⨯ 2000 2 - 1998
例 1. (“华杯赛”试题)计算:
.
2000 3 + 2000 2 - 2001
【分析】观察算式的分子、分母,它们的前两项可提公因数,提后会发现,又可提相应
的因数.
2000 2 (2000 - 2) - 19982000 2 ⨯ 1998 - 1998
解:
原式==
2000 2 (2000 + 1) - 20012000 2 ⨯ 2001 - 2001
1998 ⨯ (20002 - 1)1998
==.
2001⨯ (2000 2 - 1)2001
二、在条件求值问题中应用
例 2 . ( 全 国 初 中 数 学 竞 赛 海 南 赛 区 ) 已 知 a - b = 1 , a 2 - b 2 = -1 , 则
88
a 2 0 0 - b 2 0 0 = _________.
【分析】求值式不及变形,由 a 2 - b2 可利用平方差公式分解为 (a - b)(
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- 整式乘法 整式 乘法 中的 思想 方法 思维 技巧