利用导数研究不等式问题练习.docx
- 文档编号:27884070
- 上传时间:2023-07-06
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:39.74KB
利用导数研究不等式问题练习.docx
《利用导数研究不等式问题练习.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《利用导数研究不等式问题练习.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
利用导数研究不等式问题练习
第21练利用导数研究不等式问题
训练目
标
(1)利用导数处理与不等式有关的题型;
(2)解题步骤的规范训练.
训练题
型
(1)利用导数证明不等式;
(2)利用导数解决不等式恒成立问
题及存在性问题;
(3)利用导数证明与数列有关的不等式.
解题策
略
(1)构造与所证不等式相关的函数;
(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式;(3)处理恒成立问题注意参变量分离.
1.已知函数f(X)=X2—ax—alnx(a€R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
32
x5x11
⑵在
(1)的条件下,求证:
f(x)>——+—4x+石.
2.(优质试题•烟台模拟)已知函数f(x)=X2—ax,g(x)=Inx,h(x)
=f(x)+g(x).
(1)若函数y=h(x)的单调减区间是¥,1],求实数a的值;
2丿
⑵若f(x)>g(x)对于定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围.
3.(优质试题•山西四校联考)已知f(x)=Inx—x+a+1.
(1)若存在x€(0,+^),使得f(x)>0成立,求a的取值范围;
121
⑵求证:
在
(1)的条件下,当x>1时,2X+ax—a>xlnx+-成立.
1
4.已知函数f(x)=(2—a)lnx+-+2ax.
x
(1)当a<0时,讨论f(x)的单调性;
⑵若对任意的a€(—3,—2),xi,X2€[1,3],恒有(m^In3)a—
2ln3>|f(xi)—f(X2)|成立,求实数m的取值范围.
5.(优质试题•福州质检)设函数f(x)=e-—ax—1.
(1)当a>0时,设函数f(x)的最小值为g(a),求证:
g(a)<0;
⑵求证:
对任意的正整数n,都有1n"1+2n"1+3n"1+…+rT<(n+1)n
答案精析
a
1.
(1)解f'(x)=2x—a——,由题意可得f‘
(1)=0,解得a=1.
x
经检验,a=1时f(x)在x=1处取得极值,所以a=1.
⑵证明由
(1)知,f(x)=X—x—Inx,
令g(x)=f(x)—(—才+y—4x+壬
由g'(x)=x2—3x+3—x=弓一3(x—1)=^(x>0),可知g(x)
3-2
x5x
在(0,1)上是减函数,
在(1,)上是增函数,所以g(x)>g
(1)=0,所以f(x)>——+2
11
—4x+-成立.
2.解
(1)由题意可知,h(x)=x2—ax+lnx(x>0),
丄,/2x—ax+1
由h(x)=(x>0),
由h
(1)=h0,解得a=3,
2
由hr(x)v0,解得x€|2,1,
(1、
即h(x)的单调减区间是b,1,
匕丿
二a=3.
⑵由题意知X2—ax>Inx(x>0),
Inx
二awx——^(x>0).
人InX
令©(x)=X—^^(x>0),
✓x
x+Inx—1
则©‘(x)=
Vy=x2+lnx—1在(0,+^)上是增函数,且x=1时,y=0.
•••当x€(0,1)时,©'(x)v0;
当x€(1,+乂)时,©'(x)>0,即©(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+X)上是增函数,•-©(x)min=©
(1)=1,故aW1.
即实数a的取值范围为(一X,1].
3.
(1)解原题即为存在x>0,
使得Inx—x+a+1>0,
--a》一Inx+x—1,
令g(x)=—InX+x—1,
..1x—1
则g'(x)=-x+1==
令g'(x)=0,解得x=1.
•••当0 当x>1时,g'(x)>0,g(x)为增函数, g(x)min=g (1)=0,a>g (1)=0. 故a的取值范围是[0,+乂). 121 ⑵证明原不等式可化为2X+ax—xInx—a—2>0(x>1,a>0). 11 令Gx)=^x+ax—xInx—a—2,贝JG (1)=0. 由 (1)可知X—InX—1>0, 则G(X)=X+a—Inx—1>x—Inx—1>0,.G(x)在(1,+乂)上单调递增,.G(x)>G (1)=0成立, 121亠、 2*+ax—xInx—a—2>0成立, 口121、、 即qx+ax一a>xInx+2成立. 4.解 (1)求导可得f‘(X)=2一卫一4+2a=(2x—1)(ax+B XX 11 令f‘(x)=0,得X1=2,X2=—a 当a=—2时,f‘(x)<0,函数f(x)在定义域(0,+乂)内单调递减; 11
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 利用 导数 研究 不等式 问题 练习