离散数学课后习题答案左孝凌版.docx
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离散数学课后习题答案左孝凌版
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离散数学课后习题答案左孝凌版
离散数学课后习题答案(左孝凌版)
1-1,1-2
(1)解:
a)是命题,真值为T。
b)不是命题。
c)是命题,真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题,真值为T。
f)是命题,真值为T。
g)是命题,真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
(2)解:
原子命题:
我爱北京天安门。
复合命题:
如果不是练健美操,我就出外旅游拉。
(3)解:
a)(┓P∧R)→Q
b)Q→R
c)┓P
d)P→┓Q
(4)解:
a)设Q:
我将去参加舞会。
R:
我有时间。
P:
天下雨。
Q(R∧┓P):
我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:
我在看电视。
Q:
我在吃苹果。
R∧Q:
我在看电视边吃苹果。
c)设Q:
一个数是奇数。
R:
一个数不能被2除。
(Q→R)∧(R→Q):
一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。
(5)解:
a)设P:
王强身体很好。
Q:
王强成绩很好。
P∧Q
b)设P:
小李看书。
Q:
小李听音乐。
P∧Q
c)设P:
气候很好。
Q:
气候很热。
P∨Q
d)设P:
a和b是偶数。
Q:
a+b是偶数。
P→Q
e)设P:
四边形ABCD是平行四边形。
Q:
四边形ABCD的对边平行。
PQ
f)设P:
语法错误。
Q:
程序错误。
R:
停机。
(P∨Q)→R
(6)解:
a)P:
天气炎热。
Q:
正在下雨。
P∧Q
b)P:
天气炎热。
R:
湿度较低。
P∧R
c)R:
天正在下雨。
S:
湿度很高。
R∨S
d)A:
刘英上山。
B:
李进上山。
A∧B
e)M:
老王是革新者。
N:
小李是革新者。
M∨N
f)L:
你看电影。
M:
我看电影。
┓L→┓M
g)P:
我不看电视。
Q:
我不外出。
R:
我在睡觉。
P∧Q∧R
h)P:
控制台打字机作输入设备。
Q:
控制台打字机作输出设备。
P∧Q
1-3
(1)解:
a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)
b)是合式公式
c)不是合式公式(括弧不配对)
d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词)
e)是合式公式。
(2)解:
a)A是合式公式,(A∨B)是合式公式,(A→(A∨B))是合式公式。
这个过程可以简记为:
A;(A∨B);(A→(A∨B))
同理可记
b)A;┓A;(┓A∧B);((┓A∧B)∧A)
c)A;┓A;B;(┓A→B);(B→A);((┓A→B)→(B→A))
d)A;B;(A→B);(B→A);((A→B)∨(B→A))
(3)解:
a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b)((B→A)∨(A→B))。
(4)解:
a)是由c)式进行代换得到,在c)中用Q代换P,(P→P)代换Q.
d)是由a)式进行代换得到,在a)中用P→(Q→P)代换Q.
e)是由b)式进行代换得到,用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.
(5)解:
a)P:
你没有给我写信。
R:
信在途中丢失了。
PQ
b)P:
张三不去。
Q:
李四不去。
R:
他就去。
(P∧Q)→R
c)P:
我们能划船。
Q:
我们能跑步。
┓(P∧Q)
d)P:
你来了。
Q:
他唱歌。
R:
你伴奏。
P→(QR)
(6)解:
P:
它占据空间。
Q:
它有质量。
R:
它不断变化。
S:
它是物质。
这个人起初主张:
(P∧Q∧R)S
后来主张:
(P∧QS)∧(S→R)
这个人开头主张与后来主张的不同点在于:
后来认为有P∧Q必同时有R,开头时没有这样的主张。
(7)解:
a)P:
上午下雨。
Q:
我去看电影。
R:
我在家里读书。
S:
我在家里看报。
(┓P→Q)∧(P→(R∨S))
b)P:
我今天进城。
Q:
天下雨。
┓Q→P
c)P:
你走了。
Q:
我留下。
Q→P
1-4
(4)解:
a)
PQR
Q∧R
P∧(Q∧R)
P∧Q
(P∧Q)∧R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
所以,P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R
b)
PQR
Q∨R
P∨(Q∨R)
P∨Q
(P∨Q)∨R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FF F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
F
所以,P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R
c)
P Q R
Q∨R
P∧(Q∨R)
P∧Q
P∧R
(P∧Q)∨(P∧R)
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
T
F
F
F
F
F
所以,P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)
d)
PQ
┓P
┓Q
┓P∨┓Q
┓(P∧Q)
┓P∧┓Q
┓(P∨Q)
TT
TF
FT
FF
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
所以,┓(P∧Q)┓P∨┓Q,┓(P∨Q)┓P∧┓Q
(5)解:
如表,对问好所填的地方,可得公式F1~F6,可表达为
P
Q
R
F1
F2
F3
F4
F5
F6
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
F
T
T
T
F1:
(Q→P)→R
F2:
(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)
F3:
(P←→Q)∧(Q∨R)
F4:
(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)
F5:
(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)
F6:
┓(P∨Q∨R)
(6)
P
Q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
F
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
解:
由上表可得有关公式为
2.┓(P∨Q)3.┓(Q→P)4.┓P
5.┓(P→Q)6.┓Q7.┓(PQ)8.┓(P∧Q)
∧QQ→Q
→P∨Q
(7)证明:
a)A→(B→A)┐A∨(┐B∨A)
A∨(┐A∨┐B)
A∨(A→┐B)
┐A→(A→┐B)
b)┐(AB)┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
┐((A∧B)∨┐(A∨B))
(A∨B)∧┐(A∧B)
或┐(AB)┐((A→B)∧(B→A))
┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))
┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))
┐(┐(A∨B))∨(A∧B)
(A∨B)∧┐(A∧B)
c)┐(A→B)┐(┐A∨B)A∧┐B
d)┐(AB)┐((A→B)∧(B→A))
┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
(A∧┐B)∨(┐A∧B)
e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))
(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)
(┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D
((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D
(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D
((C∧(AB))→D)
f)A→(B∨C)┐A∨(B∨C)
(┐A∨B)∨C
┐(A∧┐B)∨C
(A∧┐B)→C
g)(A→D)∧(B→D)(┐A∨D)∧(┐B∨D)
(┐A∧┐B)∨D
┐(A∨B)∨D
(A∨B)→D
h)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))
(┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C
(┐(A∧B)∧┐(┐D∧B))∨C
┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C
((A∨┐D)∧B)→C
(B∧(D→A))→C
(8)解:
a)((A→B)(┐B→┐A))∧C
((┐A∨B)(B∨┐A))∧C
((┐A∨B)(┐A∨B))∧C
T∧CC
b)A∨(┐A∨(B∧┐B))(A∨┐A)∨(B∧┐B)T∨FT
c)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
(A∨┐A)∧(B∧C)
T∧(B∧C)
B∧C
(9)解:
1)设C为T,A为T,B为F,则满足A∨CB∨C,但AB不成立。
2)设C为F,A为T,B为F,则满足A∧CB∧C,但AB不成立。
3)由题意知┐A和┐B的真值相同,所以A和B的真值也相同。
习题1-5
a)证明:
a)(P∧(P→Q))→Q
(P∧(┐P∨Q))→Q
(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q
(P∧Q)→Q
┐(P∧Q)∨Q
┐P∨┐Q∨Q
┐P∨T
T
b)┐P→(P→Q)
P∨(┐P∨Q)
(P∨┐P)∨Q
T∨Q
T
c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
因为(P→Q)∧(Q→R)(P→R)
所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。
d)((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))
((a∨c)∧b)∨(c∧a)
((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))
(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)
所以((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。
b)证明:
a)(P→Q)P→(P∧Q)
解法1:
设P→Q为T
(1)若P为T,则Q为T,所以P∧Q为T,故P→(P∧Q)为T
(2)若P为F,则Q为F,所以P∧Q为F,P→(P∧Q)为T
命题得证
解法2:
设P→(P∧Q)为F,则P为T,(P∧Q)为F,故必有P为T,Q为F,所以P→Q为F。
解法3:
(P→Q)→(P→(P∧Q))
┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))
┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))
T
所以(P→Q)P→(P∧Q)
b)(P→Q)→QP∨Q
设P∨Q为F,则P为F,且Q为F,
故P→Q为T,(P→Q)→Q为F,
所以(P→Q)→QP∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q
设R→Q为F,则R为T,且Q为F,又P∧┐P为F
所以Q→(P∧┐P)为T,R→(P∧┐P)为F
所以R→(R→(P∧┐P))为F,所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F
即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q成立。
c)解:
a)P→Q表示命题“如果8是偶数,那么糖果是甜的”。
b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的,那么8是偶数”。
c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数,那么糖果不是甜的”。
d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的,那么8不是偶数”。
d)解:
a)如果天下雨,我不去。
设P:
天下雨。
Q:
我不去。
P→Q
逆换式Q→P表示命题:
如果我不去,则天下雨。
逆反式┐Q→┐P表示命题:
如果我去,则天不下雨
b)仅当你走我将留下。
设S:
你走了。
R:
我将留下。
R→S
逆换式S→R表示命题:
如果你走了则我将留下。
逆反式┐S→┐R表示命题:
如果你不走,则我不留下。
c)如果我不能获得更多帮助,我不能完成个任务。
设E:
我不能获得更多帮助。
H:
我不能完成这个任务。
E→H
逆换式H→E表示命题:
我不能完成这个任务,则我不能获得更多帮助。
逆反式┐H→┐E表示命题:
我完成这个任务,则我能获得更多帮助
(5)试证明PQ,Q逻辑蕴含P。
证明:
解法1:
本题要求证明(PQ)∧QP,
设(PQ)∧Q为T,则(PQ)为T,Q为T,故由的定义,必有P为T。
所以(PQ)∧QP
解法2:
由体题可知,即证((PQ)∧Q)→P是永真式。
((PQ)∧Q)→P
(((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∧Q)→P
(┐((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∨┐Q)∨P
(((┐P∨┐Q)∧(P∨Q))∨┐Q)∨P
((┐Q∨┐P∨┐Q)∧(┐Q∨P∨Q))∨P
((┐Q∨┐P)∧T)∨P
┐Q∨┐P∨P
┐Q∨T
T
(6)解:
P:
我学习Q:
我数学不及格R:
我热衷于玩扑克。
如果我学习,那么我数学不会不及格:
P→┐Q
如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习:
┐R→P
但我数学不及格:
Q
因此我热衷于玩扑克。
R
即本题符号化为:
(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QR
证:
证法1:
((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R
┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q)∨R
(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R
((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))
┐Q∨P∨R∨┐P
T
所以,论证有效。
证法2:
设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T,
则因Q为T,(P→┐Q)为T,可得P为F,
由(┐R→P)为T,得到R为T。
故本题论证有效。
(7)解:
P:
6是偶数Q:
7被2除尽R:
5是素数
如果6是偶数,则7被2除不尽P→┐Q
或5不是素数,或7被2除尽┐R∨Q
5是素数R
所以6是奇数┐P
即本题符号化为:
(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R┐P
证:
证法1:
((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P
┐((┐P∨┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)∨┐P
((P∧Q)∨(R∧┐Q)∨┐R)∨┐P
((┐P∨P)∧(┐P∨Q))∨((┐R∨R)∧(┐R∨┐Q))
(┐P∨Q)∨(┐R∨┐Q)
T
所以,论证有效,但实际上他不符合实际意义。
证法2:
(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T,
则有R为T,且┐R∨Q为T,故Q为T,
再由P→┐Q为T,得到┐P为T。
(8)证明:
a)P(┐P→Q)
设P为T,则┐P为F,故┐P→Q为T
b)┐A∧B∧CC
假定┐A∧B∧C为T,则C为T。
c)CA∨B∨┐B
因为A∨B∨┐B为永真,所以CA∨B∨┐B成立。
d)┐(A∧B)┐A∨┐B
设┐(A∧B)为T,则A∧B为F。
若A为T,B为F,则┐A为F,┐B为T,故┐A∨┐B为T。
若A为F,B为T,则┐A为T,┐B为F,故┐A∨┐B为T。
若A为F,B为F,则┐A为T,┐B为T,故┐A∨┐B为T。
命题得证。
e)┐A→(B∨C),D∨E,(D∨E)→┐AB∨C
设┐A→(B∨C),D∨E,(D∨E)→┐A为T,
则D∨E为T,(D∨E)→┐A为T,所以┐A为T
又┐A→(B∨C)为T,所以B∨C为T。
命题得证。
f)(A∧B)→C,┐D,┐C∨D┐A∨┐B
设(A∧B)→C,┐D,┐C∨D为T,则┐D为T,┐C∨D为T,所以C为F
又(A∧B)→C为T,所以A∧B为F,所以┐A∨┐B为T。
命题得证。
(9)解:
a)如果他有勇气,他将得胜。
P:
他有勇气Q:
他将得胜
原命题:
P→Q逆反式:
┐Q→┐P表示:
如果他失败了,说明他没勇气。
b)仅当他不累他将得胜。
P:
他不累Q:
他得胜
原命题:
Q→P逆反式:
┐P→┐Q表示:
如果他累,他将失败。
习题1-6
(1)解:
a)(P∧Q)∧┐P(P∧┐P)∧Q┐(T∨Q)
b)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧Q
(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)
(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)
┓P∧Q
┐(P∨┐Q)
c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)
┐P∧┐Q∧(R∨P)
(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)
(┐P∧┐Q∧R)∨F
┐P∧┐Q∧R
┐(P∨Q∨┐R)
(2)解:
a)┐PP↓P
b)P∨Q┐(P↓Q)(P↓Q)↓(P↓Q)
c)P∧Q┐P↓┐Q(P↓P)↓(Q↓Q)
(3)解:
P→(┐P→Q)
┐P∨(P∨Q)
T
┐P∨P
(┐P↑┐P)↑(P↑P)
P↑(P↑P)
P→(┐P→Q)
┐P∨(P∨Q)
T
┐P∨P
┐(┐P↓P)
┐((P↓P)↓P)
((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)
(4)解:
P↑Q
┐(┐P↓┐Q)
┐((P↓P)↓(Q↓Q))
((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))
(5)证明:
┐(B↑C)
┐(┐B∨┐C)
┐B↓┐C
┐(B↓C)
┐(┐B∧┐C)
┐B↑┐C
(6)解:
联结词“↑”和“↓”不满足结合律。
举例如下:
a)给出一组指派:
P为T,Q为F,R为F,则(P↑Q)↑R为T,P↑(Q↑R)为F
故(P↑Q)↑RP↑(Q↑R).
b)给出一组指派:
P为T,Q为F,R为F,则(P↓Q)↓R为T,P↓(Q↓R)为F
故(P↓Q)↓RP↓(Q↓R).
(7)证明:
设变元P,Q,用连结词,┐作用于P,Q得到:
P,Q,┐P,┐Q,PQ,PP,QQ,QP。
但PQQP,PPQQ,故实际有:
P,Q,┐P,┐Q,PQ,PP(T)(A)
用┐作用于(A)类,得到扩大的公式类(包括原公式类):
P,Q,┐P,┐Q,┐(PQ),T,F,PQ(B)
用作用于(A)类,得到:
PQ,P┐PF,P┐Q┐(PQ),P(PQ)Q,P(PP)P,
Q┐P┐(PQ),Q┐QF,Q(PQ)P,QTQ,
┐P┐QPQ,┐P(PQ)┐Q,┐PT┐P,
┐Q(PQ)┐P,┐QT┐Q,
(PQ)(PQ)PQ.
因此,(A)类使用运算后,仍在(B)类中。
对(B)类使用┐运算得:
┐P,┐Q,P,Q,PQ,F,T,
┐(PQ),
仍在(B)类中。
对(B)类使用运算得:
PQ,P┐PF,P┐Q┐(PQ),P┐(PQ)┐Q,PTP,PF┐P,P(PQ)Q,
Q┐P┐(PQ),Q┐QF,Q┐(PQ)┐P,QTQ,QF┐Q,Q(PQ)P,
┐P┐QPQ,┐P┐(PQ)Q,┐PT┐P,┐PFP,┐P(PQ)┐Q,
┐Q┐(PQ)P,┐QT┐Q,┐QT┐Q,┐Q(PQ)┐P,
┐(PQ)T┐(PQ),┐(PQ)FPQ,┐(PQ)(PQ)F
TFF,T(PQ)PQ
F(PQ)┐(PQ)
(PQ)(PQ)PQ.
故由(B)类使用运算后,结果仍在(B)中。
由上证明:
用,┐两个连结词,反复作用在两个变元的公式中,结果只能产生(B)类中的公式,总共仅八个不同的公式,故{,┐}不是功能完备的,更不能是最小联结词组。
已证{,┐}不是最小联结词组,又因为PQ┐(PQ),故任何命题公式中的联结词,如仅用{,┐}表达,则必可用{,┐}表达,其逆亦真。
故{,┐}也必不是最小联结词组。
(8)证明{∨},{∧}和{→}不是最小联结词组。
证明:
若{∨},{∧}和{→}是最小联结词,则
┐P(P∨P∨……)
┐P(P∧P∧……)
┐PP→(P→(P→……)
对所有命题变元指派T,则等价式左边为F,右边为T,与等价表达式矛盾。
所以{∨},{∧}和{→}不是最小联结词。
(9)证明{┐,→}和{┐,}是最小联结词组。
证明:
因为{┐,∨}为最小联结词组,且P∨Q┐P→Q
所以{┐,→}是功能完备的联结词组,又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。
所以{┐,→}是最小联结词组。
又因为P→Q┐(PQ),所以{┐,}是功能完备的联结词组,又{┐},{}不是功能完备的联结词组,
所以{┐,}是最小联结词组。
习题1-7
(1)解:
P∧(P→Q)
P∧(┐P∨Q)
(P∧┐P)∨(P∧Q)
P∧(P→Q)
(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)
(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)
(2)解:
a)(┐P∧Q)→R
┐(┐P∧Q)∨R
P∨┐Q∨R
(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)
b)P→((Q∧R)→S)
┐P∨(┐(Q∧R)∨S)
┐P∨┐Q∨┐R∨S
(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)
c)┐(P∨┐Q)∧(S→T)
(┐P∧Q)∧(┐S∨T)
(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)
d)(P→Q)→R
┐(┐P∨Q)∨R
(P∧┐Q)∨R
(P∨R)∧(┐Q∨R)
e)┐(P∧Q)∧(P∨Q)
(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)
(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
(3)解:
a)P∨(┐P∧Q∧R)
(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)
(P∨Q)∧(P∨R)
b)┐(P→Q)∨(P∨Q)
┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)
(P∧┐Q)∨(P∨Q)
(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)
c)┐(P→Q)
┐(┐P∨Q)
P∧┐Q
(P∨Q)∧(
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