九年级数学上册第一章特殊平行四边形12矩形的性质与判定第2课时矩形的判定同步练习新版北师大版.docx
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九年级数学上册第一章特殊平行四边形12矩形的性质与判定第2课时矩形的判定同步练习新版北师大版.docx
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九年级数学上册第一章特殊平行四边形12矩形的性质与判定第2课时矩形的判定同步练习新版北师大版
第2课时 矩形的判定
知识点1 根据定义判定
1.如图1-2-16,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是( )
A.AB=BCB.AO=CO
C.∠ABC=90°D.∠1=∠2
2.木工师傅做一个矩形木框,做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框________.(填“合格”或“不合格”)
图1-2-16
图1-2-17
3.如图1-2-17,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,当△ABC满足条件__________时,四边形AEDF是矩形.
4.如图1-2-18,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:
四边形AODE是矩形.
图1-2-18
知识点2 根据对角线相等判定
图1-2-19
5.如图1-2-19,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,要使它成为矩形,需再添加的条件是( )
A.AO=OCB.AC=BD
C.AC⊥BDD.BD平分∠ABC
6.如图1-2-20,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,要使▱ABCD为矩形,则OB的长为( )
A.4B.3C.2D.1
图1-2-20
图1-2-21
7.如图1-2-21,工人师傅砌门时,要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形),在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC,BD的长度,然后看它们是否相等就可以判断了.
(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时,门框符合要求;
(2)这种做法的根据是______________________.
8.教材例2变式题如图1-2-22,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,△OAB为等边三角形,BC=
.求四边形ABCD的周长.
图1-2-22
知识点3 根据直角的个数判定
9.对于四边形ABCD,给出下列4组条件:
①∠A=∠B=∠C=∠D;②∠B=∠C=∠D;③∠A=∠B,∠C=∠D;④∠A=∠B=∠C=90°,其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )
A.1组B.2组C.3组D.4组
图1-2-23
10.如图1-2-23,直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为________.
11.下列命题错误的是( )
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
12.如图1-2-24,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知下列6个条件:
①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;
④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD.
下列组合中,不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A.①②③B.②③④
C.②⑤⑥D.④⑤⑥
图1-2-24
图1-2-25
13.如图1-2-25,D,E,F分别是△ABC各边的中点.添加下列条件后,不能得到四边形ADEF是矩形的是( )
A.∠BAC=90°B.BC=2AE
C.ED平分∠AEBD.AE⊥BC
图1-2-26
14.如图1-2-26,已知四边形ABCD,E,F,G,H分别是四边的中点,只要四边形ABCD的对角线AC,BD再满足条件________,则四边形EFGH一定是矩形.
15.如图1-2-27,AB∥CD,PM,PN,QM,QN分别为角平分线.求证:
四边形PMQN是矩形.
图1-2-27
16.如图1-2-28,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形.求证:
四边形ADCE是矩形.
图1-2-28
17.如图1-2-29,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.
(1)求证:
△BOE≌△DOF;
(2)若OD=
AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
图1-2-29
18.如图1-2-30,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
图1-2-30
1.C
2.合格
3.答案不唯一,如∠BAC=90°
4.证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°.
∵DE∥AC,AE∥BD,
∴四边形AODE是平行四边形.
又∵∠AOD=90°,
∴四边形AODE是矩形.
5.B
6.B
7.
(1)等于
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
8.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OB.
∵△OAB为等边三角形,∴OA=OB=AB,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD为矩形,
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,AC=2OA=2AB,BC=
,由勾股定理,得AB=
=1,
∴四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(1+
).
9.B
1012.
11.C
12.C
13.D
14.AC⊥BD
15.证明:
∵PM,PN分别平分∠APQ,∠BPQ,
∴∠MPQ=
∠APQ,∠NPQ=
∠BPQ.
∵∠APQ+∠BPQ=180°,
∴∠MPQ+∠NPQ=90°,即∠MPN=90°.
同理可证∠MQN=90°.
∵AB∥CD,∴∠APQ+∠CQP=180°,
∴∠MPQ+∠MQP=90°,
即∠PMQ=90°,∴四边形PMQN是矩形.
16.证明:
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BC,AB=DE,AE=BD.
∵D为BC的中点,∴CD=BD.
∴CD∥AE,CD=AE,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,AB=DE,
∴AC=DE,
∴平行四边形ADCE是矩形.
17.解:
(1)证明:
∵DF∥BE,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO.
∵O为AC的中点,∴OA=OC.
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF.
在△BOE和△DOF中,∠EBO=∠FDO,∠BEO=∠DFO,OE=OF,
∴△BOE≌△DOF(AAS).
(2)若OD=
AC,则四边形ABCD是矩形.
证明:
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.
∵OD=
AC,
∴OA=OB=OC=OD,且BD=AC,
∴四边形ABCD是矩形.
18.解:
(1)证明:
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,如图所示,
∴∠2=∠5,∠4=∠6.
∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.
(2)∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°.
∵CE=12,CF=5,∴EF=
=13,
∴OC=
EF=6.5.
(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:
当O为AC的中点时,AO=CO.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形.
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