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力学竞赛试题
力学竞赛试题
海南大学土木建筑工程学院、海南省力学学会
第二届力学竞赛试题
1、如图1所示,质量均为m的n(n>3)个均质圆柱体依次搁置在倾角为30°的斜面上,并用铅垂设置的铰支板挡住。
若已知圆柱半径为R,板长为I,各圆柱
与斜面和挡板之间的摩擦系数卩二1/3,且不计各圆柱之间的摩擦,试求维持系
统平衡时的最大水平力P。
图
【解】先设圆柱On,由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零,依次判断,
直到圆柱。
2与斜面间摩擦力均为零。
再研究圆柱O2Q3,…,On共n-1个柱体的整
体平衡,由
Fx=0
N2为圆柱Oi与02间的作用力
再研究Oi圆柱,受力如图,由
、%=0
有F^Fi
设AO=BO=a,由
―ITIo=0
N1amgR二N1aN2R
当n-3时,N; 由 'TIb=0 将N2代入,得 (n+3^+1) Nr二mg 所以 (n+3)(V3+1) F^=JNrmg 12 由Fx,0 「””(5^+3)n+3V5+9 N=N2cos30、F1cos3^Nsin30mg 12 最后研究铰支板的平衡,由 二mo=0 PI二Nr3r 所以 Pmax二扌53n31mg 2、如图2所示,偏心轮质量为m,偏心距OC=e。 轮对质心C的回转半径为p,置于光滑水平面上。 初始时OC呈水平,质心C有一水平初速u,轮的角速度为零。 求当C点运动至最低位置时,水平面对轮的约束反力。 图 【解】取质心平动参考系Qxy(图7),它以常速度v运动。 质心C的相对速度vr沿y轴。 由动能定理,有 图7 =mgecos 其中Jc二m*。 当质心C运动至最低点时,有 0,=0 故有 22ge 此时运用相对质心的动量矩定理, 所以C点的加速度向上,为 aC=e-2 所以有 N-mg二maC 3、图3所示对称桁架,受载荷P作用,己知各杆材料相同,横截面面积也相同, 问有何办法可使各杆同时达到材料的许用应力[0]? 应力同时达到t1,可采用加装配应力的办法,即 预先将杆3做长: ,在强制装配以后,杆3将具有预应力,而杆1、2将具有预拉应力。 由图8可知,设外载增至〔P1时,各杆的应力同时到达匚丨,节点A到达A 在小变形假设的前提下,叠加原理使用,「.与各杆伸长量之间应满足下列协调方程 .=「: 丨2=•: |3■JCOST 各杆的轴力又满足下列物理方程 (i=1,2,3) 由方程(3)、(4)解得杆3长度的过盈量§, 1tan2二 E 该桁架的许用载荷为 〔P二Ai2cos^ 由式(5)可以看出,这个解答的适用范围有一定的限制,即若接近二时,「•就 2 变得相当大,这时,小变形假设就不适用了,因此所得「•值也就没意义了。 办法2: 对于短暂加载情况,除了上述办法外,还可以采用加热应力的办法 来达到相同的目的,若材料的线膨胀系数为[,又假设材料的许用应力不随 温度的改变而改变,则杆3所需升高的温度为 4、物块C的重量为G,置于悬臂梁AB上(图4),梁长L,弯曲刚度EI,物块与梁间的摩擦系数为[1,求: (1)物块开始滑动时的位置; (2) 物块滑离B端时的速度 (3) 由以上二式易得 (2)物块由D处滑至B处,在此阶段的始、末两处的挠度分别为 设物块滑离B端时的速度为v,W为摩擦力F在此滑动过程中所作的功,由能量守恒定律可得 这里假定物块很小,其转动动能可忽略不计由于 dW二Fds F—Gcos^ 1 ds=1y2%x 1 cos|T|=dx/ds=(1+y"2f2 故有 1 dW=AGcoS&|41+y"fdx=PGdx 积分上式,得 W-GL-s 将式(3)代入式 (2),最后得到 1 v=』2g(L-s[3Ep(L2+Ls+S2卜厂] 5、下列结构均为等直杆,各相应载荷为任意分布。 证明图5中(a)杆的轴力 图、(b)圆轴的扭矩图、(c)梁的剪力图、(d)梁的弯矩图,其图形面积代数和均为零((c)梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外)。 图 【证明】设轴力为Nx,扭矩为Tx,弯矩为Mx,剪力为Qx,E为弹性模 量,G为切变性模量,I和Ip分别为轴惯性矩和极惯性矩,A为杆的截面面积。 (a)图,受任意分布和集中的轴向力作用。 杆的总伸长为詔=0。 由胡克定律,正应变;x二山,故轴力图面积的代数和为 EA II ('N=Nxdx^EA;xdx=EA: 1=0 0‘0 (b)图,受任意分布和集中的扭力偶作用。 圆轴扭转角,的边界条件为 「Oi: ■: 打I;=0,根据圆轴扭转变形基本公式—=Tx,故扭矩图面积的代数和 dxGlP 为 i|d护| f! (T)=[T(xpx=Glp(—dx=Glp®o=O dx (c)图,受任意分布和集中的横向载荷作用。 对于简支梁,M0二MI=0, 且在无分布力偶矩的情况下,剪力与弯矩的微分关系为型二Q,故有 dx 0(Q)=[dx=M0=0 10dx 受到分布和集中力偶矩作用时,此值一般不为零,因为关系式中, dx 未考虑分布力偶矩的作用。 在这种情况下,应修正为 I : ;〔Qmxdx7Mi i 其中mx与Mi为分布力偶矩和集中力偶矩,逆时针为正。 (d)图,受任意分布和集中的横向载荷及力偶矩作用。 两端固支梁,转角边 2 界条件为二0八I=0,有微分关系为^4=—=— dxdxEl IId- 门MMxdx二EldEHx0=0 00dx 能够得出以上结论是因为,被积函数是有界且只有有限个间断点,因而总 是可积的。 在(a)、(b)、(d)三种情况下以及(c)只受横向载荷的情况下,原函数 關「门总是连续的,积分值仅与该原函数在两端的函数有关,而不必求出原函数。
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