常微分方程总结.docx
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常微分方程总结
(1)概念
微分方程:
一般,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶:
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如:
一阶:
dy2xdx
ds
二阶:
ds0.4dt2
三阶:
xyx2y4xy3x2
四阶:
y44y10y12y5ysin2x
一般n阶微分方程的形式:
Fx,y,y,,yn0。
这里的yn是必须出现。
(2)微分方程的解
设函数yx在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,
Fx,
x,xxn0则yx称为微分方程Fx,y,y,,yn0的解。
注:
一个函数有n阶连续导数→该函数的n阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的,中间没有断开(即没有间断点)。
导数→导函数简称导数,导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的,而并没有在某点发生突变。
函数连续定义:
设函数yfx在点x0的某一邻域内有定义,如果limfxfx0则
xx0
称函数fx在点x0连续。
左连续:
limfxfx0fx0左极限存在且等于该点的函数值。
xx0
右连续:
limfxfx0fx0右极限存在且等于该点的函数值。
xx0
在区间上每一个点都连续的函数,叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间,包括端点,是
指函数在右端点左连续,在左端点右连续。
函数在x0点连续
limfxxx0
limfxlimfxfx0
xx0xx0
3、
lim
xx0
fxfx0
3)微分方程的通解
这样的解叫微分
如果微分方程中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,方程的通解。
注:
任意常数是相互独立的:
它们不能合并使得任意常数的个数减少。
补充:
设y1x,y2x,ynx是定义在区间I上的n个函数,若存在n个不全为零的常数(强
调存在性,找到一组常数即可)k1,k2,,kn,使得当对xI时有恒等式:
k1y1(x)k2y2(x)kny3x0成立。
则称这
仅当k1,k2,,kn全等于零该等式才恒成立。
则这
n个函数在区间I上线性相关。
若当且
n个函数在区间I上就线性无关
例:
函数1,sin2x,cos2x在整个数轴上线性相关。
1sin2xcos2x0恒成立。
函数1,xx,2在任何区间a,b→线性无关要使k1k2xk3x20恒成立,则
2
k1k2k30否则:
若k1,k2,k3不同时等于零,则k1k2xk3x0最多只有两个x的
值能是该式恒成立。
对x不具有普遍性。
对两个函数y1x,y2x而言:
y1xc(常数)→线性相关
y2x
y1xx(函数)→线性无关
y2x
定解条件(初始条件):
微分方程的通解中含有任意常数,实际情况→提出确定这些常数
的条件。
通解→特解
一阶微分方程定解条件一般为:
yxxy0
二阶微分方程定解条件一般为:
yxx0y0,yxx0y0其中x0,y0,y0都是给定的值。
微分方程的解→yx的图形是一条曲线→称作
微分方程的积分曲线
求微分方程yf(x,y)满足初始条件y
xx0
y0的特解这一问题称作一阶微分方程的初
yf(x,y)
值问题。
记作
yxx0y0
几何意义:
求微分方程的通过x0,y0的那条积分曲线。
yfx,y,y
二阶微分方程的初值问题:
yxx0y0,yxx0y0
几何意义:
求微分方程的通过点x0,y0且在该点斜率为y0的那条积分曲线。
(4)几种常见的微分方程
1、可分离变量的微分方程
一般形式形式:
yf(x,y)
qx,y
(px,y0)px,y
对称形式:
px,ydxqx,ydy0(x,y都可以看做函数,另一个为自变量)
即:
ddxyqpxx,,yy(qx,y0)或ddxy
可分离变量:
如果一阶微分方程能写成gydyfxdx的形式。
特点:
一端只含y的函
数和dy,另一端只含x的函数和dx。
这样微分方程称为可分离变量的微分方程。
例:
求解y2xy的通解。
dx
1122
解:
dy2xdx→dy2xdx→lnyxc1→通解:
ye1ce
yy
2、齐次微分方程
一阶微分方程可以化成dyfy的形式。
dxx
求解:
yux,
dydudu11
xuxufududx(可分离变量)通解
dxdxdxfuux
例:
解方程y2x2dyxydy
dxdx
3、一阶线性微分方程
2
x2dyxydyydyydy
dxdxxdxxdx
duxu1u11
dxu
u
lnuxuc1uxc2e
du
dx
du
1
dxx
y
yux,yc2ex
du
xuuxu
dx
1
dudxulnulnxc1x
y
lnyc
x
dypxy0,称为一阶齐次线性微分方程。
dx
dypxyqx(qx0),称为一阶非齐次线性微分方程。
dx
一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
dy
dx
解dypxy0的通解如下:
可分离变量的一阶微分方程dx
pxy01dypxdxlnypxdxc1yc2epxdx
y
pxdxyce
采用积分因子法求
dypxyqx的一个特解如下:
dx
pxdx
指数因子:
e
dypxyqxepxdxdy
dxdx
pxdx
pxyqxe
epxdxyqxepxdx
pxdxpxdxpxdxpxdx
eyqxedxcyeqxedxc
dypxyqx(qx0)的通解为:
dx
例:
求解dy2yx152的通解
dxx1
齐次通解:
dy2y
dxx1
5x12
pxdxpxdxpxdx
yceeqxedx
dy2y0dydx
dxx1
2yx1
1
ln2ylnx1c1
2
ln2y2lnx12c1ln2ylnx1ln2c2ln2yln2cx1
2
ycx1
非齐次特解:
dy2y5
x12
dxx1
ex21dxe
y
x21dx5x21dx
x1x12ex1y
2dx5
ex1x12dx
2l1521
nxx12dxx1yx12dx
21223
x1yx12dxyx1x12c1
3
2lnx1
eye
通解:
yx122x12c
4、伯努利方程
形如:
dypxyqxyn
dx
当n0时,dypxyqx一阶线性微分方程(公式法)
dx
当n1时,dypxyqxydyqxpxy可分离变量微分方程
dxdx
求通解过程:
dynndy
dxpxyqxyydx
1n
pxyqx
y1n1npxy1n1nqx作变量代换zy1n
dz1n
1npxy1nqx(积分因子公式法)
dx
例:
求解dyyalnxy2的通解。
(答案:
yxcalnx21)
dxx2
5二阶线性微分方程
yy,y2y,y,y,yn。
dxdx
d
形如:
2px
dx
qxyfx
d2ydy
fx0时,d2ypxdyqxy0称为:
二阶线性齐次微分方程。
dxdx
d2ydy
fx0时,2pxqxyfx称为:
二阶非齐次微分方程。
dxdx
推广:
n阶线性微分方程yna1xyn1an1xyanxyfx
线性微分方程解的结构:
对d22ypxdyqxy0
dxdx
d2ydy
定理1:
如果函数y1x和y2x都是2pxqxy0的两个解,则
dxdx
yc1y1xc2y2x也是该方程的解。
其中c1,c2都是任意常数。
证明:
yc1y1xc2y2xc1y1x+c2y2x
y1x是原方程的解,则:
y1xpxy1xqxy1x0
c1y1xpxc1y1xqxc1y1x0
同理c2y2xpxc2y2xqxc2y2x0
c1y1xc2y2xpxc1y1xc2y2xqxc1y1xc2y2x0、
2
得证:
yc1y1xc2y2x是2ypxyqxy0的解。
dxdx
2
定理2:
如果函数y1x和y2x都是
qxy0的两个线性无关的特解
d2ypxdy
dxdx
yc1y1xc2y2x(其中c1,c2都是任意常数)就是原方程的通解。
例:
yy0
d2y2
解:
yy02y010,12jyc1cosxc2sinx
dx
ysinx
可验证:
y1cosx和y2sinx是yy0的两个解2tanx,线性无关
y1cosx
d2d
设yx是二阶非齐次线性微分方程d2ypxdyqxyfx的一个特
dxdx
,且Yx是二阶齐次线性微分方程ypxyqxy0的通解。
则dx2dx
yYxyx是二阶非齐次微分方程d2ypxdyqxyfx的通解。
dxdx
4:
设二阶非齐次微分方程
dydy
2pxqxyfx的右端fx是两个函数dxdx
2
d
与y2x分别是2px
dx
之和,即fxf1(x)f2(x)。
形如2ypxyqxyf1(x)f2(x),且y1x
dydy
qxyf1(x)和2pxqxyf2(x)的特
dxdx
解,则y1xy2x就是原方程的特解。
(解的叠加原理)
例:
已知y1xx是齐次方程x2y2xy2y0的一个解,求非齐次线性方程
2323
xy2xy2y2x的通解。
(答案yc1xc2xx)
6二阶常系数齐次线性微分方程
d2ydy
形如:
2pxqxy0或ypxyqxy0
dxdx
二阶常系数齐次线性微分方程
当px,qx均为常数,即ypyqy0或dy2pdyqy0其中p,q均为常数。
dxdx
求解:
ypyqy02pq0
三种情况:
1)两个不等实根:
1,2yc1e1xc2e2x
2)两个相等实根:
12yc1c2xex
3)一对共轭复根:
1j,2jyexc1cosxc2sinx
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