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平行四边形经典.docx
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平行四边形经典
平行四边形
(一):
【知识梳理】
1.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,平行四边形的定义要抓住两点,即“四边形”和“两组对边分别平行”.
四边形的边角按位置关系可分为两类:
对边(没有公共端点的两条边);邻边(有一个公共端点的两条边)
对角(没有公共边的两个角);邻角(有一条公共边的两个角)
对角线:
不相邻的两个顶点连成的线段
2.两条平行线间的距离:
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线间的距离.两条平行线间的距离是一个定值,不随垂线段位置改变而改变,两条平行线间的距离处处相等.
3.平行四边形的性质:
平行四边形的两组对边分别平行;符号语言表达:
平行四边形的两组对边分别相等;四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的两组对角分别相等;
平行四边形的对角线互相平分.
4.平行四边形的判定:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言表达:
AB∥CD.BC∥AD
四边形ABCD是平行四边形
AB=CD,BC=AD
四边形ABCD是平行四边形.
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD
四边形ABCD是平行四边形.
OA=OC,OB=OD
四边形ABCD是平行四边形.
∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB
边形ABCD是平行四边形.
5.平面的密铺定义:
把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起,使得平面上不留空隙,不重叠,这就是平面图形的密铺,也叫平面图形的镶嵌.
6.对于限于用一种图形密铺的问题,有三角形、四边形和正六边形,如果能实现平面图形的密铺,密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角,于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角.
二:
【经典考题剖析】
1.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比,其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是()
A.l:
2:
3:
4B.2:
3:
2:
3
C.2:
3:
3:
2D.1:
2:
2:
3
2.以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点,则可作出平行四边形()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图,□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范围是()
A.1<m<11;B.2<m<22;C.10<m<12;D.5<m<6
4.一个正多边形的每个外角都是36○,则这个多边
形是_________边形.
5.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍,那么这个多边形的边数是_________.
三:
【课后训练】
1.平行四边形一组对角的平分线()
A.在同一条直线上;B.平行;C.相交;D.平行或在同一直线上
2.如图,在□ABCD中,如果点M为CD中点,AM与BD相交于点N那
么SΔDMN:
S□ABCD为()
A.1:
12B.1:
9C.1:
8D.1:
6
3.已知□ABCD的周长为30㎝,AB:
BC=2:
3,那么AB=___________㎝.
4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=10,BD=8,AB=x,则x的取值范围是()
A.1<x<9;B.2<x<18;C.8<x<10;D.4<x<5
5.现有一块等腰直角三角形的铁板,通过切割焊接成一个含有45○角的平行四边形,请你设计一种最简单的方案,并说明你的方案正确的理由.
6.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等.(只需说明一组线段相等即可)
(1)连接_______;
(2)猜想________
(3)说明理由.
7.如图,某村有一块四边形池塘,在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树,此村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘的面积扩大一倍,又保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形状,你认为该村能否实现这一设想?
若能,请你设计并画出图形;若不能请说明理由.
8.已知:
如图1―4―7在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任
意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?
说明你的理由.
9.小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工(如图1-4-61甲所示),他想在现有的六块瓷砖余料中(如图1-4-61乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号)
10.用三种不同的方法把平行四边形面积四等分.(在所给的图形图如图1-4-78中,画出你的设计方案,画图工具不限).
矩形、菱形、正方形
(一):
【知识梳理】
1.性质:
(1)矩形:
①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形:
①菱形的四条边都相等.②菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.③具有平行四边形所有性质.
(3)正方形:
①正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
2.判定:
(1)矩形:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②对角线相等的平行四边形是矩形.③有三个角是直角的四边形是矩形.
(2)菱形:
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形.②一组邻边相等的平行四边形是菱形.③四条边都相等的四边形是菱形.
(3)正方形:
①有一个角是直角的柳是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.面积计算:
(1)矩形:
S=长×宽;
(2)菱形:
(
是对角线)
(3)正方形:
S=边长2
4.平行四边形与特殊平行四边形的关系
二:
【经典考题剖析】
1.下列四边形中,两条对角线一定不相等的是()
A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形
2.周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为()
A.98B.96C.280D.284
3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80,AB的垂直平分线EF交
对角线AC于点F、E为垂足,连结DF,则∠CDF等于()
A.80°B.70°C.65°D.60°
4.如图,小明想把平面镜MN挂在墙上,要使小明能从镜子里看
见自己的脚?
问平面镜至多离地面多高?
(已知小明身高1.60米)
5.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、
DA的中点,请添加一个条件,使四边形EFGH为菱形,并说明理由,
添加的条件__________,理由:
三:
【课后训练】
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()
A.四个角都是直角;B.对角线相等;C.对角线互相平分;D.对角线互相垂直
2.如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形,小明把矩形
的一个角沿折痕AE翻折上去,使AB和AD边上的AF重合,则四
边形ABEF就是一个最大的正方形,他的判断方法是________-
3.如图,在菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,且CA:
BD=l:
若AB=2,求菱形ABCD的面积.
4.如图,以△ABC的三边长为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,
即△ABD、△ACF、△BCE,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
5.在一次数学兴趣小组活动中,组长将两条等宽的长纸条倾斜地重
叠着,并问同学,重叠部分是一个什么样的四边形?
同学说:
这是
一个平行四边形.乙同学说:
这是一个菱形.请问:
你同意谁的看
法要解决此题,需建构数学模型,将实际问题转化成数学问题来解决,
即已知:
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,边CD与边BC上的高相等,试判断四边形ABCD的形状.
6.检查你家(或教室)的门框(或方桌面)是不是矩形,如果仅有一根较长的绳子,你怎样检查?
并解释其中的道理。
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90○,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE的延长线上,并且AF=CE.
(1)求证:
四边形ACEF是平行四边形;
(2)当上B的大小满足什么条件时,
四边形ACEF是菱形?
请回答并证明你的结论;
(3)四边形ACEF有可能为正方形吗?
为什么?
8.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:
BE=CF.
9.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x,四边形PBCD的面积为y.
(1)写出y与x的函数关系,并确定自变量x范围.
(2)有人提出一个判断:
“关于动点P,⊿PBC面积与
ΔPAD面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由
10.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P对同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0<t<6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论
梯形及多边形
(一):
【知识梳理】
1.多边形:
(1)多边形的定义:
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段;首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形,在多边形中,组成多边形的各条线段叫做多边形的边,每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点,连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(2)多边形的内角和:
n边形的内角和=(n-2)180°
(3)正多边形:
在平面内,内角都相等,边也相等的多边形叫做正多边形.
(4)多边形的外角:
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角,叫做这个多边形的外角.在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做多边形的外角和,多边形的外角和都等于360°
(5)过n边形的一个顶点共有(n-3)条对角线,n边形共有
条对角线.
(6)过n边形的一个顶点将n边形分成(n-2)个三角形.
2.梯形:
(1)定义:
一组对边平行,另一组对进不平行的四边形叫梯形.两腰相等的梯形叫等腰梯形.一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.
(2)等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等.
(3)等腰梯形的判定:
①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.②对角线相邻的梯形是等腰梯形.
(4)等腰梯形常见的作辅助线的方法.
①作等腰梯形的两条高,将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形,
如图l-4-26
②平移一腰,将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形.
如图l-4-27.
③平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,如图l-4-28.
④如果题中有一腰的中点,则可连结上底的一
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