851直线与直线平行教案学年高一数学人教A版必修第二册.docx
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851直线与直线平行教案学年高一数学人教A版必修第二册
8.5.1 直线与直线平行
(教师独具内容)
课程标准:
1.借助长方体理解并掌握基本事实4.2.理解并掌握等角定理.3.结合图形,综合运用基本事实4和等角定理解决空间线线平行的相关问题.
教学重点:
基本事实4及等角定理.
教学难点:
运用基本事实4或等角定理解题.
核心素养:
通过学习和运用基本事实4和等角定理的过程,提升数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养.
1.求证两条直线平行,目前有两种途径:
一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行,这是一种常用方法,要充分利用好平面几何知识;二是证明在同一平面内,这两条直线无公共点.
2.等角定理是立体几何的基本定理之一.对于空间中两个不相同的角,如果它们的两组对应边分别平行,则这两个角相等或互补.当角的两组对应边同时同向或同时反向时,两角相等;当两组对应边一组同向一组反向时,两角互补.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于空间的三条直线a,b,c,如果a∥b,a与c不平行,那么b与c不平行.( )
(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等.( )
(3)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行.( )
(4)对于空间直线a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d.( )
2.做一做
(1)已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于( )
A.30°B.30°或150°
C.150°D.以上结论都不对
(2)如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心,且△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°.求证:
GH∥MN.
题型一基本事实4的应用
例1 如图所示,E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.求证:
四边形B1EDF是平行四边形.
[跟踪训练1] 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:
四边形EBFD1是菱形.
题型二等角定理的应用
例2 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为AA1,BB1,CC1的中点.求证:
∠MC1N=∠APB.
[跟踪训练2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,M,N分别为AD,AB,C1D1,B1C1的中点,求证:
A1P∥CN,A1Q∥CM,且∠PA1Q=∠MCN.
1.已知角α的两边和角β的两边分别平行,且α=80°,则β=( )
A.80°B.100°
C.80°或100°D.不能确定
2.已知空间四边形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且
=
=
.则四边形EFGH的形状是( )
A.空间四边形
B.平行四边形
C.矩形
D.梯形
3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是____.
5.如图所示,不共面的三条射线OA,OB,OC,点A1,B1,C1分别是OA,OB,OC上的点,且
=
=
.求证:
△A1B1C1∽△ABC.
一、选择题
1.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为( )
A.相交B.平行
C.异面D.重合
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交B.异面
C.平行D.不确定
3.给出下列命题:
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且
=
=
,则下列说法正确的是( )
A.EF与GH平行
B.EF与GH异面
C.EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
D.EF与GH的交点M一定在直线AC上
5.(多选)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
二、填空题
6.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF=____.
7.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;
④若a,b与c成等角,则a∥b.
其中正确的是____(填序号).
8.P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB,△PBC的重心,AC=a,则DE的长为____.
三、解答题
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
求证:
(1)四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:
△EFG∽△C1DA1.
1.(多选)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则( )
A.PQ=
MN
B.PQ∥MN
C.M,N,P,Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
2.已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则EG2+HF2的值是( )
A.5B.10
C.12D.不能确定
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别为棱C1D1,C1C,DD1的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④∠DAH=∠CBN.
其中正确的结论为____(注:
把你认为正确的结论的序号都填上).
4.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:
四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果AC=BD,求证:
四边形EFGH是菱形;
(3)若AC⊥BD,请问四边形EFGH是什么图形?
5.如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
求证:
(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
8.5.1 直线与直线平行
(教师独具内容)
课程标准:
1.借助长方体理解并掌握基本事实4.2.理解并掌握等角定理.3.结合图形,综合运用基本事实4和等角定理解决空间线线平行的相关问题.
教学重点:
基本事实4及等角定理.
教学难点:
运用基本事实4或等角定理解题.
核心素养:
通过学习和运用基本事实4和等角定理的过程,提升数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养.
1.求证两条直线平行,目前有两种途径:
一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行,这是一种常用方法,要充分利用好平面几何知识;二是证明在同一平面内,这两条直线无公共点.
2.等角定理是立体几何的基本定理之一.对于空间中两个不相同的角,如果它们的两组对应边分别平行,则这两个角相等或互补.当角的两组对应边同时同向或同时反向时,两角相等;当两组对应边一组同向一组反向时,两角互补.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于空间的三条直线a,b,c,如果a∥b,a与c不平行,那么b与c不平行.( )
(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等.( )
(3)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行.( )
(4)对于空间直线a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d.( )
答案
(1)√
(2)× (3)× (4)√
2.做一做
(1)已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于( )
A.30°B.30°或150°
C.150°D.以上结论都不对
(2)如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心,且△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°.求证:
GH∥MN.
答案
(1)B
(2)证明:
如图,取PA的中点Q,连接BQ,CQ,则M,N分别在BQ,CQ上.
因为M,N分别为△PAB,△PAC的重心,
所以
=
=
,则MN∥BC.
又G,H分别为PB,PC的中点,
所以GH∥BC,所以GH∥MN.
题型一基本事实4的应用
例1 如图所示,E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.求证:
四边形B1EDF是平行四边形.
[证明] 设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1,如图.
∵E是AA1的中点,Q是DD1的中点,
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中,A1D1綊B1C1,
∴EQ綊B1C1.
∴四边形EQC1B1为平行四边形,∴B1E綊C1Q.
又Q,F分别是DD1,C1C的中点,∴QD綊C1F.
∴四边形C1QDF为平行四边形.
∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形.
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
(2)利用基本事实4即找到一条直线c,使得a∥c,同时b∥c,由基本事实4得到a∥b.
[跟踪训练1] 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:
四边形EBFD1是菱形.
证明 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取棱BB1的中点G,连接C1G,EG.
因为E,G分别为棱AA1,BB1的中点,所以EG綊A1B1.
又A1B1綊C1D1,所以EG綊C1D1,
从而四边形EGC1D1为平行四边形,所以D1E綊C1G.
因为F,G分别为棱CC1,BB1的中点,所以C1F綊BG,从而四边形BGC1F为平行四边形,所以BF綊C1G,
又D1E綊C1G,所以D1E綊BF,
从而四边形EBFD1为平行四边形.
不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易知BE=BF=
a,
故平行四边形EBFD1是菱形.
题型二等角定理的应用
例2 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为AA1,BB1,CC1的中点.求证:
∠MC1N=∠APB.
[证明] 因为N,P分别是BB1,CC1的中点,所以BN綊C1P,所以四边形BPC1N为平行四边形,所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP,又∠MC1N与∠APB方向相同,所以∠MC1N=∠APB.
运用等角定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种:
一是判定两个角的方向是否相同;二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角,若都为锐角或都为钝角则相等,反之则互补.
[跟踪训练2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,M,N分别为AD,AB,C1D1,B1C1的中点,求证:
A1P∥CN,A1Q∥CM,且∠PA1Q=∠MCN.
证明 如图,取A1B1的中点K,连接BK,KM.易知四边形MKBC为平行四边形,∴CM∥BK.
又K,Q分别为A1B1,AB的中点,
∴A1K∥BQ且A1K=BQ,
∴四边形A1KBQ为平行四边形.
∴A1Q∥BK,由基本事实4有A1Q∥CM.
同理可证A1P∥CN,由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行,且方向相反.
∴∠PA1Q=∠MCN.
1.已知角α的两边和角β的两边分别平行,且α=80°,则β=( )
A.80°B.100°
C.80°或100°D.不能确定
答案 C
解析 由等角定理可知,α=β或α+β=180°,∴β=100°或β=80°.
2.已知空间四边形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且
=
=
.则四边形EFGH的形状是( )
A.空间四边形
B.平行四边形
C.矩形
D.梯形
答案 D
解析 在△ABD中可得EH∥BD,EH=
BD,在△CBD中可得FG∥BD,FG=
BD,所以EH,FG平行且不相等,所以四边形EFGH是梯形.
3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析 在如图所示的长方体中,不妨设l2为直线AA1,l3为直线CC1,则直线l1,l4可以是AB,BC,此时l1⊥l4;也可以是AB,CD,此时l1∥l4;也可以是AB,B1C1,此时l1与l4异面,故选D.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是____.
答案 平行
解析 连接D1E并延长,与AD交于点M,则△MDE∽△D1A1E,因为A1E=2ED,所以M为AD的中点.连接BF并延长,交AD于点N,同理可得,N为AD的中点.所以M,N重合,又
=
,
=
,所以
=
,所以EF∥BD1.
5.如图所示,不共面的三条射线OA,OB,OC,点A1,B1,C1分别是OA,OB,OC上的点,且
=
=
.求证:
△A1B1C1∽△ABC.
证明 在△OAB中,
因为
=
,所以A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC,B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
一、选择题
1.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为( )
A.相交B.平行
C.异面D.重合
答案 B
解析 将展开图还原为正方体,如图所示.故选B.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交B.异面
C.平行D.不确定
答案 C
解析 连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.故选C.
3.给出下列命题:
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
答案 B
解析 对于①,这两个角也可能互补,故①错误;②显然正确;对于③,如图所示,BC⊥PB,AC⊥PA,∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边,但这两个角不一定相等,也不一定互补,故③错误.所以正确的命题有1个.
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且
=
=
,则下列说法正确的是( )
A.EF与GH平行
B.EF与GH异面
C.EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
D.EF与GH的交点M一定在直线AC上
答案 D
解析 连接EH,GF.因为F,G分别是边BC,CD上的点,且
=
=
,所以GF∥BD,且GF=
BD.因为点E,H分别是边AB,AD的中点,所以EH∥BD,且EH=
BD,所以EH∥GF,且EH≠GF,所以EF与GH相交,设其交点为M,则M∈平面ABC,M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以M在直线AC上.故选D.
5.(多选)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
答案 ABC
解析 由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确.由三角形的中位线定理,知MQ綊
BD,NP綊
BD,所以MQ綊NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.选ABC.
二、填空题
6.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF=____.
答案 90°
解析 由题意可知DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC=90°.
7.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;
④若a,b与c成等角,则a∥b.
其中正确的是____(填序号).
答案 ①
解析 由基本事实4知①正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可能相交、平行,也可能异面,故②不正确;当a⊂平面α,b⊂平面β时,a与b可能平行、相交或异面,故③不正确;当a,b与c成等角时,a与b可能相交、平行,也可能异面,故④不正确.故正确说法的序号为①.
8.P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB,△PBC的重心,AC=a,则DE的长为____.
答案
a
解析 如图,∵D,E分别为△PAB,△PBC的重心,连接PD,PE,并延长分别交AB,BC于M,N点,则M,N分别为AB,BC的中点,
∴DE綊
MN,MN綊
AC,
∴DE綊
AC,∴DE=
a.
三、解答题
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
求证:
(1)四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
证明
(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴A1M1綊AM,
∴四边形AMM1A1是平行四边形,∴A1A綊M1M.
又A1A綊B1B,∴M1M綊B1B,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)由
(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,
∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC=∠B1M1C1.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:
△EFG∽△C1DA1.
证明 如图,连接B1C.
因为点G,F分别为BC,BB1的中点,所以FG綊
B1C.
又因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以CD綊AB,A1B1綊AB,
由基本事实4知,CD綊A1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形,
所以A1D綊B1C.
又因为B1C∥FG,由基本事实4知,A1D∥FG.
同理可证:
A1C1∥EG,DC1∥EF.
又因为∠DA1C1与∠FGE,∠A1DC1与∠GFE,∠DC1A1与∠FEG的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠FGE,∠A1DC1=∠GFE,∠DC1A1=∠FEG.
所以△EFG∽△C1DA1.
1.(多选)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则( )
A.PQ=
MN
B.PQ∥MN
C.M,N,P,Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
答案 BCD
解析 由题意知PQ=
DE,且DE≠MN,所以PQ≠
MN,故A不正确;又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确.
2.已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则EG2+HF2的值是( )
A.5B.10
C.12D.不能确定
答案 B
解析 如图所示,由三角形中位线的性质,可得EH綊
BD,FG綊
BD,再根据基本事实4可得四边形EFGH为平行四边形,所以∠HEF+∠EHG=π,又因为E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA的中点,BD=2,AC=4,所以EH=FG=
BD=1,EF=HG=
AC=2,所以EG2+HF2=EH2+HG2-2EH·GH·cos∠EHG+EH2+EF2-2EH·EF·cos∠HEF=1+4-4cos∠EHG+1+4-4cos(π-∠EHG)=10-4cos∠EHG+4cos∠EHG=10.故选B.
3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别为棱C1D1,C1C,DD1的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④∠DAH=∠CBN.
其中正确的结论为____(注:
把你认为正确的结论的序号都填上).
答案 ③④
解析 ∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故①错误;同理,直线AM与BN也是异面直线,故②错误;同理,直线BN与MB1是异面直线,故③正确;易得∠DAH=∠CBN,故④正确.
4.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:
四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果AC=BD,求证:
四边形EFGH是菱形;
(3)若AC⊥BD,请问四边形EFGH是什么图形?
解
(1)证明:
在△ABD中,
∵E,H分别为AB,AD的中点,
∴EH∥BD,且EH=
BD.
同理,在△BCD中,FG∥BD,且FG=
BD.
∴EH∥FG,且EH=FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)证明:
∵AC=BD,
由
(1)知EH=FG=
BD,同理EF=HG=
AC,
∴EH=HG=FG=EF.
∴四边形EFGH是菱形.
(3)∵AC⊥BD,∴EF⊥FG,
由
(1)知四边形EFGH是平行四边形,
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