最新人教版高中数学必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》教学设计2.docx
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最新人教版高中数学必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》教学设计2
教学设计
3.1.1 倾斜角与斜率
教学设计
(一)
作者:
陈佩玉,浙江省景宁中学教师,本教学设计获浙江省教学设计大赛三等奖
设计思想
根据新一轮课程改革的要求,新授课的教学设计必须用现代建构主义理念作指导,其核心意义在于不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养,还要关心和改善学生的学习方式,更要重视学生对数学的情感、态度等非智力因素的发展,如对创新起至关作用的“兴趣和好奇心”“问题意识”“毅力”等,从本质上体现素质教育的要求.本设计注重了探究过程的展开,使学生进一步理解、渗透数形结合、分类讨论的数学思想方法;同时,本设计还注重培养学生对数学知识的理解能力、应用能力以及转化能力.
教材分析
直线的倾斜角和斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发,引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定,是今后学习直线方程的必备知识.它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用,如神六的发射、建筑的设计有关计算等等,而且通过本节课的学习,能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法.而这些又都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.
学情分析
教学对象是刚接触解析几何的学生,虽然具有一定的观察和分析问题的能力,抽象概括能力也已初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻与辩证,从而导致思维的片面、不够严谨,同时学生又很容易把本节内容与立体几何中所学的研究方法进行类比,但其在认知上有明显的不利因素:
解析几何所用的研究方法与欧氏几何不同,前者是在直角坐标系的基础上,而后者所用的研究方法是以公理为基础,容易有思维的负迁移.
教学目标
1.知识与技能目标
(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
(2)理解直线的倾斜角的唯一性.
(3)理解直线的斜率的存在性.
(4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.
设计意图:
这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成,这是数学教学的首要环节,也正符合课程标准的要求.
2.过程与方法目标
通过过两点的直线斜率公式及其应用,培养学生对数学知识的理解能力,应用能力及其转化能力;通过坐标法的引入,培养学生联系、对应、转化等辩证思维.
设计意图:
因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼,从而让学生在能力上得到有效、持续地发展.
3.情感、态度与价值观
(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生的观察、探索能力,运用数学语言的表达能力、数学交流与评价能力.
(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
重点难点分析
本节课的重点:
直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式.难点:
斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式.
设计意图:
这样确定重点,既能夯实“双基”,又培养学生观察、探索能力、运用数学语言表达能力、数学交流与评价能力.帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学策略与手段
以问激学、以景激情、师生共同探讨,这样既能尊重学生的主体地位,又能充分发挥教师的主导作用,让学生亲历数学的发现过程,能充分调动学生学习的积极性与主动性.
课前准备
1.学生的学习准备:
复习初中一次函数的图象及相关的性质,预习本节新课知识.
2.教师的教学准备:
了解学生原有的直线储备知识的基础上备课,制作课件.
3.教学环境的设计与布置:
在提前一周内,用黑板报及图片方式宣传创立解析几何的两位数学家笛卡儿和费马的相关历史,以及在几何方面有突出贡献(实现机器证明)的我国数学家吴文俊.
4.教学用具的设计和准备:
多媒体、三角板.
教学过程
创设情境,提出问题
一次函数的图象有什么特点?
提出问题
在直角坐标系中棳过一个定点P的直线位置确定吗?
问题:
它对x轴的相对位置有几种情形,请画出来?
(学生总结概括)引入倾斜角的概念来刻画直线的倾斜程度.
设计意图:
这样,学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维,使新旧知识之间尽可能产生自然的联系,而不是人为地告诉其正确的结果,把经验、结论强加给学生.尊重学生,首先要接纳学生的认知基础,并加以诱导,使不同层次的学生都得到发展,这也正是“双自主”实验所倡导的.
由楼梯坡度的启发,引入直线的斜率
图1 图2
提问:
日常生活中,我们还有没有表示倾斜程度的量呢?
学生可以自主回答,教师根据学生的回答利用多媒体演示不同坡度的楼梯,并说明“坡度”实际就是“倾斜角α的正切”.从而得出斜率的概念.这样我们就得出一个是从“形”的方面刻画直线相对x轴的倾斜程度——倾斜角,一个是从“数”的方面刻画直线相对x轴的倾斜程度——斜率,同时强调倾斜角是90°的直线没有斜率.引入斜率的定义及表示法
k=tanα(α≠90°).
设计意图:
以日常生活中的斜面为例,引入斜率的概念,然后通过多媒体师生互动探讨,加深对斜率的理解,也有助于培养学生的观察分析,抽象概括能力.生活中的实例以及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣,充分引导学生主动参与的意识.
在明白直线的倾斜角与斜率都是用来刻画倾斜程度的基础上,进一步提出问题:
斜率为正或负时,倾斜角是怎样变化的?
直线具有怎样的位置?
学生思考,探究,可借助多媒体(教师演示或让学生亲自操作动画过程).
如图3:
拖动点P,改变直线的倾斜角α,可以观察到什么?
然后由学生发现与总结.
图3
设计意图:
充分利用现代化教学手段,引进数学实验,呈现直观、形象的数学,让问题的设计更具有开放性,更能激发学生的学习兴趣;把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态,化解学生的认知疑难.
探究:
直线斜率与直线上两点有关吗?
提出问题
如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率的定义tanα求出直线的斜率;如果给定直线上的两点坐标,直线是确定的,倾斜角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎样求出直线的斜率呢?
即已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求直线P1P2的斜率(见教材中图).
首先实验、演示,观察、猜想.利用几何画板课件演示:
学生观察①两点坐标的变化;②观察斜率与坐标
比值的关系,探索猜测k=
.
设计意图:
多媒体课件的引入可以增强课堂的趣味性,能够在动态演示中化解教学难点,有效的解决教学重点.
(学生思考,自主探究,合作交流)
其次利用多媒体演示探究过程,最后请同学们用已学知识给出证明.
(1)引导图形的4种可能情形.
(2)把α转化到直角三角形中.
(3)然后用数形结合的思想求出倾斜角的正切值.
设计意图:
利用多媒体演示探究过程,课堂上的探究成果,犹如磁铁一般吸引着学生.带着强烈的好奇心,学生的自主探究便扬帆起航了,更关键的是有如弗赖登塔尔指出的那样,有利于学生亲自参加“数学再创造”的历程.学生通过同化和顺应等心理活动,自主构建数学知识,不断完善数学认知结构,并有充分的机会表达自己对问题的理解和认识,从而获得成就感,改变那种“灌输——接受”的落后学习方式,让学生真正成为数学学习的主体.让他们感受到数学探索的价值和魅力.
纠错题:
根据学生对概念的理解,请同学们思考以下几个问题.
(1)不论倾斜角α是锐角还是钝角,斜率表示式是否一样?
(2)当直线倾斜角α确定后,k值与点A,B的顺序是否有关?
(3)当直线AB与x轴平行或重合时,公式还成立吗?
(4)当直线AB与y轴平行或重合时,公式还成立吗?
教师结合学生的回答,强调公式的适用条件(让学生了解分类讨论的思想方法)并熟记公式,以便以后的应用.
设计意图:
不仅完善了斜率的公式,也有助于培养学生的质疑意识,养成勤于动脑的良好思维习惯.有助于帮助学生自主学习,学会学习.
例题教学
1如图4,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.(由形定数)例1是简单的应用,可略讲.
图4
2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2和-3的直线.(由数定形)例2可用启发式教学:
问1:
已知斜率和原点,能不能迅速画出对应的直线?
问2:
通过斜率能找到倾斜角吗?
问3:
还可以选用什么方法找呢?
(两点确定一条直线)最后师生共同利用斜率公式找出直线上除原点的另一点,并利用多媒体画出对应的直线.
设计意图:
通过教科书例1和例2,巩固对倾斜角与斜率概念的理解及应用,并且培养学生自主探究、解决问题的能力.
课堂练习
一组辨析概念的是非题.教科书本节练习中第1、2、3、4题,其中1、2题以对答案的方式,3、4题可借助计算机直接生成图象,使学生获得直接映象.
设计意图:
使学生进一步熟练对倾斜角、斜率的定义及斜率公式的理解.从而体验到学习的成功和快乐.
课堂小结
(1)今天学到了什么?
(2)体验了哪些数学思想?
(3)对今天的问题你还有什么困惑吗?
设计意图:
在这节课的最后由学生进行反思与评价;由学生谈学习本节课的最大收获,可以是知识上的,也可以是方法能力上的.
知结构和板书设计
附:
板书设计
直线的倾斜角的定义
例1的板演
斜率的点坐标公式探究过程的板演
直线的倾斜角的范围
直线的斜率k=tanα
直线的斜率k=
作业设计
1.必做题:
课本习题3.1A组1、2、3、4、5题.
2.备选练习:
(1)直线l的斜率为k,倾斜角为α,若-1 A.(- , )B.[0, )∪( ,π) C.(0, )∪( , )D.[0, )∪( ,π] (2)直线l的斜率为k,倾斜角为α,若 <α< ,则k的取值范围是( ) A.[-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.[-1,1] (3)已知直线l的斜率A=-2k=-2,A(-1,1)为l上的一定点,P(x,y)为l上的一动点,则y关于x的函数关系式是______________. 设计意图: 设计选做题的目的是注意分层教学和因材施教,为学有余力的学生提供思考与训练的空间. 问题研讨 1.新课程教学中如何把所学知识应用到生活实际中的应用意识的培养? 2.探究式学习方法在目前的新课标下,如何在实际的课堂教学中使学生真正有所收益? 怎么避免基础差的学生探究行为进展停顿的现象? 3.“两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等”这个辨析题是否有价值? 教学设计 (二) 作者: 屠新跃,嘉兴市焉州中学教师,本教学设计获浙江省教学设计大赛三等奖 设计思想 本课教学的指导思想是: 让学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的“心路历程”,即它们是怎么样定义出来的. 因为数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理,要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动,促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,从而体会蕴涵在其中的数学思想方法. 因此,本课设计上以“引入—探究—归纳”模式作为教学特色. 教材分析 本节课的教学内容为: 人教A版必修2第三章《直线与方程》的第一课时——3.1.1倾斜角与斜率. 《课程标准》指出: ①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.《学科教学指导意见》与此相同,不过另外提出了发展要求: 能用三角函数描述斜率. 第三章《直线与方程》是平面解析几何初步的开篇教学内容,主要是用坐标法研究平面上最简单的曲线——直线.它的第一节内容是§3.1直线的倾斜角与斜率,这一节教学分两个课时: 第一课时就是3.1.1倾斜角与斜率,第二课时是3.1.2两条直线平行与垂直的判定. 作为高中阶段教学中的重点模块——解析几何的首章首节的第一课时,它起着“承上启下”的重要作用.“承上”是因为学生在初中已学过直线(一次函数)的内容,对直线已有了一定的感性认识和知识基础;“启下”是指学生还没有真正系统的接受过解析几何研究问题的方法,即用代数的方法研究几何图形的性质,这是数形结合的数学思想. 通过本课时教学,学习和掌握好直线的倾斜角与斜率,不仅可以为研究直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离等本章的后续内容打下基础,而且对初步感受和体验解析几何的主要方法——坐标法,可以起到领进门的“带头”的作用,为以后进一步深入学习奠定了思想和方法的基础. “良好的开端是成功的一半”.能否学好本节“开堂”课,必将关系到学生对解析几何知识学习的未来,例如这节课中的直线斜率不存在的问题,在直线与圆、直线与圆锥曲线的问题解决中,仍是一个难点,这节课中没有真正理解的话,很可能成为教学中“永远的痛”.因此,从某种意义上讲,本节课甚至决定着解析几何教学的成败也不为过. 学情分析 学生原有的知识基础: 初中已学的一次函数(直线)的认识,让学生对直线倾斜角具有直接的认同感;三角函数和向量作为工具,用于倾斜角的大小、向量的平移的研究,为解决斜率的引入和代数表示两点斜率公式的推导,提供了知识上的支持;向量的运用也更好地解决了斜率与直线上两点位置是否相关的问题. 1.直线的倾斜角由画正方形的对角线来引入,从学生已有的知识出发,在问题解决中由感性向理性思考. 2.直线的倾斜角概念及范围: 用“最简”的思想去确定,通过尝试、比较后决定,而不是硬性地规定,使学生感受到数学是自然的,不是强加给他们的;数学的概念不是靠死记硬背,在经历概念形成的过程中达到掌握和理解概念. 3.以过原点的直线为“支点”,推广到其他情形,这样从简单到复杂、从特殊到一般的教学更易为学生接受和理解. 4.同样先讨论过原点直线的斜率,再推广到一般,结合已学的向量平行的几何意义,就能顺利推导过两点直线的斜率公式. 5.对倾斜角为90°的直线斜率,可利用正切的定义或函数的定义域加以判断,tanα当然不存在. 6.为什么用正切表示直线的斜率? 教材和教师用书上都是用“坡度”这个平面几何的量去引入斜率.那么,为什么不用sinα、cosα呢? 考虑到已经学过三角函数的内容,因此对这三个函数进行选择,从定义和图象性质两方面入手比较,过程更具挑战性,这样的安排更加合理些. 教学目标 (一)知识与技能目标 1.理解和掌握直线倾斜角的概念与它的范围. 2.理解和掌握直线斜率的概念和倾斜角与斜率的关系. 3.掌握过两点的直线的斜率公式并能用于计算. 为学生以后的学习打好扎实的基础,特别要明确当倾斜角为直角时,直线没有斜率. (二)过程与方法目标 1.经历倾斜角与斜率的形成过程,感受分类讨论的思想 2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程,感受解析几何的基本方法 3.初步体验“坐标法”,感受数形结合的思想 解析几何的主要特点是“算”,即“以数助形”.通过对倾斜角与斜率的“量化”,引领学生开启“由常量数学进入变量数学”的大门. (三)情感、态度与价值观目标 1.在探索确定直线几何要素的过程中,培养学生运用数学语言表达、交流合作的能力. 2.对概念形成的探索,增强学生观察发现、归纳抽象的数学思维能力. 3.对定义的合理性的分析,提高学生理性思维的能力. 学生的学习过程应当成为教师引导下的“再创造”过程,在不断思考、自我反思过程中理解和掌握概念,才能正确运用所学知识. 重点难点 (一)教学重点 直线的倾斜角与斜率的概念;用代数的方法刻画直线斜率的过程;直线斜率的计算公式. (二)教学难点 直线的倾斜角与斜率的关系;直线斜率公式的推导. (三)教学策略与手段 教学过程中,在教师的引导和组织下,鼓励学生自主探索与合作交流,通过教师创设适当的问题情境,使学生发现数学的规律和问题解决的途径,让他们经历知识形成的过程. 课前准备 (一)学生的学习准备 1.在一个直角坐标系中画直线: y=x,y=x-1,y=2,x=-3. 2.复习必修4中的《平面向量》. (二)教师的教学准备 制作多媒体课件,事先拷贝到教室电脑上并预演、试验. (三)教学环境的设计与布置 课前打开教室的电脑和投影仪. (四)教学用具的设计和准备 使用几何画板演示,过一点可以有无数条不同的直线,而每条直线对应有唯一的倾斜角,加强了几何直观,由此在感性的基础上引导学生进行理性思考;利用平移的动画演示,还可以让学生体验对概念和公式从特殊到一般的推广过程;小结和作业等的幻灯片的使用,提高了课堂教学的效率. 教学过程 (一)直线倾斜角 1.引入: 过平面上一点A能画几条直线? 两点呢? 画边长为3cm的正方形的一条对角线所在直线AC,像黑板上边长为30cm的正方形,你能用自己的工具来画直线AC吗? 利用∠CAB=45°来确定直线AC,说明过一点和一个“角”也能确定一条直线,这个角是直线AC与定直线AB(或AD)所成的角. 放到直角坐标系中,若以A为原点,讨论: 现在,定直线有x轴或y轴,怎样选择? 方向是正向还是负向? 选与x轴正向所成的角,更符合“视觉”习惯吧. 直线AC的方程就是y=x,与x轴正向成的角表示为 +2kπ或 +2kπ(k∈Z),两种角的终边在同一直线上,方向向上还是向下? 选前者;正角还是负角? 最后确定为直线方向向上与x轴正半轴所成的[0,π)内的角. 2.探究: 由动画演示过原点的直线与[0,π)内的角有一一对应的关系,若与直线x轴重合时,可看作为0.对过原点的直线,只要这个“角”确定,那么直线也确定,反之也是;这个“角”反映出对应直线的倾斜程度,称之为“倾斜角”.那么,不经过原点的其他直线的倾斜角在哪里? 利用“两直线平行,同位角相等”就能说明. 3.归纳: 一般地,给出直线倾斜角的定义(略),说出倾斜角α的范围是[0,π),如下进行分类. 图5 (二)直线的斜率 1.引入: 如果已知直线的方程是y=x,怎样确定它的倾斜角? y= x,y=2x呢? 在每条直线上取一个特殊点,然后利用坐标来研究. 2.探究: 对三条特殊的直线,由两个思维层次去考查: 一方面从三角函数的定义sinα= 、cosα= 与tanα= 来思考;另一方面从三种函数在[0,π)上的图象去研究. (1)此时sinα∈[0,1],但在[0,π)上不单调,因为x∈(0,π)时,图象关于x= 对称,若sinα= ,α=45°还是135°? 所以sinα的值不能唯一确定α的大小;另外,当直线在第一、第三象限分别取点,却有sinα>0与sinα<0,正弦值不能与α建立一一对应关系. (2)y=cosx虽然在[0,π)上单调但递减;当直线在第一、第三象限取点分别有cosα>0和cosα<0,余弦值也不能与α建立一一对应关系. 说明: 一般地,α的正弦值和余弦值都不能唯一确定α的大小. (3)tanα在第一、三象限都取正数,且y=tanx在(0, )和( ,π)分别递增.比较这三种情况,可以得出用tanα能够确定倾斜角α的大小,且一一对应.具体地说: 当α∈(0, )时,tanα>0且随α的增大而增大;当α∈( ,π)时,tanα<0且随α的增大而增大;当α=90°时,tanα不存在.说明tanα也能反映直线的倾斜程度,称之为直线的“斜率”. 3.归纳: 若要求y=kx的斜率呢? 类似地有tanα= .发现: 斜率tanα原来就是这个系数k,所以常用k来表示直线的斜率.推广到一般,其他直线看作平移而得到,于是有斜率的定义: 当倾斜角α≠90°时,斜率就是k=tanα;当α=90°时,直线没有斜率.对应上面 (一)3中的四个图形有: (1)α=0°⇔k=0; (2)0<α<90°⇔k>0;(3)α=90°⇔k不存在;(4)90°<α<180°⇔k<0. 说明: 斜率是另一个能表示直线倾斜程度的量;过一定点和已知直线斜率能确定一条直线. (三)过两点的直线斜率公式 1.引入: 过两点能确定一条直线,如直线l过两点P1(-2,-1)、P2(2,3),那么这条直线的斜率怎么求呢? 借用上面的方法,过原点l作平行线l′,由 =(4,4),根据向量平行的几何意义,设 = ,则点P(4,4)在l′上,k′= =1=tanα,则l′的斜率为1,倾斜角为45°,所以l的斜率也是1,倾斜角为45°. 2.探究: 一般地,已知直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则 =(x2-x1,y2-y1),平移向量使 = ,则有P(x2-x1,y2-y1),那么k=tanα= .讨论: 图6 (1)如果交换P1与P2的位置,同样有k=tanα= = . (2)若l上另取两点P3(x3,y3),P4(x4,y4)(x3≠x4),由于 与 共线,有 =λ =λ(x2-x1,y2-y1),得P(λ(x2-x1),λ(y2-y1)),tanα= = . 说明: 直线l的斜率与l上两点的位置无关. 归纳: 于是得出直线斜率的计算公式.直线上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则这条直线的斜率k= ,这个公式有什么限制条件? (x1≠x2.因为当x1=x2时,分母等于零,没有意义,此时对应的倾斜角是直角,斜率k不存在.) 知识凡固 1.例题选讲: 课本本节例1、例2; 2.课堂练习: 课本本节练习1、2、3、4. 反思小结 1.直线倾斜角和斜率这两个量,分别从“形”和“数”两方面描述了直线的倾斜程度. 2.直线倾斜角α的定义和范围;并指出: “任何直线都有倾斜角,但不都有斜率”. 3.斜率k=tanα与k= 这两个公式的条件分别是: α≠ 和x1≠x2,究其本质是相同的. 4.思考题: (1)仅已知直线的倾斜角,能确定一条直线吗? 这些直线有什么关系吗? (2)仅已知直线的斜率,能确定一条直线吗? 这些直线有什么关系吗? 板书设计 作业设计 1.设一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线l,则l倾斜角的取值范围是…( ) A.(0, )B.[0,π)C.(0,π)D.(0, )∪( ,π) 2.直线x=k(k∈R)的倾斜角α( ) A.不存在B.是0 C.是直角D.由k=tanα而确定 3.直线x= y的斜率是( ) A. B. C. D. 4.斜率为- 的直线倾斜角的大小是( ) A.60°B.120°C.30°D.150° 5.直线l过两点A(1,1)、B(2,0),则l的倾斜角α=__________. 6.某山地斜坡与水平面成75°角,那么这个斜坡的坡度等于__________. 7.若直线l的倾斜角为150°,且过点P( ,-2),则l在y轴上的截距是________. 8.设直线l的斜率为k,且已知: 关于x的一元二次不等式x2-2kx+1<0的解集为空集,求直线l倾斜角α的范围. 参考答案 1.D 2.C 3.C 4.B 5.135° 6.2+ 7.-1 8.[0, ]∪[ ,π). 问题研讨 1.在这里,数学的概念或定义通过这样的“探究”来进行教学,是否应更多运用? 2.不使用“坡度”导入斜率,是否恰当,实际的效果相对又会如何? 教学设计(三) 作者: 张林华、陈金海,嘉兴市第四高级中学教师,本教学设计获浙江省教学设计大赛二等奖 设计思想 指导思想: 教学设计应该根据教学内容特点,结合学生实际情况,适应学生自主性的要求,指向开发学生的智慧,提升学生综合素质.因此,教学设计应充分提
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