四年级.docx
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四年级
例1四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下:
86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。
求这10名同学的总分。
例1所用的方法叫做加法的基准数法。
这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况。
作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差。
由例1得到:
总和数=基准数×加数的个数+累计差,
平均数=基准数+累计差÷加数的个数。
在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差。
同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例2某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:
千克):
462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。
求平均每块麦田的产量。
求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×7=49(七七四十九)。
对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10~20的平方,而21~99的平方就不大熟悉了。
有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?
这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。
所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。
下面通过例题来说明这一方法。
例3求292和822的值。
例4求9932和20042的值。
下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式:
66×46,73×88,19×44。
这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10。
这类算式有非常简便的速算方法。
例588×64=?
于是,我们得到下面的速算式:
例677×91=?
练习1
1.求下面10个数的总和:
165,152,168,171,148,156,169,161,157,149。
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为(单位:
厘米):
26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25。
求这批麦苗的平均高度。
3.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为:
68,91,84,75,78,81,83,72,79。
他们共加工了多少个零件?
4.计算:
13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12。
5.计算下列各题:
(1)372;
(2)532;(3)912;
(4)682:
(5)1082;(6)3972。
6.计算下列各题:
(1)77×28;
(2)66×55;
(3)33×19;(4)82×44;
(5)37×33;(6)46×99。
练习1答案
1.1596。
2.26厘米。
3.711个。
4.147。
5.
(1)1369;
(2)2809;(3)8281;
(4)4624;(5)11664;(6)157609。
6.
(1)2156;
(2)3630;(3)627;
(4)3608;(5)1221;(6)4554。
第2讲速算与巧算
(二)
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10,则称这两个数互补。
在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。
计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1
(1)76×74=?
(2)31×39=?
分析与解:
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
76×74
=(7+6)×(70+4)
=(70+6)×70+(7+6)×4=70×70+6×70+70×4+6×4
=70×(70+6+4)+6×4
=70×(70+10)+6×4
=7×(7+1)×100+6×4。
于是,我们得到下面的速算式:
(2)与
(1)类似可得到下面的速算式:
由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1×9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。
“同补”速算法简单地说就是:
积的末两位是“尾×尾”,前面是“头×(头+1)”。
我们在三年级时学到的15×15,25×25,…,95×95的速算,实际上就是“同补”速算法。
例2
(1)78×38=?
(2)43×63=?
由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3×3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。
“补同”速算法简单地说就是:
积的末两位数是“尾×尾”,前面是“头×头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢?
我们先将互补的概念推广一下。
当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补。
如43与57互补,99与1互补,555与445互补。
在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型。
例如
,因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77+23=100,所以是“同补”型。
又如
,
等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型。
例如,
等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用。
例3
(1)702×708=?
(2)1708×1792=?
例42865×7265=?
解:
练习2
计算下列各题:
1.68×62;2.93×97;
3.27×87;4.79×39;
5.42×62;6.603×607;
7.693×607;8.4085×6085。
第3讲高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢?
原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。
于是,小高斯把这道题巧算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。
例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中
(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;
(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
例11+2+3+…+1999=?
注意:
利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211+12+13+…+31=?
根据首项、末项、公差的关系,可以得到
项数=(末项-首项)÷公差+1,
末项=首项+公差×(项数-1)。
例33+7+11+…+99=?
例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:
(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?
(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
例6盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
练习3
1.计算下列各题:
(1)2+4+6+…+200;
(2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+10+17+24+…+101。
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。
问:
时钟一昼夜敲打多少次?
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?
第四讲
我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质:
性质1如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。
例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如,21与15都能被3整除,那么21+15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7=63整除。
利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来:
(1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除。
(2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。
(3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除。
(4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。
(5)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。
(6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。
其中
(1)
(2)(3)是三年级学过的内容,(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。
因为100能被4(或25)整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4(或25)整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
这就证明了(4)。
类似地可以证明(5)。
(6)的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837=800+30+7
=8×100+3×10+7
=8×(99+1)+3×(9+1)+7
=8×99+8+3×9+3+7
=(8×99+3×9)+(8+3+7)。
因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,(8x99+3x9)能被9整除。
再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除,就能判断837能被9整除。
利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数:
(4‘)一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。
(5')一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。
(6')一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1在下面的数中,哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728.8064。
解:
能被4整除的数有7756,3728,8064;
能被8整除的数有3728,8064;
能被9整除的数有234,8865,8064。
例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?
解:
如果56□2能被9整除,那么
5+6+□+2=13+□
应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;
如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;
如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。
到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。
根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如,判断一个数能否被6整除,因为6=2×3,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。
同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除;判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除;如此等等。
例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。
解:
因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
例4五位数
能被72整除,问:
A与B各代表什么数字?
分析与解:
已知
能被72整除。
因为72=8×9,8和9是互质数,所以
既能被8整除,又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征,要求
能被8整除,由此可确定B=6。
再根据能被9整除的数的特征,
的各位数字之和为
A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,
因为l≤A≤9,所以21≤A+20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除,所以A=7。
解答例4的关键是把72分解成8×9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。
在解题顺序上,应先确定B所代表的数字,因为B代表的数字不受A的取值大小的影响,一旦B代表的数字确定下来,A所代表的数字就容易确定了。
例5六位数
是6的倍数,这样的六位数有多少个?
分析与解:
因为6=2×3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值。
再由六位数能被3整除,推知
3+A+B+A+B+A=3+3A+2B
能被3整除,故2B能被3整除。
B可取0,3,6,9这4个值。
由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×4=20(个)。
例6要使六位数
能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字?
分析与解:
因为36=4×9,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数
能被4整除,就要
能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9。
要使所得的商最小,就要使
这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。
先试取A=0。
六位数
的各位数字之和为12+B+C。
它应能被9整除,因此B+C=6或B+C=15。
因为B,C应尽量小,所以B+C=6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使
尽可能小,应取B=1,C=5。
当A=0,B=1,C=5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156÷36=4171。
练习4
1.6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除?
2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个?
3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除。
在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少?
4.五位数
能被12整除,求这个五位数。
5.有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几?
最小是几?
6.从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数?
7.在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除。
8.学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□67.9□元,你知道每只小足球多少钱吗?
第5讲弃九法
从第4讲知道,如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数能被9整除;如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几,那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如,3645732这个数,各个数位上的数字之和为
3+6+4+5+7+3+2=30,
30被9除余3,所以3645732这个数不能被9整除,且被9除后余数为3。
但是,当一个数的数位较多时,这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢?
因为我们只是判断这个式子被9除的余数,所以凡是若干个数的和是9时,就把这些数划掉,如3+6=9,4+5=9,7+2=9,把这些数划掉后,最多只剩下一个3(如下图),所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉,用剩下的数字和求除以9的余数的方法,叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数,还可以检验四则运算的正确性。
例1求多位数7645821369815436715除以9的余数。
例2将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少?
例3检验下面的加法算式是否正确:
2638457+3521983+6745785=12907225。
例4检验下面的减法算式是否正确:
7832145-2167953=5664192。
例5检验下面的乘法算式是否正确:
46876×9537=447156412。
练习5
1.求下列各数除以9的余数:
(1)7468251;
(2)36298745;
(3)2657348;(4)6678254193。
2.求下列各式除以9的余数:
(1)67235+82564;
(2)97256-47823;
(3)2783×6451;(4)3477+265×841。
3.用弃九法检验下列各题计算的正确性:
(1)228×222=50616;
(2)334×336=112224;
(3)23372428÷6236=3748;
(4)12345÷6789=83810105。
4.有一个2000位的数A能被9整除,数A的各个数位上的数字之和是B,数B的各个数位上的数字之和是C,数C的各个数位上的数字之和是D。
求D。
第6讲数的整除性
(二)
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起,第1,3,5,…位称为奇数位,第2,4,6,…位称为偶数位。
也就是说,个位、百位、万位……是奇数位,十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中,奇数位与偶数位如下图所示:
能被11整除的数的特征:
一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大数减小数)如果能被11整除,那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
例2求下列各数除以11的余数:
(1)41873;
(2)296738185。
例3求
除以11的余数。
例4用3,3,7,7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数?
例5用1~9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
例6六位数
能被99整除,求A和B。
练习6
1.为使五位数6□295能被11整除,□内应当填几?
2.用1,2,3,4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数?
3.求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4.求下列各数除以11的余数:
(1)2485;
(2)63582;(3)987654321。
5.求
除以11的余数。
6.六位数
5A634B能被33整除,求A+B。
7.七位数
3A8629B是88的倍数,求A和B。
第7讲找规律
(一)
我们在三年级已经见过“找规律”这个题目,学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。
这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。
什么是周期性变化规律呢?
比如,一年有春夏秋冬四季,百花盛开的春季过后就是夏天,赤日炎炎的夏季过后就是秋天,果实累累的秋季过后就是冬天,白雪皑皑的冬季过后又到了春天。
年复一年,总是按照春、夏、秋、冬四季变化,这就是周期性变化规律。
再比如,数列0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,…是按照0,1,2三个数重复出现的,这也是周期性变化问题。
下面,我们通过一些例题作进一步讲解。
例1节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯,然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。
问:
(1)第100盏灯是什么颜色?
(2)前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?
例2有一串数,任何相邻的四个数之和都等于25。
已知第1个数是3,第6个数是6,第11个数是7。
问:
这串数中第24个数是几?
前77个数的和是多少?
例3下面这串数的规律是:
从第3个数起,每个数都是它前面两个数之和的个位数。
问:
这串数中第88个数是几?
628088640448…
例4在下面的一串数中,从第五个数起,每个数都是它前面四个数之和的个位数字。
那么在这串数中,能否出现相邻的四个数是“2000”?
135********7134…
例5A,B,C,D四个盒子中依次放有8,6,3,1个球。
第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后,A,B,C,D四个盒子中各放有几个球?
练习7
1.有一串很长的珠子,它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。
问:
第100颗珠子是什么颜色?
前200颗珠子中有多少颗红珠?
2.将1,2,3,4,…除以3的余数依次排列起来,得到一个数列。
求这个数列前100个数的和。
3.有一串数,前两个数是9和7,从第三个数起,每个数是它前面两个数乘积的个位数。
这串数中第100个数是几?
前100个数之和是多少?
4.有一列数,第一个数是6,以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。
这列数中第88个数是几?
5.小明按1~3报数,小红按1~4报数。
两人以同样的速度同时开始报数,当两人都报了100个数时,有多少次两人报的数相同?
6.A,B,C,D四个盒子中依
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