七年级下册数学第五章 相交线与平行线 导学案.docx
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七年级下册数学第五章相交线与平行线导学案
第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
1.了解对顶角与邻补角的概念,能从图中辨认对顶角与邻补角.
2.掌握“对顶角相等”,并会简单应用.
自学指导:
阅读教材第2至3页,完成下列问题.
知识探究
1.平面上不重合的两条直线之间的位置关系为相交或平行.
2.两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线,性质是对顶角相等.
3.一个角是52°,那么这个角的补角是128度,余角是38度.
4.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有(A)
A.1个B.2个C.3个D.4个
1.邻补角既是邻角又是补角,也就是说这两个角既要在数量上满足和为180°,在位置上还必须满足是相邻的关系.
2.对顶角的判断方法是:
两个角有公共点;两个角的边互为反向延长线,即只有当两条直线相交时才会出现对顶角.
5.如图,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是∠AOF,∠COF的邻补角是∠DOF或∠COE.若∠AOC∶∠AOE=2∶3,∠EOD=130°,则∠BOC=160°.
自学反馈
1.下列说法正确的有(B)
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.∠A与∠B互补,如果∠A=36°,那么∠B的度数为144度.
3.如图,有2对对顶角.
活动1
幻灯片出示问题
找出图中的相交线、平行线.
在本次活动中,教师应重点关注:
(1)学生从简单的具体实物中抽象出相交线、平行线的能力.
(2)学生认识到相交线、平行线在日常生活中有着广泛的应用.
(3)学生学习数学的兴趣.
活动2
幻灯片出示问题
(1)看见一把张开的剪刀,你能联想到什么样的几何图形?
(2)观察这些角有什么位置关系.
(3)下列语句中正确的是(D)
A.相等的角是对顶角
B.有公共顶点且相等的角是对顶角
C.有公共顶点的两个角是对顶角
D.角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
活动3跟踪训练
1.直线a、b相交,∠1=50°,求∠2、∠3、∠4的度数.
解:
由邻补角的定义,可得∠2=180°-∠1=180°-50°=130°
由对顶角相等,可得∠3=∠1=50°,∠4=∠2=130°.
2.见上图,∠1等于90°时,∠2、∠3、∠4等于多少度?
解:
∠2=∠3=∠4=90°.
3.如图是一个对顶角量角器,你能说明它度量角度的原理吗?
解:
对顶角相等.
4.如图,直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数;
(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.
解:
(1)由对顶角相等且∠AOC+∠BOD=100°可得∠AOC=∠BOD=50°,
由邻补角的定义可得∠AOD=∠BOC=130°;
(2)∠BOC比∠AOC的2倍多33°,则∠BOC-2∠AOC=33°且∠BOC+∠AOC=180°.
所以分别是∠AOC=∠BOD=49°,∠AOD=∠BOC=131°.
5.如图,已知直线AB、CD、EF相交于点O,∠1=15°,∠AOD=90°,求∠2的度数.
解:
∠2=∠AOD-∠3=90°-15°=75°.
5.1.2垂线
1.理解垂线、垂线段的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.
3.掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理.
自学指导:
阅读教材第3至6页,完成下列问题.
知识探究
1.当两条直线相交的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线是互相垂直的,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.如图,直线AB、CD互相垂直,记作AB⊥CD,垂足为点O.
3.经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即
性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O、A、B、C…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO、PA、PB、PC…的长短,这些线段中,PO最短.
性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:
垂线段最短.
5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图,PO的长度叫做点P到直线l的距离.
自学反馈
1.下面四种判断两条直线垂直的方法中正确的有A.
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,则这两条直线互相垂直.
(2)两条直线相交,有一组邻补角相等,则这两条直线互相垂直.
(3)两条直线相交,所成的四个角相等,则这两条直线互相垂直.
(4)两条直线相交,有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直.
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.若直线m、n相交于点O,∠1=90°,则m⊥n.
3.若直线AB、CD相交于点O,且AB⊥CD,那么∠BOD=90°.
4.如图,BO⊥AO,∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5,那么∠COA=72°,∠BOC的补角为162°.
5.过点P向线段AB所在直线引垂线,正确的是(C)
6.已知点A,与点A的距离是5cm的直线可画(D)
A.1条B.2条C.3条D.无数条
7.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,线段AC、BC、CD中最短的是(C)
A.ACB.BCC.CDD.不能确定
活动1垂线的定义
(1)教师利用多媒体演示,学生观察思考:
固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α是如何变化的?
其中会有特殊情况出现吗?
当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?
当b的位置变化时,∠α从锐角逐渐变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况,其特殊之处在于:
当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.
(2)师生共同给出垂直的定义及垂直的表示方法.
1.垂直的定义:
当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.
如图,a、b互相垂直,O是垂足,a是b的垂线,b也是a的垂线.
从垂直的定义可知,判断两条直线互相垂直的关键:
只要找到两条直线相交时四个夹角中的一个角是直角.
2.垂直的表示:
用“⊥”和直线字母表示垂直.如上图,a、b互相垂直,垂足为点O,则记为a⊥b或b⊥a.
若要强调垂足,则记为a⊥b,垂足为点O.
活动2动手操作画垂线
例1过B点画已知直线的垂线.
解:
如图所示.
1.过直线上一点,画这条直线的垂线的步骤:
(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合;
(2)沿直线移动三角尺,使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合;
(3)从直角顶点起沿三角尺的另一条直角边画一条直线;
(4)拿走三角尺,在垂足处标出垂直符号.
2.过直线外一点,画这条直线的垂线的步骤:
(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合;
(2)沿直线移动三角尺,使三角尺的另一条直角边经过直线外一点;
(3)沿三角尺的另一条直角边画一条直线;
(4)拿走三角尺,在垂足处标出垂直符号.
活动3小组讨论
例2如图,在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建立一抽水站D,将河中的水输送到自来水厂后,再送往A村,为了节省资金,所铺设的水管应尽可能的短.问抽水站D应建在何处,应沿怎样的路线来铺设水管?
在图中画出来.
解:
如图所示,过点B画l的垂线,则垂足D为抽水站的位置.连接AB.沿D-B-A的路线铺设水管,可使所用的水管最短.
要使水管最短,则抽水站与自来水厂间的路程应最短,自来水厂与A村的路程应最短.需要运用“垂线段最短”和“两点间线段最短”的数学原理.
活动4跟踪训练
1.如图,计划把池中的水引到C处,可过点C作CD⊥AB于点D,然后沿CD开渠,可使所开的渠道最短.这种设计的依据是垂线段最短.
2.如图,OD⊥BC,垂足为点D,BD=6cm,OD=8cm,OB=10cm,那么点B到OD的距离是6cm,点O到BC的距离是8cm,O、B两点之间的距离是10cm.
3.如图1,307国道a上有一出口M,现想在附近公路b旁建一个加油站,欲使通道长最短,应沿怎样的线路施工?
由垂线段最短知,可过点M作b的垂线,垂足为N,则MN即为所求.
解:
如图2,过点M作MN⊥b,垂足为N,则欲使通道最短,应沿线路MN施工.
活动5课堂小结
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
1.能说出同位角、内错角和同旁内角的意义.
2.会识别图形(包括变式图形和比较复杂的图形)中的同位角、内错角和同旁内角.
图1自学指导:
阅读教材第6至7页,完成下列各题.
知识探究
如图1,直线AB、CD与EF相交,构成8个角,其中∠1与∠5是同位角,∠3与∠5是内错角,∠4与∠5是同旁内角.
自学反馈
1.如图2,直线AB、CD被直线AC所截,图2所产生的内错角是∠1与∠4.
2.如图2,直线AD、BC被直线DC所截,产生了同旁内角,它们是∠D与∠DCB.
3.找出图3中所有的同位角、内错角及同旁内角.
活动1认识同位角
例已知,两条直线AB、CD,画出第三条直线EF与它们相交,请把构成的角表示出来,并完成下列问题.
问题1:
如图,怎样描述直线AB、CD和EF的位置关系?
引导学生说出“直线AB、CD和EF相交”或者“两条直线AB、CD被第三条直线EF所截”.
问题2:
观察∠1与∠2、∠3与∠4与截线、被截直线有哪些位置关系?
问题3:
具有这种位置关系的角还有哪些?
引导学生观察∠1与∠2,得出这两个角分别在直线AB、CD的同一方(上方),并且都在直线EF的同一侧(右侧),这是“同位角”的本质属性.然后,可以用“位置相同”来描述这种位置关系,给出“同位角”的描述性定义.
解:
(1)两条直线AB、CD与第三条直线EF相交,也可以说被第三条直线EF所截,EF叫做截线,AB、CD叫做被截直线.
(2)两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,∠1与∠2、∠3与∠4分别是位于截线的同一侧、被截直线的同一方的角,称为同位角.
(3)图中∠6与∠5、∠7与∠8都是同位角.
变式图形:
图4中的∠1与∠2都是同位角.
图形特征:
在形如字母“F”的图形中有同位角.
活动2认识内错角
问题1:
观察∠2、∠7与截线、被截直线有哪些位置关系?
问题2:
具有这种位置关系的角还有哪些?
引导学生类比同位角的叙述形式进行回答.
解:
(1)图中∠2与∠7都在直线AB、CD内侧,并且分别在直线EF两侧(∠2在直线EF右侧,∠7在直线EF左侧),具有这种位置关系的一对角叫做内错角.
(2)∠4与∠5是一对内错角.
变式图形:
图5中的∠1与∠2都是内错角.
图形特征:
在形如“Z”的图形中有内错角.
活动3认识同旁内角
问题1:
观察∠2、∠5与截线、被截直线有哪些位置关系?
问题2:
具有这种位置关系的角还有哪些?
解:
(1)图中∠2和∠5也在直线AB、CD内侧,但它们都在直线EF的右侧,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
(2)在图中,具有类似的位置关系的还有∠4与∠7,因此它们也
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- 七年级下册数学第五章 相交线与平行线 导学案 年级 下册 数学 第五 相交 平行线