一副三角板摆放旋转等问题.docx
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一副三角板摆放旋转等问题
一副三角板摆放、旋转等问题
的证明。
例7.(上海)将两块三角板如图7放置,其中∠C=∠EDB=90°,∠A=45°,∠E=30°,AB=DE=6,求重叠部分四边形DBCF的面积。
如图7',已知AB=14cm,求阴影部分面积(2010吉林)
例8.(湖北荆门)将一副三角尺如图8摆放在一起,连接AD,试求∠ADB的正切值。
例9.(2008徐州)如图9
(1),一副三角板满足AB=BC,AC=DE,。
操作:
将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使DE与AB交于点P,EF与BC交于点Q。
探究1:
在旋转过程中,
(1)如图9
(2),当
=1时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并给出证明。
(2)如图9(3),当
=2时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并说明理由。
(3)根据你对
(1)
(2)的探究结果,试写出当
=m时,EP与EQ满足的数量关系式____,其中m的取值范围是______.(直接写出结论,不必证明)
探究2:
如图9(3),若AC=30cm,连接PQ,设△EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:
(1)S是否存在最大值或最小值?
若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由。
(2)随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化?
求出相应S值的取值范围。
例10.(2007辽宁十二市)如图10,小颖利用一个锐角是30°的三角形测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这课树的高是_____________。
例11.(2008甘肃兰州)如图11,已知EF是⊙O的直径,把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P,点B与点O重合,将三角板ABC沿OE方向平移,使得点B与点E重合为止,设∠POF=x°,则x的取值范围是__________。
例12.(2008遵义)如图12,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中点,一块三角板的直角顶点与E点重合,将三角板绕点E按顺时针方向旋转,当三角形的两直角边与AB、BC分别相交于点M、N时,观察或测量BM与CN的长度,你能得到什么结论?
并证明你的结论。
例13.(2007河北)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G,一等腰直角三角尺按如图13
(1)所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边也恰好经过点B。
(1)在图13
(1)中请你通过观察,测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图13
(2)所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E。
此时请你再通过观察测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在图13
(2)的基础上沿AC方向平移到图13(3)所示位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,图13
(2)中的猜想是否仍然成立?
(不用说明理由)
例14.(吉林长春)用两块相同的含30°角的三角尺如图14放置,若AD=6
,求三角尺各边的长。
例15.(山东枣庄)如图15,两个全等的含30°、60°的三角板ADE和ABC如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD中点M,连接ME,MC。
试判断△EMC的形状,并说明理由。
例16.(2008湖北荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图16
(1)摆放在一起,它们的较短直角边为3。
(1)将△ECD沿直线l向左平移到图16
(2)的位置,使E点落在AB上,则CC′=____;
(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图16(3)的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数为____;
(3)将△ECD沿直线AC翻折到图16(4)的位置,ED′与AB相交于点F,求证:
AF=FD′
例17.(2006湖南常德)把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4。
把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交与点Q。
(1)如图17
(1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,
易证△APD∽△CDQ。
此时,AP·CQ=____。
(2)将三角板DEF由图17
(1)所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α,其中0°<α<90°,问AP·CQ的值是否改变?
说明你的理由。
(3)在
(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式。
例18.(2008山东威海)
(1)把两个含有45°角的直角三角板如
图18
(1)放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F。
求证:
AF⊥BE。
(2)把两个含有30°角的直角三角板如图18
(2)放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F。
问AF与BE是否垂直?
并说明理由。
例19.(2008山东泰安)两个大小不同的等腰直角三角板如图19
(1)所示放置,图19
(2)是由它抽象出来的几何图形,B、C、E在同一条直线上,连接DC。
(1)请找出图19
(2)中的全等三角形,并给予证明。
(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
DC⊥BE。
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