概率论与数理统计习题集及答案.docx
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概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
§1.1随机试验及随机事件
1.
(1)一枚硬币连丢3次,观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是:
S;
(2)—枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数.样本空间是:
S=;
2.
(1)丢一颗骰子.A:
出现奇数点,贝UA=;B:
数点大于2,则B=
(2)一枚硬币连丢2次,A:
第一次出现正面,则A=;
B:
两次出现同一面,则=;C:
至少有一次出现正面,则C=
§1.2随机事件的运算
1.设A、B、C为三事件,用AB、C的运算关系表示下列各事件:
(1)A、BC都不发生表示为:
.
(2)A与B都发生,而C不发生表示为:
(3)A与B都不发生,而C发生表示为:
.(4)A、BC中最多二个发生表示为:
(5)A、BC中至少二个发生表示为:
.(6)A、BC中不多于一个发生表示为:
2.设S{x:
0x5},A{x:
1x3},B{x:
24}:
贝U
(1)A
B
(2)AB
(3)Ab
(4)
A
B=
(5)AB=
o
§1
.3
概率的定义和性质
1.已知P(AB)
0.8,P(A)
0.5,P(B)0.6,贝U
(1)
P(AB)
(2)(
P(AB))=,⑶
P(AB)
2.已知P(A)0.7,P(AB)0.3,则P(AB)=.
§1.4古典概型
1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:
(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.
2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1.5条件概率与乘法公式
1•丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。
2.已知P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,则P(AB)。
§1.6全概率公式
1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中
'的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。
§1.7贝叶斯公式
1•某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求
(1)该厂产品能出厂
的概率,
(2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。
2•将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3:
2,若接收站收到的信息是A,问原发
信息是A的概率是多少?
§1.8随机事件的独立性
1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为的概率。
B
p,求L与R为通
2.
路(用T表示)
A
L
CD
§1.11:
(1)S{HHH,
HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,T
II};
(2)S{0,1,
2,3}
2:
(1)A{1,3,
5}B{3,4,5,6};
甲,乙丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,
(1)恰好命中一次,
(2)至少命中一次。
第1章作业答案
(2)
},B
相互独立,求下列概率:
§1.21:
(1)
ABC;
(2)
ABC
;(3)ABC;(4)ABC;(5)
AB
AC
BC;
(6)
AB
AC
BC
或ABCAB
CABCAB
C;
2:
(1)AB
{x:
1
x
4};
(2)AB{x:
2
x3};(3)AB
{x:
3x
4};
(4/
A
B{x
:
0
x1或2x5}
;(5)Ab{x:
1
x
4}。
§1.31:
(1)
P(AB)=0.3,
(2)
P(AB)=0.2,(3)
P(AB)=0.7.2
:
P(AB))=0.4
{正正,正反
{正正,反反
},C{正正,正反,反正}。
§
c8cJ2)/c30.
(1)c;c;2/c30,
(2)((c20c8c;2c;c;2)/c3;,(3)1-(c;0
1.4
1:
2:
P43/43.
1.5
1.6
1:
.2/6;2:
1/4。
1:
设A表示第一人“中”,则P(A)=2/10
设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
1.7
1.8.
=z1旦?
109109
两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。
2:
随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是
p=0.5X0.4+0.5
1:
(1/94%(2/70/94;
1:
用A,B,C,D表示开关闭合,于
从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
2:
(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38
(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
10
0.5,所求概率为:
X0.5=0.45
2:
0.993;
是T=ABUCD,
第2章随机变量及其分布
§2.1随机变量的概念,离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大号码•,试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,—次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的
次数,试写出X的分布律。
§2.201分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;⑵每分钟只少有1次呼叫的概率;
(3)每分钟最多有1次呼叫的概率;
2设随机变量X有分布律:
X23,Y〜n(X),试求:
p0.40.6
(1)P(X=2,Yw2);
(2)P(Yw2);(3)已知Y<2,求X=2的概率。
§2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独
立,问在同一时刻
(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少?
(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少?
(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少?
(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少?
2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
§2.4随机变量的分布函数
0
x
1
1设随机变量X的分布函数是:
F(x)=
0.5
1
x1
1
x1
(1)求P(Xw0);P0X1;P(X>1),
(2)写出X的分布律。
Ax
2设随机变量X的分布函数是:
F(x)=1:
0
§2.5连续型随机变量
1设连续型随机变量X的密度函数为:
f(x)
(1)求常数k的值;
(2)求X的分布函数
(3)用二种方法计算P(-0.5 2设连续型随机变量x0的分布函数为: F(x)= (1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形 §2.6均匀分布和指数分布 1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布 x0 求 (1)常数A,⑵P1X2 x0 kx0x1 0其他 F(x),画出F(x)的图形, 0x1 Inx1xe 1xe (2)并用二种方法计算P(X>0.5). 2 求方程4x+4Kx+K+2=0 有实根的概率。 2假设打一次电话所用时间(单位: 分)X服从0.2的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你 等待: (1)超过10分钟的概率; (2)10分钟到20分钟的概率。 §2.7正态分布 1随机变量X〜N(3,4),⑴求P(2 (2)确定c,使得P(X>c)=P(X 2某产品的质量指标X服从正态分布,卩=160,若要求P(120 2(1x)0x1 §2.8随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y=2X-1,求随机变量X的分布律。 YX2;求随机变量Y的密度函数。 3.设随机变量 X服从(0, 1)上的均匀分布,Y 2lnX ,求随机变量Y的密度函数。 第2章作业答案 §2.11: X 34 5 P 0.10.3 0.6 2: X1 23 4 5 2设随机变量X的密度函数为: f(X) p0.40.68.40.6E.6@40.6@6为.6&40.6&6为.6E.6X§2.21: (1)P(X=1)=P(X>1)-P(X>2)=0.981684-0.908422=0.073262, (2)P(X>1)=0.981684, (3)P(X<1)=1-P(X>2)=1-0.908422=0.091578 2: (1)由乘法公式: 2小2小22 P(X=2,YW2)=P(X=2)P(YW2|X=2)=0.4(ex2e2e)=2e (2)由全概率公式: P(YW2)=P(X=2)P(YW2|X=2)+P(X=3)P(YW2|X=3) 2173 =0.45e+0.68e=0.27067+0.25391=0.52458 2 (3)由贝叶斯公式: P(X=2|YW2)=尸必习0.270670.516 P(Y2)0.52458 §2.31: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则X〜B(5,0.6), (1)P(X=2)=C(0.620.43 (2)P(X>3)=C;0.630.42C;0.640.40.65 ⑶P(Xw3)=1-C;0.640.40.65(4)P(X>1)=1-0.45 2: 至少必须进行11次独立射击 1=0.5;P(X>1)=0.5, §2.41: (1)P(Xw0)=0.5;P0X (2)X的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.5 2: (1)A=1, (2)P1X2=1/6 0x0 §2.51: (1)k2, (2)F(x)x20x1; 1x1 0.5 (3)P(-0.5 0.5 f(x)dx 0dx 0.5 0.5 2xdx 或=F(0,5)- 1 F(-0.5)=-0 4 1 o 4 : (1) 1/x1xe 2 f(x) 0其他 (2)P(X2) 1In2 §2.6 1: 3/5 2 2 : (1)e (2) 24 ee §2.7 1: (1)0.5328, 0.9996,0.6977,0.5; (2)c=3,2: cW31.25o §2.8 1: Y -113 P 0.30.40.3 0 2: fY(y) 1— -(1.y)0y1.y 0其他 fY(y) -ey/2y0 2; 第3章多维随机变量 §3.1二维离散型随机变量 1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取 的白球个数,写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 3个,用X表示取到的红球个数,用 Y表示取到 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: 试根据下列条件分别求a和b的值; (1)P(X1)0.6; x\y0 00.1 10.1 0.2a b0.2 ⑵P(X1|Y2)0.5;⑶设F(x)是Y的分布函数,F(1.5)0.5。 §3.2二维连续型随机变量 1.(X、Y)的联合密度函数为: f(x,y) k(xy)0x1,0y1 0其他 求 (1)常数k; (2)P(X<1/2,Y<1/2); (3)P(X+Y<1);(4)P(X<1/2)。 2.(X、Y)的联合密度函数为: f(x,y) kxy0x1,0yx 0其他 求 (1)常数k; (2)P(X+Y<1);(3)P(X<1/2)。 §3.3边缘密度函数 1.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求 2.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求 §3.4随机变量的独立性 1.(X,Y)的联合分布律如下, 试根据下列条件分别求a和b的值; (1)P(Y1)1/3; x\y 1 2 3 片 1 1/6 1/9 1/18 X与Y的边缘密度函数。 X与丫的边缘密度函数。 2 a b 1/9 2.(X,Y)的联合密度函数如下,求常数c,并讨论X与Y是否相互独立? *§3.5多个随机变量的函数的分布 *§3.6几种特殊随机变量函数的分布 第3章作业答案 §3.11: 入Y 1 2 1 0.4 0.3 0.7 2 0.3 0. 0.3 0.7 0.3 1 §3.21: (1)k=1; (2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8 2: (1)a=0.1b=0.3 (2)a=0.2b=0.2 (3)a=0.3b=0.1 ;(3)P(X+Y<1)=1/3; (4)P(X<1/2)=3/8 2: (1)k=8; (2)P(X+Y<1)=1/6;(3)P(X<1/2)=1/16。 §3.31: fx(X) 2(1 x2)(1 2 (1x2) fY(y) 2(1 —2dx x2)(1y2)(1 y2) y Xxe x 0 ey y 0 2: fx(X) c;fY(y) ; 0 x 0 0 y 0 §3.41: (1)a=1/6 b=7/18; (2)a=4/9b=1/9; (3) a= 1/3,b=2/9。 2: c=6,X与Y相互独立。 第4章随机变量的数字特征 §4.1数学期望 1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X表示取到的红球的个数,则EX是: (A)1;(B)1.2; (C)1.5; 3x2 2x4 2.设X有密度函数: f(x) 8 其他 0 (D)2. 1 求E(X),E(2X1),E(V),并求X大于数学期望 X E(X)的概率。 3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: X\y 0 1 2 已知E(XY)0.65, 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是: 1 0.1 b 0.2 (A)a=0.1,b=0.3;(B)a=0.3,b=0.1;(C)a=0.2,b=0.2;(D)a=0.15,b=0.25。 4•设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下: 求EX,EY,E(XY1)。 §4.2数学期望的性质 1•设X有分布律: X0123则E(X22X3)是: p0.10.20.30.4 (A)1;(B)2;(C)3;(D)4. 5 2 设(X,Y)有f(x,y) 4y x y1,试验证E(XY)E(X)E(Y),但X与Y不 0 其 丿、 他 相互独立。 §4.3方差 丢一颗均匀的骰子,用 X表示点数, 求EX,DX. (x1)/40x2亠 X有密度函数: f(x)0其他,求D(X). §4.4常见的几种随机变量的期望与方差 2Y)的值分别是: 设X~ (2),Y~B(3,0.6),相互独立,则E(X2Y),D(X (A)-1.6和4.88; (B)-1和4; (C)1.6和4.88;(D)1.6和-4.88. 设X~U(a,b),Y~N(4,3),X与Y有相同的期望和方差,求a,b的值。 (A)0和8;(B)1和7;(C)2和6;(D)3和5. §4.5协方差与相关系数 X\丫 -1 0 1 0 0.2 0.1 0 1 0.1 0.3 0.3 随机变量(X,Y)的联合分布律如下: 试求协方差Cov(X,Y)和相关系数xy 设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下: 试求协方差 Cov(X,Y)和相关系数xy, §4.6独立性与不相关性矩 下列结论不正确的是() (A)X与Y相互独立,则X与Y不相关; (B)X与Y相关,则X与Y不相互独立; (C)E(XY)E(X)E(Y),则X与Y相互独立; (D)f(x,y)fx(x)fY(y),则X与丫不相关; 若COV(X,Y)0,则不正确的是() (A)E(XY)E(X)E(Y);(B)E(XY) E(X)E(Y); (C)D(XY) D(X)D(Y);(D)D(XY) D(X)D(Y); XXY -1 0 1. -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 (X,Y)有联合分布律如下,试分析 X与Y的相关性和独立性。 2. 1. 2. 1. 2. 1. 2. 1. 2. 3. 4. E(XY)E(X)E(Y)是X与丫不相关的() (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 5.E(XY)E(X)E(Y)是X与丫相互独立的() (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下: 试验证X与Y不相关,但不独立。 第4章作业答案 §4.11: B;2: 3/2,2,3/4,37/64;3: D;4: 2/3,4/3,17/9; §4.21: D; §4.31: 7/2,35/12;2: 11/36; §4.41: A;2: B; §4.51: 0.2,0.355;2: -1/144,—1/11; §4.61: C;2: C;3: X与Y不相关,但X与Y不相互独立;4: C;5: A; 第5章极限定理 *§5.1大数定理 §5.2中心极限定理 1.一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余29只备用, 当使用的一只损坏时,立即换上备用件,禾U用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近 似概率。 2.某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6 次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5.22: 0.1788;3: 0.889,0.841; 第6章数理统计基础 §6.1数理统计中的几个概念 1.有n=10的样本;1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,则样本均值X= 样本均方差S,样本方差S2 2•设总体方差为b2有样本X1,X2,,Xn,样本均值为X,则Cov(X「X)。 §6.2数理统计中常用的三个分布 2 1.查有关的附表,下列分位点的值: Z0.9=,0.1(5)=,to.9(10)= 2•设X1,X2,,Xn是总体2(m)的样本,求E(X),D(X)。 §6.3一个正态总体的三个统计量的分布 1•设总体X~N(,2),样本X1,X2,,Xn,样本均值X,样本方差S2,贝U 2(Xi i1 L(XiX)2 i1 *§6.4二个正态总体的三个统计量的分布 第6章作业答案 §6.11.x1.57,s0.254,s20.0646;2.Cov(X「X)b2/n; §6.21.-1.29,9.236,-1.3722;2.E(X)m,D(X)2m/n; §6.31.N(0,1),t(n1),2(n1),2(n); 第7章参数估计 §7.1矩估计法和顺序统计量法 x10x1 1.设总体X的密度函数为: f(x)',有样本X1,X2,,Xn,求未知参数的矩估计。 0其他 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~(),为估计 的值, 在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如 下: 次数: 23456 量数: 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。 §7.2极大似然估计 1.设总体X的密度函数为: f(x) 1)x ,有样本X1,X2,,Xn,求未知参数的极大 似然估计。 §7.3 估计量的评价标准 1.设总体 X服从区间(a,1)上的均匀分布,
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