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初中数学联赛
2014年全国初中数学联赛(初三年级组)试题参考答案
第一试
一、选择题:
(本题满分42分,每小题7分)1.已知x,y为整数,且满足
2244
(11)(11)2(11)xyxy3xy
.....,则x.y的可能的值有()
A.1个B.2个C.3个D.4个【答】C.由已知等式得
2244224423
xyxyxyxyxyxy
...
...,显然x,y均不为0,所以x.y=0或3xy.2(x.y).
若3xy.2(x.y),则(3x.2)(3y.2)..4.又x,y为整数,可求得1
2,xy
......,
或21.xy
......,
所以
x.y.1或x.y..1.
因此,x.y的可能的值有3个.
2.已知非负实数x,y,z满足x.y.z.1,则t.2xy.yz.2zx的最大值为()
A.47
B.59
C.916
D.1225【答】A.
222()2()1()24
t.xy.yz.zx.xy.z.yz.xy.z.y.z2
(1)1
(1)2
4
.x.x..x7231424
..x.x.7(3)24477
..x..,易知:
当37
x.,27
y.z.时,t.2xy.yz.2zx取得最大值47
.
3.在△ABC中,AB.AC,D为BC的中点,BE.AC于E,交AD于P,已知BP.3,PE.
1,
则AE=()
A.62
B.2C.3D.6【答】B.
因为AD.BC,BE.AC,所以P,D,C,E四点共圆,所以BD.BC.BP.BE.12,又BC.2BD,所以BD.6,所以DP.3.
又易知△AEP∽△BDP,所以AEPEBDDP
.,从而可得1623
AEPEBDDP
......
2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第1页(共5页)
4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字
可以作为三角形的三边长的概率是()
A.12
B.25
C.23
D.34【答】B.
若取出的3张卡片上的数字互不相同,有2×2×2=8种取法;若取出的3
张卡片上的数字有相同的,
有3×4=12种取法.所以,从6张不同的卡片中取出3张,共有8+12=20种取法.
要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是:
(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6)
,(4,6,
6),由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的
情况共有4×2=8种.因此,所求概率为82205
..
5.设[t]表示不超过实数t的最大整数,令{t}.t.[t].已知实数x满足33
x118x
..,则{x}{1}x
..()A.1
2
B.3.5C.1(35)2
.D.1【答】D.设x1ax
..,则322232
x1(x1)(x11)(x1)[(x1)3]a(a3)xxxxx
...........,所以
a(a2.3).18,因式分解得(a.3)(a2.3a.6).0,所以a.3.由x13
x
..解得1(35)2
x..,显然0{x}1,0{1}1x
....,所以{x}{1}x
..1.
6.在△ABC中,.C.90.,.A.60.,AC.1,D在BC上,E在AB上,使得△ADE为等
腰直角三角形,.ADE.90.,则BE的长为()
A.4.23B.2.3C.1(31)2
.D.3.1【答】A.
过E作EF.BC于F,易知△ACD≌△DFE,△EFB∽△ACB.设EF.x,则BE.2x,AE.2.2x,DE.2(1.x),DF.AC.1,故12.x2.[2(1.x)]2,即x2.4x.1.0.又0.x.1,故可得x.2.3.故BE.2x.4.23.
二、填空题:
(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数a,b,c满足a.b.c.1,1111
abcbcacab...
......
,则abc.____.
【答】0.
由题意知111112c12a12b
......,所以
(1.2a)(1.2b).(1.2b)(1.2c).(1.2a)(1.2c).(1.2a)(1.2b)(1.2c)整理得2.2(a.b.c).8abc,所以abc.0.
2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第2页(共5页)F
EBCA
D
2.使得不等式981715
n
nk..
.
对唯一的整数k成立的最大正整数n为.
【答】144.由条件得78
89kn
..,由k的唯一性,得178kn
.
.且189kn
.
.,所以2118719872
kk
nnn..
.....,所以n.144.当n.144时,由78
89kn
..可得126.k.128,k可取唯一整数值127.
故满足条件的正整数n的最大值为144.
3.已知P为等腰△ABC内一点,AB.BC,.BPC.108.,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心,则.PAC..
【答】48..
由题意可得.PEA..PEB..CED..AED,而.PEA..PEB..AED.180.,
所以.PEA..PEB..CED..AED.60.,从而可得.PCA.30..
又.BPC.108.,所以.PBE.12.,从而.ABD.24..所以.BAD.90..24..66.,
1()1(6630)1822
.PAE..BAD..CAE......,所以.PAC..PAE..CAE.18..30..48..
4.已知正整数a,b,c满足:
1.a.b.c,a.b.c.111,b2.ac,则b..
【答】36.
设a,c的最大公约数为(a,c).d,1a.ad,1c.cd,11a,c均为正整数且11(a,c)
.1,11a.c,则22
11b.ac.dac,所以d2|b2,从而d|b,设1b.bd(1b为正整数),则有2
111b.ac,而11(a,c).1,所以11a,c均为完全平方数,设22
11a.m,c.n,则1b.mn,m,n均为正整数,且(m,n).1,m.n.又a.b.c.111,故111d(a.b.c).111,即d(m2.n2.mn).111.注意到m2.n2.mn.12.22.1.2.7,所以d.1或d.3.
若d.1,则m2.n2.mn.111,验算可知只有m.1,n.10满足等式,此时a
.1,不符合题意,
故舍去.
若d.3,则m2.n2.mn.37,验算可知只有m.3,n.4满足等式,此时a.27,b.36,c.
48,符合题意.
因此,所求的b.36.
2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第3页(共5页)E
DABPC
第二试
一、(本题满分20分)设实数a,b满足a2(b2.1).b(b.2a).40,a(b.1).b.8,求
2211ab
.的值.
解由已知条件可得a2b2.(a.b)2.40,ab.(a.b).8.设a.b.x,ab.y,则有x2.y2.40,x.y.8,联立解得(x,y).(2,6)或(x,y).(6,2).
若(x,y).(2,6),即a.b.2,ab.6,则a,b是一元二次方程t2.2t.6.0的两根,但这个方程
的判别式..(.2)2.24..20.0,没有实数根;若(x,y).(6,2),即a.b.6,ab.2,则a,b是一元二次方程t2.6t.2.0的两根,这个方程的
判别式..(.6)2.8.28.0,它有实数根.所以2222
222222211()262282
abababababab.....
......二.(本题满分25
分)如图,在平行四边形ABCD中,E为对角线BD上一点,且满足.ECD..ACB,AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.证明:
.DFE..AFB.证明由ABCD是平行四边形及已知条件知.ECD..ACB..DAF.又A、B、F、D四点共圆,所以.BDC..ABD..AFD,所以△ECD
∽△DAF,所以EDCDAB
DFAFAF...
又.EDF..BDF..BAF,所以△EDF∽△BAF,故.DFE..AFB.
三.(本题满分25分)设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n.x3.y3.z3.
3xyz,则称n具有性
质P.在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P,哪些数不具有性质P
?
并说明理由.
解取x.1,y.z.0,可得1.13.03.03.3.1.0.0,所以1具有性质P.
取x.y.2,z.1,可得5.23.23.13.3.2.2.1,所以5具有性质P.
为了一般地判断哪些数具有性质P,记f(x,y,z).x3.y3.z3.3xyz,则f(x,y,z).(x.y)3.z3.3xy(x.y).3xyz
.(x.y.z)3.3(x.y)z(x.y.z).3xy(x.y.z)
2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第4页(共5页)
CFABDE
=(x.y.z)3.3(x.y.z)(xy.yz.zx)1()(222)
2
.x.y.zx.y.z.xy.yz.zx
1()[()2()2()2]2
.x.y.zx.y.y.z.z.x.即f(x,y,z)1()[()2()2()2]
2
.x.y.zx.y.y.z.z.x①不妨设x.y.z,
如果x.y.1,y.z.0,x.z.1,即x.z.1,y.z,则有f(x,y,z).3z.1;
如果x.y.0,y.z.1,x.z.1,即x.y.z.1,则有f(x,y,z).3z.2;
如果x.y.1,y.z.1,x.z.2,即x.z.2,y.z.1,则有f(x,y,z).9(z.1);
由此可知,形如3k.1或3k.2或9k(k为整数)的数都具有性质P.
因此,1,5和2014都具有性质P.
若2013具有性质P,则存在整数x,y,z使得2013.(x.y.z)3.3(x.y.z)(xy.yz.zx)
.注意到
3|2013,从而可得3|(x.y.z)3,故3|(x.y.z),于是有9|(x.y.z)3.3(x.y.z)(xy.yz.zx),
即9|2013,但2013=9×223+6,矛盾,所以2013不具有性质P.
2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第5页(共5页)
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