高中数学同步讲义必修二第四章411 圆的标准方程.docx
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高中数学同步讲义必修二第四章411圆的标准方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标准方程.
知识点一 圆的标准方程
思考1 确定一个圆的基本要素是什么?
答案 圆心和半径.
思考2 在平面直角坐标系中,如图所示,以(1,2)为圆心,以2为半径的圆能否用方程(x-1)2+(y-2)2=4来表示?
答案 能.
梳理
(1)把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
(2)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.
知识点二 点与圆的位置关系
思考 点A(1,1),B(4,0),C(
,
)同圆x2+y2=4的位置关系如图所示,则|OA|,|OB|,|OC|同圆的半径r=2是什么关系?
答案 |OA|<2,|OB|>2,|OC|=2.
梳理 点M(x0,y0)与圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆内
|CM| (x0-a)2+(y0-b)2 1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.( × ) 2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( √ ) 3.圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4.( × ) 类型一 求圆的标准方程 例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,则圆C的标准方程为________. 答案 (x-2)2+y2=9 解析 设圆心C的坐标为(a,0)(a>0), 由题意知 = ,解得a=2, 则圆C的半径为r=|CM|= =3. ∴圆的标准方程为(x-2)2+y2=9. (2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为________. 答案 (x+5)2+(y+3)2=25 解析 ∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,∴该圆的半径为5, ∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. 反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 跟踪训练1 以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y+2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25 答案 D 解析 ∵AB为直径, ∴AB的中点(1,2)为圆心, |AB|= =5为半径, ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 例2 求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程. 解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则有 解得 ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 方法二 (直接法) 由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心, ∴由 得 即圆心坐标为(4,-3), 半径为r= =5. ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的标准方程. 解 方法一 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上, 所以它们的坐标都满足圆的标准方程, 于是有 解得 故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25. 方法二 因为A(0,5),B(1,-2), 所以线段AB的中点坐标为 ,直线AB的斜率为kAB= =-7, 因此线段AB的垂直平分线的方程是y- = ,即x-7y+10=0. 同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+y+5=0. 由 得圆心坐标为(-3,1). 又圆的半径长r= =5, 故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25. 类型二 点与圆的位置关系 例3 (1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( ) A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 答案 B 解析 由(m2)2+52=m4+25>24, 得点P在圆外. (2)已知点M(5 +1, )在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围为_________. 答案 [0,1) 解析 由题意知 即 解得0≤a<1. 反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法 ①只需计算该点与圆的圆心之间的距离,与半径作比较即可. ②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断. (2)灵活运用 若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围. 跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则a的取值范围为______. 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由题意知,(1-a)2+(1+a)2>4,2a2-2>0, 即a<-1或a>1. 1.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径长分别为( ) A.(-1,5), B.(1,-5), C.(-1,5),3D.(1,-5),3 答案 B 2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 答案 A 解析 方法一 (直接法) 设圆的圆心为C(0,b),则 =1, ∴b=2, ∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. 方法二 (数形结合法) 作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1易知,圆心为(0,2), 故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. 3.若点A(a+1,3)在圆C: (x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(-∞,5) C.(0,5) D.[0,5] 答案 C 解析 由题意知(a+1-a)2+(3-1)2>m,即m<5. 又m>0,∴0 4.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的标准方程是________. 答案 (x+2)2+y2=4 5.求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程. 解 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 根据已知条件可得 解此方程组得 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 1.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简,提高解题效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、快捷. 一、选择题 1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为( ) A.(-1,2),2B.(1,-2),2 C.(-1,2),4D.(1,-2),4 答案 A 2.方程(x-1) =0所表示的曲线是( ) A.一个圆B.两个点 C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆 答案 D 解析 (x-1) =0可化为, x-1=0或x2+y2=3, ∴方程(x-1) =0表示一条直线和一个圆. 3.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为( ) A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 答案 B 解析 如图,结合圆的性质可知,原点在圆上, 圆的半径为r= = . 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 4.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 答案 C 解析 根据圆在直线x+y-2=0上可排除B,D,再把点B的坐标代入A,C选项中,可得C正确. 5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是( ) A.|a|<1B.a< C.|a|< D.|a|< 答案 D 解析 依题意有(5a)2+144a2<1, 所以169a2<1, 所以a2< ,即|a|< ,故选D. 6.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案 D 解析 (-a,-b)为圆的圆心,由直线经过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0.再由各象限内点的坐标的性质,得圆心位于第四象限. 7.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C: (x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( ) A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 答案 B 解析 由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0, 得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0, 则 解得 即P(-1,1). ∵圆C: (x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3), ∴|PC|= =5, ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B. 8.若圆心在x轴上,半径为 的圆C位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C的标准方程为( ) A.(x- )2+y2=5 B.(x+ )2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5 答案 D 解析 设圆心坐标为(a,0), 由题意知 = ,∴|a|=5. ∵圆C位于y轴左侧,∴a=-5, ∴圆C的标准方程为(x+5)2+y2=5. 二、填空题 9.若实数x,y满足x2+y2=1,则 的最小值是______. 答案 解析 的几何意义是两点(x,y)与(1,2)连线的斜率,而点(x,y)在圆x2+y2=1上, 过点P(1,2)作圆的切线, 由图知PA的斜率不存在,PB的斜率存在,则PB的斜率即为所求. ∴设PB的方程为y-2=k(x-1),得kx-y-k+2=0. 又∵PB和圆相切, ∴ =1,得k= . ∴ 的最小值是 . 10.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为________________. 答案 x2+(y+1)2=1 解析 由已知圆(x-1)2+y2=1,得圆心C1的坐标为(1,0),半径长r1=1. 设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b), 则 解得 所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1. 11.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是____________. 答案 (x-2)2+(y-1)2=1 解析 ∵圆心在第一象限,而且与x轴相切, ∴可设圆心坐标为(a,1),a>0, 则圆心到直线4x-3y=0的距离为1, 即 =1,得a=2或a=- (舍去), ∴该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 三、解答题 12.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程. 解 要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值. 因为|PA|= ,|PB|= ,|PC|=5, 所以|PA|<|PB|<|PC|, 所以圆的半径r=|PB|= . 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13. 四、探究与拓展 13.设P(x,y)是圆C: (x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( ) A.6B.25C.26D.36 答案 D 解析 (x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方. 因为点P在圆(x-2)2+y2=1上,且点Q在圆外, 所以其最大值为(|QC|+1)2=36. 14.过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x-3)2+(y-6)2=20或(x+7)2+(y-6)2=80 解析 设圆心坐标为(a,b), ∵AB的中点坐标为(1,6), ∴AB的垂直平分线为y=6. ∵圆心(a,b)在AB的垂直平分线上, ∴b=6. 由题意得 = , 解得a=3或-7, 当a=3时,r= =2 . 当a=-7时,r= =4 . ∴所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-6)2=20 或(x+7)2+(y-6)2=80.
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