乘法一口清教学设计.docx

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乘法一口清教学设计

乘法一口清教案设计

第一节、单积一口清

定义：

一位数乘以任何一个多位数的乘法，通过心算一口报出答案的计算方法。

一、熟背口诀；

二、掌握运算法则；

三、熟练掌握“个位律”和“进位律”；

过三关：

一眼成、一口清、一题（6位数单积）八道一分钟。

口诀：

前位加0变假小数，逐一计算高到低，算前观后提前进，本个加进取个位，其和满10要弃10，超10一律不进位。

注释：

本位积=本个+后进，只取和的个位，“满10弃10，超10不进”

个位律：

2乘自身加倍

3乘偶补加倍奇直求

4乘偶补奇凑

5乘偶0奇5

6乘偶自身奇加5

7乘偶自倍，奇自倍加5

8乘偶自倍

9乘本个为补

解释：

自倍：

10以内的数自身乘2。

凑数：

两个10以内的数相加等于5的数，互为凑数，本身超5的要弃10凑5，7和8互为凑数；

本个：

本位乘积的个位数。

本位积：

本个加后面的进位数，只取和的个位（即去掉十位）

进位律：

2乘满5进1

3乘超3进1，超6进2

4乘满25进1，满5进2，满75进3

5乘满2进1，满4进2，满6进3，满8进4

6乘超16进1，超3进2，满5进3，超6进4，超83进5

7乘超142857进1，超285714进2，超428571进3，超571428进4，超714285进5，超857142进6。

8乘满125进1，满25进2，满375进3，满5进4，满625进5，满75进6，满875进7.

9乘超几进几

5673*2=竖式：

04573*3=竖式：

高到低：

学习顺序：

×2→×5→×4→×3→×6→×9→×8→×7

分步进行：

本个规律（看、读、写、对口令）；进位规律（看、读、写、对口令）；本个加后进运算。

从两位开始逐步增加位数，同位练习考虑题型难易程度。

逐步练习：

每个乘数求单积可按照一笔清（写积）→一口清（读积）→一眼成（记积）→一盘清（布积）的步骤进行。

一笔清练习从竖式书写积开始逐步过度到横式书写积。

熟练后再进行眼看被乘数（卡片）口答单积，到脑记单积，最终达到见数出积。

第二节、双积一口清

一、10几乘10几数：

口诀：

头相乘、尾相加、尾相乘，依次排积。

个位排在个位后。

12*13=156

心算步骤：

1*1=1，2+3=5，2*3=6

13*15=19513*1.5=？

二、任意两位数乘法：

口诀：

头加1后头乘头，尾乘尾（如果乘积是一位数时，前边要添0定位），两积相连为积数，然后调加减。

26*32=832

（1）头加1后头乘头（2+1）*3=9

（2）尾乘尾6*2=12（如果乘积是一位数时，前边要添0定位）

（3）两积相连912（作为基数）

（4）调加减：

一要看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几加几个乘数尾，小几减几个乘数尾；二是两尾之和，比10大几或小几，大几加几个乘数的头，小几减几几个乘数的头。

加减的位置：

一位数在十位上加减，两位数在百位上加减。

上题被乘数的头比乘数的头大几或小几：

小1

小几减几个乘数尾1*2=2

二是两尾之和，比10大几或小几：

小2

小几减几几个乘数的头：

2*3=6

合计调减2+6=8（位置：

一位数在十位上加减）912-80=832

第三节个类乘积法一口清

一、以11为标准的一次排积法。

口诀：

首尾不动两边啦，上位加下位其和中间插。

32542*11=357962

可以延伸到以12为标准的一次排积法。

原理推到：

二、首同尾互补的乘法。

口诀：

头加1后头乘头，尾乘尾（如果乘积是一位数时，前边要添0定位），两积相连为积数。

三尾同首互补的乘法。

口诀：

头乘头加尾数为前提，尾乘尾为后积，两积相连。

（当两尾之积是一位数时，前边要添0定位）63*43=2709

头乘头加尾数：

6*4+3=27

尾乘尾：

3*3=9=09（添0定位）

两积相连：

2709

四、首位都是5的两个两位数乘法。

口诀：

头乘头加两尾之和的一半为前提，尾乘尾为后积（积是一位数时，前边要添0定位），两积相连为积数。

58*56=3248

五、尾数都是5的两个两位数乘法。

口诀：

头乘头加两首之和的一半为前提，尾乘尾为后积（积是一位数时，前边要添0定位），两积相连为积数。

45*85=3825

第四节求平方一口清

一、一位数的平方：

99口诀直接乘得。

二、两位数的平方：

（1）10几的平方；头相乘、尾相加、尾相乘，依次排积。

（2）任意两位数的平方：

头乘头为前积，头乘尾加倍为中积，尾乘尾为后积，依次排积。

定位：

个位排在个位后。

23*23=

（3）求尾数是5的两位数的平方：

头加1后头乘头，尾乘尾（如果乘积是一位数时，前边要添0定位），两积相连为积数。

乘法通用速算法

第一节分位相乘法

口诀：

头乘头为前积，头尾交互相乘之和为中积，尾乘尾为后积。

排积定位：

个位排在个位后。

此法适用于多位数及不同位数乘法，多位数相乘，只是要增加中间位的积，在计算不同位数乘法时，要将位数较少的因数前位添0，使两个因数的位数相同，然后进行计算。

32*57=

第二节1、2、5倍数乘法

九个自然数123456789都可以用1.2.5倍数分解。

一、分解方法：

3=2+1，4=2+2=5-1，5=5，6=5+1，7=5+2，8=10-2，9=10-1

二、2倍法：

报2倍数时，有进位的都要提前进位，只报本个，即见01234要保02468，见56789也要报02468，要熟练掌握，必须直接报出。

2乘任意数的“本位积”（“本位积”=本个+后进）。

三、5倍法：

5乘任何数，将其改半后在尾后加一个0即是乘积。

叫做“改半乘10”。

对一个数进行改半方法如下：

（1）偶数改半，见到2468，改半为1234.

（2）奇数改半，是单减1、双改半、余1下位相连再改半。

注意：

“偶半尾0，奇半尾5”防止错位。

35*5=17.5*10=175

四、用1.2.5倍数法进行计算。

如：

376*4=376*（2+2）=752+752=1504

或者376*4=376*（5-1）=1880-376=1504

376*6=376*（5+1）=1880+376=2256

376*46=376*（50-5+1）=18800-1880+376=16920+376=17256

（46=50-4=50-5+1）

五分段凑整计算：

198*435=（200-2）*435=435*200-2*435*2=87000-870=86130

当数字大时，分段凑整计算。

45198*435=【（50000-5000）+（200-2）】*435=21750000-2175000+87000-870=19575000+86130=19661130

（分段凑整：

45=50-5，198=200-2）

第三节补数乘法

补数：

兩数之和等于10的n次方，这两个数互为补数（整百整千）。

指示数：

两个数之和等于10、20、30、……100、200、300……，这两个数互为指示数。

用补数计算乘法，首先是将其中一个因数加补变成10的n次方，再进行计算，然后用其乘积减去补数于另一因数的乘积，既是得数。

例如：

9*8，计算程序是：

先将8变成10，8的补数是2，9的指示数是1，则9*8=9*10-9*2=72，为了提高计算速度，我们可以用90直接减去20，然后再加上2.为什么要加一个2呢，因为9的指示数是1，2是8的补数，指示数是几就要加几个补数。

减的时候只减一次。

证明：

以上题为例，设a、b为大于0小于10的自然数，c为补数，d为指示数。

则a*b=a*（b+c）-c（a+d）+cd

将9*8代入9*8=9*（8+2）-2*（9+1）+2*1=9*10-2*10+2*1=72

竖式直观：

9

*8

9

-2（即在本位减一个补数）

+2（即在后位加一个补数，因为指示数是1）

72

为了加快计算速度，将数字分为大中小三种码，789为大数码、456为中数码、123为小数码。

一、大数码

因大数码的指示数小，直接利用加减补数，进行计算则速度快。

如：

97*82=97*（82+18）-18*（97+3）+18*3=9700-1900+54=7854

二、中数码：

中数码的计算与大数码相同。

因为是中数码，所以每步计算都要用1.2.5倍数法计算。

如：

45*78=

45的指示数是5，78的补数是22.半数是11，所以，45*78=45*（78+22）-

22（45+5）+22*5=4500-1100+110=3510

竖式：

4500→45*100

-1100→22*50（在首位减半个补数）

+110→22*5（在下位加半个补数）

3510

三、小数码：

小数码的计算与大数码有所不同，因小数码指示数大，使加补的次数增多，给计算带来麻烦，所以，我们采用正指数进行计算，也就是用这些小数码直接作为指示数。

如：

12*64=

则12*64=12*（64+36）-12*36=1200-（10*36+2*36）=1200-360-72=1200-432=768

实际上是用12*100的积直接减去12个补数。

第一讲（脑算公式——口报）

二位×二位，并类推三位以上。

（“头”表示前头数；“尾”表示未尾数）

一、   头相同、个位数相加之和等于10

公式：

一个头加“1”后，头×头、尾×尾、连起来。

例：

86×84=7224，解（8+1）×8=72，6×4=24，连起来得7224。

二、一类演变题

公式：

大头加“1”后，头×头、尾×尾，连起来。

例：

86×42=3612，解（8+1）×4=36，6×2=12，连起来得3612。

例：

86×42=3612，解（8+1）×4=36，6×2=12，连起来得3612。

三、一类演变题，有范围，请看小结

公式：

小头加“1”后，头×头，尾×尾，连起来。

例：

127×46=1242，解：

（2+1）×4=12，7×6=42，连写为1242。

227×69=1863，解：

同1。

四、一数头，尾相同，另一数头，尾和等于10。

公式：

和10数，头加“1”后，头×头，尾×尾。

例：

66×28=1848，解（2+1）×6=18。

6×8=48以上四类均用加“1”法。

五、尾同，头和等于10（个位相同，十位相加等于10）

公式：

头×头加一个尾，尾×尾，连起来。

例：

34×74=2516，解：

3×7+4=25，4×4=16连起来得2516，此类称“加尾法”。

小结：

1以上一、四、五类总称：

三同，三十法，计算均用，头×头，一个相同数，尾×尾连起来之法。

2“一类演变题”是指“一”类题其中一数乘（0.5、2、3倍等），但需无进位，如86×84，其中一数×0.5，即86×24或43×84，又如：

27×23，23的二倍即27×46或27×69（32×3）等。

3把“三十”变成“三五”也一样，只是计算时，用头×头加半个相同数，尾×尾连起来之法，例：

62×63=3906，解6×6+6/2=39，2×3=06，得3906……。

其它演变题等，由读者自举例研究。

六、任意数相乘（万能法）

公式：

头×头，尾×尾，再加内、外项积的和置中。

62×57=3534

解：

3014……头×头，尾×尾，连起来+520……内，外项积的和（2×50+60×7）=3534……3014+520

方法：

先脑记，内、外积的和“52”，然后，头×头加“5”写35，尾×尾，十位加“2”接写34，连写为3534如遇十位相加，有进位时，如27×86=2322，可脑记，内、外积之和，“68”的变式数“72”，头×头+7=23，尾×尾+位―2=22。

七、头差“1”，尾和等于10

公式：

用大数的头2―1，尾2的补数连起来。

例：

86×74=6386，解：

用86，82―1=63，100―62=64，连起来得6364。

八、头是“1”，尾是任意数

公式：

一个数加另一数之尾，尾×尾连起来。

例：

12×13=156，解：

12+3=15，2×3=6，连起来得156。

九、尾是1，头是任意数。

公式：

头×头，头+头、尾是1，连起来（×，+，1）

例：

31×41=1271解：

3×4=12，3+4=7，尾是1，连起来1271。

十、头是“9”，尾是任意数（补数法）

公式：

一数减另一数之补数，二补数直乘，对位加起来。

例：

98×96=9408，解98―4=94，2×4=08，连起来得9408。

十一、一因数是5、25、125……5n时

公式：

另一因数、分别除以2、4、8……（即折半法）。

十二、两位数平方——移补法

公式：

A2=（A+X）（A―X）+X2

例：

54×54=（54+4）×（54―4）+42=58×50+16=2916

62×62=（62+60）×（62―60）+602=122×2+3600=3844

十三、类推出位及多位

1、126×124=15624。

用一或八法

2、316×304=96064，用十一法

3、9997×9994=99910018，用十法

十四、从“9”乘任意数（减一法）

1、 任意数≤众“9”的位数（小于众“9”位数，前边用“0”补齐够同位）。

公式：

任意数末位减“1”后，接写其同位补数（或同位对减）

例：

1、999×376=375624。

解“376―1=375，376的补数=624，连写为375624、（补数求见第三讲）。

例：

2、999×74=73926。

解、74―1=73，074的间位补数=926，连写为73926。

2、 任意数位数＞众“9”位数。

公式；任意数减超位数加“1”后，接写原同位补数。

999×32687=32654313，解32687―（32+1）=32654，同位687的补数=313，连写为32654313。

十五、众“9”除任意数（方法与乘法相反）

1、 任意数位数≤众“9”位数

公式：

商数为、同位数无限循环小数

例：

36÷999=0.0366，378÷999=0.378

2、 任意数＞众“9”位数

公式：

任意数超位数后，取同位和循环小数。

例：

3462÷999=3.465，解：

3462+3=3465，同位数=465，商为：

3.465.

注：

:

众“9”乘，除任意数，还可利用变式数计算，方法请读者自己类推。

第二讲变式乘除一口清速算法

一、速算口决：

1、2、3、4、5、直接算，6、7、8、9当10看，乘法加，除法减，遇到“0”全不算，分大小两段来算。

二、一口清脑算法：

1、 乘2法：

此法用斜看分组加倍法，即下珠加倍，上珠进位。

方法是第一位下珠与第二位上珠斜看为一组，第二位下珠与第三位上珠斜看为一组……，余类推，然后从前向后读出每组的2倍积即是总积，在试卷上可将满“5”数看成算珠，共对应表如下：

斜看数

0

0

/

0

1

/

0

2

/

0

3

/

0

4

/

0

5

/

0

6

/

0

7

/

0

8

/

0

9

/

读积数

0

2

4

6

8

1

3

5

7

9

2、 乘“5”法，此法用折半法：

乘5乘其数等于其10的一半，方法是：

单减1，双折半，减的1下位算。

如：

375×5，3当2看，一增是“1”，17当16看，一半为“8”，15的一半直接读“75”。

从前向的连着读是1875。

3、 乘“3”法用数序排列求积法：

倍3取个，超3随，超6隔“超3随“是指导某位数后位超3（如334）时，就将个位积，按数序随1、即3念4，4念5。

4、 乘“4“法：

倍4取个，满目随5、满5隔、满75双跃。

4倍本个是偶补齐凑。

（凑是凑5数）

三、变式规则：

1、 使用1－5的变式是：

超5前加1，本变减补式

例

（一）3869=4134

（二）4638=5442（三）3458=3542（四）8546=12554（五）3408=3412。

数学上有“－”号者表示减。

2、 使用1、2、5、的变式

（一）  一位数是用分解法：

3=2＋1，4=2＋2，6=5＋1，7=5＋2，8=10－2，9=10－1

（二）  多位数的变式，右按1－5的变式法，其原则是尽量变成1、2、5的形式，再结合跟踪法和倍数法。

例、118=22，49=51，195=205。

2165=150＋15，132=120＋12，264=240＋24，1485=1515，2475=2525（用跟踪法）

3144=12024，1764=1836=2236，24、252（用倍数法）36是18的二倍，25是5的5倍，4是2的2倍。

四、利用“变式法”，计算十一法，（可避免进位和退位，能从高位算起）。

基本原理中：

加多了再减掉，减多了再加回去，多了的数就是后位以下的补数。

规则：

算本位，看下位，够十一直接十一，不够十一，本位（或前位）多加减“1”，下位起（或本位起）一址补数。

例：

1、3874＋1659=5533

解：

3874

＋2341

5533……1659的变式数

例：

2、684100－56734=627366

解：

684100

＋63266……56734的变式数

6        27366

五、首、尾估商法（适合除得尽的题）

一、二位商，可直接用脑算（m表示被除数，n表示除数）。

1、 n尾是单数者，例：

2418÷39=62

解：

用4估首商是“6”，n尾“9”只有乘2，才能m尾“8”，62为商。

2、 n尾是双数者。

尾商是为2个，估出一个商后，小于5加“5”，大于5减“5”，必为另一商。

定尾商办法：

1经验定商法2脑算乘法。

例：

2418÷62=39

解：

首商是“3”，尾商是“4”，另一个是4＋5=9。

估首商时，已知商接近40，所以尾商一定是“9”。

二、三位商以上算法：

从m中，脑算减，首商×n后再用上法脑算后二商。

六、选择变数原则：

1、 位数少的，2、含1－5或1、2、5，3、有倍数关系，4、能用跟踪法的。

总的原则是减少拨珠次数。

七、运算法：

乘除法都用加减一口清进行

1、 乘法用空盘乘（可结合跟踪法和倍数法）

例：

1485×374=1515×375=555390

运算式

1485×374

＋37400…1000×374…1退374

＋187…500×374…改187

－561…15×374…隔位减561（用跟踪法）

555390…1485×374…总积

2、 除法用商除法，使用1、2、5一口清进行加减

例：

40086÷8352=481挨拉商5减4176余数为负数16704（83296的补数）2求第二位商用反除法，估商2，第2位减从第三位加2×8352－16704向前进1，余数为0除尽，减50×8352加2×8352等于减48个除数，商为48正确。