初三数学圆的有关计算总复习.docx

初三数学圆的有关计算总复习.docx

《初三数学圆的有关计算总复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学圆的有关计算总复习.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初三数学圆的有关计算总复习

初三数学圆的有关计算总复习

第26讲　圆的有关计算

[锁定目标考试]

考标要求考查角度

1会计算圆的弧长和扇形的面积．

2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．

3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系　　能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考考查的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现

[导学必备知识]

知识梳理

一、弧长、扇形面积的计算

1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________

2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝12lr；扇形的周长＝2r＋l

二、圆柱和圆锥

1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh

2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：

S侧＝12l•2πr＝πrl（l为母线长，r为底面圆半径）；圆锥的全面积：

S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2

三、正多边形和圆

1．正多边形：

各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．

2．多边形的外接圆：

经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．

3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．

4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．

．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．

温馨提示

（1）正多边形的各边、各角都相等．

（2）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．

（3）边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．

（4）边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

四、不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：

1．直接用公式求解．

2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．

3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．

4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．

．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．

自主测试

1．已知圆柱的底面半径为2，高为，则圆柱的侧面积是（　　）

A．202B．20π2．10π2D．π2

2．（2012浙江舟）已知一个圆锥的底面半径为3，母线长为10，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．1π2B．30π2．60π2D．3912[:

学科网ZXX]

3．（2012四川南充）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　）

A．120°B．180°．240°D．300°

4．已知扇形的圆心角为10°，它所对应的弧长为20π，则此扇形的半径是__________，面积是__________2（结果保留π）

．如图，已知AB是⊙的直径，D⊥AB，垂足为E，∠A＝60°，＝2

（1）求E和D的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

[探究重难方法]

考点一、弧长、扇形的面积

【例1】如图，在△AB中，∠B＝90°，∠A＝30°，A＝4，将△AB绕顶点顺时针方向旋转至△A′B′′的位置，且A，，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（　　）A．43B．8．163πD．83π

解析：

点A所经过的最短路线是以点为圆心、A为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：

∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，，B′三点在同一条直线上，

∴∠AA′＝120°

又A＝4，

∴的长l＝120×π×4180＝83π（）．故选D．

答案：

D

方法总结当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝nπr2360，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝12lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝nπr180

触类旁通1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和A的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积（贴纸部分为两面）是（　　）A．24πB．36π．48πD．72π

考点二、圆柱和圆锥

【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（　　）

A．πB．4π．3πD．2π

解析：

侧面积是：

12×π×22＝2π底面的周长是2π则底面圆半径是1，面积是π则该圆锥的全面积是：

2π＋π＝3π故选．

答案：

方法总结圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．

触类旁通2如图，把一个半径为12的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是______考点三、阴影面积的计算

【例3】如图，AB是⊙的直径，弦DE垂直平分半径A，为垂足，弦DF与半径B相交于点P，连接EF，E，若DE＝23，∠DPA＝4°

（1）求⊙的半径；

（2）求图中阴影部分的面积．

解：

（1）∵直径AB⊥DE，∴E＝12DE＝3

∵DE平分A，∴＝12A＝12E

又∵∠E＝90°，∴∠E＝30°

在Rt△E中，E＝Es30°＝332＝2

∴⊙的半径为2

（2）连接F，如图所示．在Rt△DP中，∵∠DP＝4°，

∴∠D＝90°－4°＝4°

∴∠EF＝2∠D＝90°

∵S扇形EF＝90360×π×22＝π，S△EF＝12×E×F＝12×2×2＝2

∴S阴影＝S扇形EF－S△EF＝π－2

方法总结阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：

（1）将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．

（2）将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．

（3）将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．

（4）将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．

[品鉴经典考题]

1（2012湖南娄底）如图，正方形NEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与D是大圆的直径，AB⊥D，D⊥N，则图中阴影部分的面积是（　　）A．4πB．3π．2πD．π

2．（2012湖南长沙）在半径为1的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________

3．（2012湖南张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10，则圆锥的侧面积为__________．

4．（2012湖南郴州）圆锥底面圆的半径为3，母线长为9，则这个圆锥的侧面积为__________2（结果保留π）

．（2012湖南衡阳）如图，已知⊙的半径为6，直线AB是⊙的切线，切点为B，弦B∥A，若∠A＝30°，是劣弧的长为__________6（2012湖南岳阳）如图所示，在⊙中，，弦AB与弦A交于点A，弦D与弦AB交于点F，连接B．

（1）求证：

A2＝AB•AF；

（2）若⊙的半径为2，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积．

[研习预测试题]

1如图，⊙半径是1，A，B，是圆周上的三点，∠BA=36°，则劣弧的长为（　　）A．πB．2π．3πD．4π

2．已知圆锥底面圆的半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为（　　）

A．482B．48π2．120π2D．60π2

3．如图，圆柱的底面周长为6，A是底面圆的直径，高B＝6，点P是母线B上一点且P＝23B．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）A．4＋6πB．．3D．7

4．如图，如果从半径为9的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（　　）A．6B．3．8D．3

．如图，在Rt△AB中，∠＝90°，A＝B＝4，分别以A，B，为圆心，以12A为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．6．如图，⊙A，⊙B，⊙两两不相交，且半径都是2，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是__________27．如图，AB为半圆的直径，，D，E，F是AB的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．8．如图，AB是⊙的直径，弦B＝，∠B＝0°，E⊥A，垂足为E

（1）求E的长；

（2）求劣弧A的长（结果精确到01）．

参考答案

【知识梳理】

一、1nπr180　2nπr2360

二、1矩形　周长　高h

2．扇形　周长　母线长

三、1相等　也相等

2．各个顶点

3．外接圆　外接圆

4．距离

．外接圆　360°n

导学必备知识

自主测试

1．B

2．B　因为底面半径为3，则周长为6π，

所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π

（2）．

3．B　设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为12×2πr×R＝πrR由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，

所以n＝180°

4．24　240π

．解：

（1）在△E中，

∵∠E＝90°，∠E＝60°，＝2，

∴E＝12＝1，∴E＝32＝3，

∵A⊥D，∴E＝DE，∴D＝23

（2）∵S△AB＝12AB•E＝12×4×3＝23，

∴S阴影＝12π×22－23＝2π－23

探究考点方法

触类旁通1　S＝120π（92－32）360×2＝72π3×2＝48π

触类旁通24　因为扇形的弧长为13×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为8π2π＝4（）．

品鉴经典考题

1．D　由题意知，阴影部分的面积正好是圆面积的14，即14π•422＝π

223π　l＝nπr180＝120•π•1180＝23π

3．0π　S侧＝πrl＝π××10＝0π

4．27π　S侧＝πrl＝π×3×9＝27π

．2π　连接A，∵AB是⊙的切线，∴AB⊥B

∵∠A＝30°，∴∠AB＝60°

∵B∥A，∴∠B＝∠AB＝60°∴∠B＝180°－2×60°＝60°，∴弧B的长为60π×6180＝2π

6．解：

（1）证明：

∵，∴∠AF＝∠AB

∵∠A＝∠A，∴△AF∽△AB∴AAB＝AFA

∴A2＝AB•AF

（2）连接A，，作E⊥A，垂足为点E，∵∠B=60°，∴∠A=120°

∴∠AE=∠E=30°

在Rt△AE中，∠AE＝30°，A＝2，

∴E＝1，AE＝3

∴A＝2AE＝23

∴S阴影＝S扇形A－S△A＝120×π×22360－12×23×1＝43π－3

研习预测试题

1．B　2D　3B

4．B　留下的扇形的弧长为1－13×2×π×9＝12π，

所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π

则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6

而圆锥的母线长为9，

所以由勾股定理，得到圆锥的高为92－62＝3（）．

．8－2π　62π　72π

8．解：

（1）∵E⊥A，垂足为E，∴AE＝E

∵A＝B，∴E＝12B＝2

（2）∠A＝12∠B＝2°，

在Rt△AE中，sinA＝EA，∴A＝2sin2°

∵∠A＝180°－0°＝130°，

∴劣弧A的长＝130×2π180sin2°≈134