平行四边形的判定典型例题及练习.docx
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平行四边形的判定典型例题及练习.docx
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平行四边形的判定典型例题及练习
平行四边形
、知识点复习
1、平■行四边形的判定
平行四边形的判定方法
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④对角线相互平分的四边形是平行四边形。
2、平行线等分线段和三角形中位线定理
(1)平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
(2)平行线等分线段定理的推论:
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
(3)三角形的中位线:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(4)三角形中位线定理:
三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一
半。
3、三角形的重心
(1)重兀、的定义:
三角形的三条中线交于一点,这点就是三角形的重心。
(2)重心的,性质:
三角形的三条中线相交于一点,这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。
二、典型例题讲解
模块1:
平行四边形的判定
题型1:
平■行四边形的判定
例题1:
如图所示,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别是DAB,BCD的平分线,求证:
四边形AFCE是平行四边形。
例题2:
如图,在等边三角形ABC中,D是BC的中点,以AD为边向左侧作等边三角形
ADE。
(1)求CAE的度数。
(2)取AB的中点F,连接CF、EF。
试证明四边形CDEF是平行四边形。
例题3:
如图,在平行四边形ABCD中,BD为对角线,E,F是BD上的点,且BEDF.
求证:
四边形AECF是平行四边形。
变式练习:
1.如图,在ABC中,中线BD,CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点,连接
EF,FG,GD,DE,求证:
四边形DEFG是平行四边形。
2.如图,已知AB//DE,ABDE,AFDC,求证:
四边形BCEF是平行四边形。
3.如图,四边形ABCD中,AD//BC,作AE//DC交BC于E。
ABE的周长是25cm,四边形ABCD的周长是37cm,那么ADcm。
题型2:
添加条件证明平■行四边形
变式练习
3.如图所示,平行四边形
ABCD中,E、F是对角线BD上两点,连接AE,AF,
CE,CF,添加条件,可以判定四边形AECF是平行四边形。
(填一个符合要
求的条件即可)
B1
4.四边形ABCD中,AD//BC,要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是
(横线上只需填一个你认为合适的条件即可)
题型3:
平行四边形的判定与性质的综合应用
例题6:
已知:
如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,E是BO的中点,过点B作AC的平行线,交CE的延长线于点F,连接BF。
(1)求证:
FBCO;
(2)
求证:
四边形AOBF是平行四边形。
例题7:
如图所示,O为等边ABC内任意一点,OD//BC,OE//AC,OF//AB,并且D、E、F分别在AB、BC、AC上,求证:
ODOEOFBC•
例题8:
如图所示,BD是ABC的角平分线,点E,F分别在边BC,AB上,且
DE//AB,EF//AC.
(1)求证:
BEAF;
(2)若ABC60,BD6,求四边形ADEF的面积。
变式练习
1.如图,P是等边三角形
周长是36,贝UPDPF
为E,F,求证:
四边形AECF为平行四边形。
ABC外一点,且PD//AB,PE//BC,PF//AC,若ABC的
PE=
2.如图,在平行四边形ABCD中,AC交BD于点O,AEBD,CFBD,垂足分别
3.如图所示,在平■行四边形ABCD中,C60,M,N分别是AD,BC的中点,
BC2CD.
(1)求证四边形MNCD是平■行四边形;
(2)求证BD..3MN.
题型4:
平■行四边形中的动点问题
例题18:
如图,在四边形ABC/,AD//BC,且AABC,BC=6crp点P、Q分别从AC两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.试探究:
几秒后四边形ABQ律平行四边形?
例题19:
如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD6,BC16,E是BC的中点。
点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒3个单
位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动。
点P停止运动时,点Q也随之停止运动。
当运动时间t为多少秒时,以P,Q
E,D为顶点的四边形是平行四边形。
变式练习
1.如图:
在四边形ABCg,AD//BC,且AABGBC=6cmAD=9cmP、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.
2.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,B90,AB8cm,
AD24cm,BC26cm,点P从点A出发,以1cm/S的速度向点D运动;点Q从点C
同时出发,以3cm/s的速度向点B运动。
规定,其中一个动点到达端点时,另一个动点也
随之停止运动,从运动开始,使PQ//CD和PQCD,分别需经过多少时间?
为什么?
模块2:
三角形的中位线
题型1:
直接利用三角形的中位线性质
例题1:
如图,在ABC中,AB5,BC6,AC7,点D,E,F分别是ABC三边的中点,贝UDEF的周长为()
A、9B、10C、11D、12
例题2:
如图,ABC周长为1,连接ABC三边中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,以此类推,第2018个三角形的周长为()
变式练习
1.已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm,则这个三角形的周长是()
A、3cmB、26cmC、24cmD、65cm
2.如图所示,EF是ABC的中位线,BD平分ABC,交EF于D,若DE2,则
EB。
题型2:
利用三角形的中位线解决图形的面积问题
例题3:
如图,DE是ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AB于点G,若
2
CEF的面积为12cm,则Sdgf的值为()
中点,贝UAFG的面积是()
变式练习
2
cm。
2.如图,在ABC中,
BAC90,AB4,AC6,点D,E分别是BC,AD的中点,
AF//BC交CE的延长线于F,贝U四边形AFBD的面积为
题型3:
与三角形中位线有关的动点问题例题4:
如图,四边形ABCD中,A90,AB8,AD6,点M,N分别为线段
BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为()
A、8B、6C、4D、5
变式练习
1.如图,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD边上的点,E,F分别是AP,RP的
中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,下列结论成立的是()
A、EFP的周长不变B、线段EF的长与点P的位置无关
C、点P到EF的距离不变D、APR的大小不变
2.如图,已知四边形ABCD中,C90,点P是CD边上的动点,连接AP,E,F分
别是AB,AP的中点,当点P在CD上从点D向点C移动过程中,下列结论成立的是
()
A、线段EF的长先减小后增大B、线段EF的长不变
C、线段EF的长逐渐增大D、线段EF的长逐渐减小
题型4:
三角形中位线性质的综合应用
例题5:
如图,在ABC中,点D是边BC的中点,点E在ABC内,AE平分BAC,CEAE,点F在边AB上,EF//BC.
(1)求证:
四边形BDEF是平行四边形;
(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系?
证明你所得到的结论。
变式练习
1.如图所示,已知AO是ABC中BAC的平分线,BDAO的延长线于点D,E是BC
1,_一、
的中点。
求证:
DE—(ABAC).
2
课后作业
、选择题
1.下列不能判定一个四边形是平行四边形的是(
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.对角线相互平分的四边形是平行四边形
2.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是()
A、AB//CD,ADBCB、AB,CD
C、AB//CD,CAD、ABAD,CBCD
3.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同
的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是()
A、①,②B、①,④C、③,④D、②,③
4.如图,ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分ABC,交DE于点F,
若BC6,则DF的长是(
A、3
5.如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,
BNAN于点N,且AB10,BC15,MN3,则AC的长是()
A、12B、14C、16D、18
6.如图,在ABC中D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在BC上,且
BC4BF4CG,EF与DG相交于点。
,若DFE40,DGE80,那么
DOE的度数是()
7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,ADBC5,DC7,AB13,点PM
点A出发以3个单位/s的速度沿ADDC向终点C运动,同时点Q从点B出发,以1
个单位/s的速度沿BA向终点A运动。
当四边形PQBC为平行四边形时,运动时间为
()
A、4sB、3sC、2sD、1s
8.如图,平行四边形ABCD中,AB6cm,AD10cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒4cm的速度从点C出发,在CB间往
返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以
P,D,Q,B四点组成平行四边形的次数有()
A、1次B、2次C、3次D、4次
二、填空题。
9.如图,在ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,B50,先将ADE沿DE折
叠,点A落在三角形所在平面内的点为Ai,贝UBDAi的度数为。
10.如图,用9个全等的等边三角形,按图拼成一个几何图案,从该图案中可以找出平
行四边形。
11.如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,ADBC,BAC90,将
此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平■行四边形,贝U能拼出平行四边形个。
sb―c
12.已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C,为
顶点的四边形是平行四边形,Mx=。
13.如图,在等边三角形ABC呻,BC6cm,射线AG//BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运
动。
如果点E,F同时出发,设运动时间为t(s),当t=s时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平■行四边形。
AG
B—FC
三、解答题
14.如图,四边形ABCD中,AABC90,AD1,BC3,E是边CD的中点,连接BE并延长,与AD的延长线相交于点F.
求证:
四边形BDFC是平行四边形。
15.如图,在平行四边形ABCD中,AECG,BFDH,连接EF,FG,GH,HE.求证:
四边形EFGH是平行四边形。
16.在平行四边形ABCD和平行四边形ADEF中,AB8,AF6,ABAF,M,N分别是对角线AC、DF的中点,求MN的长。
17.如图,平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点,DF//AC,DFCAEB,连接EF。
(1)求证:
DFAE;
(2)求证:
四边形BCFE是平行四边形。
18.如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,P是对角线BD的中点,M是DC
的中点,N是AB的中点。
请判断PMN的形状,并说明理由
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