普通高等学校招生全国统一考试模拟卷35.docx
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普通高等学校招生全国统一考试模拟卷35
2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)
1.函数f(x)=i—3Sin2X的最小正周期为
3312n
【解析】根据题意可得f(x)=1(1「cos2x)cos2x,所以Tn.
2222
【答案】n
2•设全集U=R•若集合A{1,2,3,4},E={x2Ex^3},则A勺B=
【解析】根据题意,可得euB={x|x.3或x:
:
:
2},故aHQjB-11,4J.
【答案】d,4/
3.若复数z满足3zz=1•i,其中i为虚数单位,则z=.
【解析】设z二x•yix,rR,所以z二X-yi,所以3x3yi1i,所以
1111.
x,y.故zi.
4242
11
【答案】1•丄i
42
1xi
4.设f(x)为f(x)=的反函数,贝yf
(2)=.
2x+1
x22
【解析】令x2,解得x=-2,即f」
(2)=上.
2x+133
2
【答案】--
3
『23q1lx=3,
5.若线性方程组的增广矩阵为,解为彳则c,-
I。
15丿ly=5,
戶=21,所以C1-C2=16.
C2-5,
【答案】16
*1:
Q»Q
【解析】由V=h£底=a——aa-—a3=16*3,可得a=4.
224
【答案】4
7.抛物线y2=2pxp0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,贝Up=最小,所以有卫=1,所以p=2.
2
【答案】2
8.方程log29xl-5[=log23xj-22的解为.
2
【解析】由题意可得9x」-5=43x」-2.0,所以3xJ-43xJ^0,即
3xl-33xl-1=0,解得x=1或x=2,检验知只有x=2符合题意.
【答案】2
X-0,
9.若x,y满足彳x+y兰2,则目标函数f=x+2y的最大值为.
八0,
【解析】根据题意作出可行域,如图中阴影部分所示,由图可知,当直线x•2y-f=0过
A1,1时有最大值,且fmax=1*21=3.
【答案】3
10.在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,
则不同的选取方式的种数为.(结果用数值表示)
【解析】由题意可分男1、女4,男2、女3和男3、女2三种情况,所以
142332
C3C6C3C6C3C6=456015=120.
【答案】120
亠16
11.在(2^—)6的二项展开式中,常数项等于.(结果用数值表示)
x
【解析】由T「二C62x6"^2二C6-26"-x6^r,令6-3r=0,得r=2,所以常数
lx丿
项为T3=C624=240.
【答案】240
2
X2
12.已知双曲线Ci,C2的顶点重合,Ci的方程为y-1.若C2的一条渐近线的斜率是
4
Ci的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为
22b
【解析】设C2的方程为竺-爲=1b0,可得C2的一条渐近线方程为y二一X.因为Ci
4b2
xb1x2y2
的一条渐近线方程为“2由题意可知〒2,解得^2-故C2的方程为〒匚九
22
【答案】D1
44
13.已知平面向量a,b,c满足a丄b,且{|a,b,精{1,2,3,贝Ua+b+c的最大值是
TTT—I—ITTT
【解析】令OA=a,OB=b,OC=c,a■b=OA■OB=0D,可知当OC与OD方向相同时
a+b+c取最大值.因为qa,|b,|Z1,}2,,断以经计算可知,
=3时,a+b+c取最大值3+J5.
OA=1~OB厂OC或3OA-2,OB-1,OC
【答案】3•'一5
14.已知函数fX二sinX•若存在X"X2,|H,Xm满足0玄为:
:
:
X2:
:
:
…:
:
:
xm二6二,且f(X1)—f(X2j+|f(x2)—f(X3++|f(Xm_1—f(Xmj=12(mK2,m^N*),则m
的最小值为•
【解析】因为对任意的N,Xj(i,j=1,2J||,m)If(Xi)-f(Xjkf(xhax-f(xh=2,若欲使m取最小值,应尽可能多的让Xi=1,2jl|,m取最值点.因为0乞为沁珂II:
:
:
Xm乞6二,
f(X1)—f(%州f区)—f(X3什山+|f(XmJ)—f(Xm)=12(口色2口己N*),所以按照下图所
示取值即可满足条件.
所以m的最小值为8.
【答案】8
15.设Z!
z2C,则“z,,Z2均为实数”是“z,-Z2是实数”的()•
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【解析】选A.充分性显然成立.必要性不成立,因为若乙_z2是实数,可设乙=aci,
Z2=bcia,b,c・R,c=0,显然乙,z?
均为虚数.
x8:
:
2x22x3.
标为().
5.3
2
【解析】选A.当nr'时,直线2x-y=
n“*
-n,N趋向于2x-y=1,直线与圆的交点趋
向于点P1,1.lim肛二可以理解为过点P1,1所作的圆的切线的斜率k,设切线方程为
-1
y一1二kx一1,由£寸=2的圆心到切线的距离等于半径,即」二2,解得k=-1,
''7i^+i
即lim匹7二_1.
J'Xn-1
19•如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为0,底面的一条直径为AB,C为半圆弧AB的中
点,E为劣弧CB的中点•已知P0二2,0A二1•求三棱锥P-AOC的体积,并求异面直线
PA和0E所成的角的大小•
21
20.已知函数f(x)=ax2,其中a为常数.
x
(1)根据a的不同取值,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
⑵若a(1,3),判断函数f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由
【解析】
(1)f(x)的定义域为{x|x=0,x・R},关于原点对称.
11
f(-x)二a(「x)2ax2-
-xx
当a=0时,f(-X)=-f(x),故f(x)为奇函数.
当a=0时,由f
(1)=a1,f(-1)=a-1,知f(-1)=且f(-1)=-f
(1),故f(x)既
不是奇函数也不是偶函数
(2)设1辽为:
:
:
x2辽2,
21211则f(x2)-f(xj=ax2ax1(x^x1)[a(x1x2)-
X2
Xi
得x2-论0,2:
x1x2:
:
4,1:
:
:
X!
X2:
:
4,-1:
:
(1)求t1与f(tj的值;
3
【解析】
(1)t1.
8
15
记乙到P时甲所在地为R,贝UOR千米.
在QPR中,PR2=0P2OR2—20PLORcosO,
所以f(ti)=PR=1(千米).
8
(2)t2=7,如图建立平面直角坐标系•
8
设经过t小时,甲、乙所在位置分别为M,N.
37当t[,]时,M(3t,4t),N(3,8t-3),
88
f(t)=(3t-3)2(43)2二..25t2-42t18.
373341
f(t)在[—,—]上的最大值是f(―)二—一,不超过3.
8888
22.已知椭圆x22y^1,过原点的两条直线11和12分别与椭圆交于点代B和C,D,记
AOC的面积为S.
(i)设A(x,y),c(x,y,)用a,c的坐标表示点C到直线ii的距离,并证明
C1
s^^xiy?
—X2%;
(3)设11与12的斜率之积为m.求m的值,使得无论11与12如何变动,面积S保持不变.
【解析】
(1)证明:
直线hyxw=0,点C到11的距离d二曲学饗21Jx2+y;
因为|AO|=x2y2,所以s=1|OA|_d=1
由题意,丄3|k1〔=1,解得k—1或_1.
2k235
(3)解:
设h:
y=kx,则l2:
y=mx.k
设A(%,yJ,C(X2,y2).
同理x;二
k2
2"k22m2
|k2-m|
22k^k22m2'
整理得(8S2-1)k4(4S216S2m22m)k2(8S2-1)m2=0.
1
所以m
2
23.已知数列、anf与、bn{满足a*1-a*二2(01-bn),n■N*
(1)若bn=3n5,且印=1,求:
a/?
的通项公式;
(2)设瓜?
的第no项是最大项,即a%-令(n・N*).求证:
〈bj的第n。
项是最大项;
(3)设a^i=3'”:
0,bn='n(n•N*),求,的取值范围,使得对任意m,n•N*,an=0,且
【解析】
(1)解:
由bnj-bn=3,得an计-an=6,
所以{an}是首项为1,公差为6的等差数列,故{an}的通项公式为an=6n-5,n・N*.
(2)证明:
由an1-an二2(bn1-bn),得an1-2bn厂an-2bn.
所以{an-2bn}为常数列,an-2bn=ai-2bi,即=2bnai-2d,
因为an°_an,n•N*,
所以2bn°•&-2b丄20-a1-2bi,即bn°亠bn.
故{bn}的第ng项是最大项.
(3)解:
因为bn八n,所以an.i-內=2(,n"-■"),
当n一2时,an=(an-an」)*(an」…an_2)f(a2_al)'al
^2(■nJ)■2(■nJ-■n^MH'2(^-■)■3-
=2■n….
当n=1时,a=3',符合上式.所以an=2,n:
:
.J..
*a12
因为印=3■:
:
:
0,且对任意n•N,」•(一,6),故an<0.特别地,a?
=2•■=:
:
0,
an6
1
于是’(-丄,0).
2
此时对任意n•N*,an=0.
1
当0时,a2n=2|•2n•■•■,a2nj=-2|'2n_l•—:
■,由指数函数的单调性
知,{an}的最大值为a2=2'2•■:
:
:
0,最小值为日=3'.
由题意,如的最大值及最小值分别为旦3及电=21.
ana22&+1a13
21131门
由及6,解得0.
36214
1
综上所述,,的取值范围为(-丄,0).
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