一元二次方程分类练习题.docx
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一元二次方程分类练习题
一元二次方程题型分类总结
知识梳理
一、知识结构:
解与解法
根的判别
韦达定理
一元二次方程
考点类型一概念
(1)定义:
①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。
2
(2)一般表达式:
axbxc0(a0)
⑶难点:
如何理解“未知数的最高次数是2”:
①该项系数不为“0”;
②未知数指数为“2”;
③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()
A3x
1
2
1
B
1
1
20
2x
x2
x
Cax2
bxc0
Dx2
2xx2
1
变式:
当k
时,关于x的方程kx2
2x
x2
3是一元二次方程。
例
2、方程
m
2xm
3mx1
0是关于x
的一元二次方程,则
m的值
为
。
针对练习:
★1、方程8x2
7的一次项系数是
,常数项是
。
★2、若方程m
2xm1
0是关于x的一元一次方程,
⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程m1x2
mx
1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围
是
。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是(
)
A.m=n=2
B.m=3,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
1
考点类型二方程的解
⑴概念:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
⑵应用:
利用根的概念求代数式的值;
典型例题:
例1、已知2y2y3的值为2,则4y22y1的值为。
例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0,则a的值
为。
例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb,则
此方程
必有一根为。
例4、已知a,b是方程x24xm0的两个根,b,c是方程y28y5m0的两
个根,
则m的值为。
针对练习:
★1、已知方程x2kx100的一根是2,则k为,另一根是。
★2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程x13的解相同。
x1
⑴求k的值;⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程x2
x
1
0的一个根,则代数式m2
m
。
★★4、已知a是x2
3x
10的根,则2a2
6a
。
★★5、方程a
bx2
b
cx
c
a
0的一个根为(
)
A1
B
1
C
b
c
D
a
★★★6、若2x
5y
3
0,则
4x
32y
。
2
考点类型三解法
⑴方法:
①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法
⑵关键点:
降次
类型一、直接开方法:
x2
mm
0,
x
m
※※对于xa2
m,ax
m2
bx
n2等形式均适用直接开方法
典型例题:
例1、解方程:
12x2
8
0;
2
25
16x2=0;
31x2
90;
例2、若9x12
16x22
,则x的值为
。
针对练习:
下列方程无解的是(
)
A.x2
32x2
1
B.x22
0
C.2x31x
D.x2
90
类型二、因式分解法:
xx1x
x2
0
xx1,或x
x2
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
※方程形式:
如ax
m2
bx
n2,x
ax
bx
a
x
c,
x2
2axa2
0
典型例题:
例1、
2xx
35x
3
的根为(
)
A
x
5
B
x3
C
x1
5,x2
3
D
x
2
2
2
5
例2、若4
x
y2
34x
y
4
0,则4x+y的值为
。
变式1:
a2
b22
a2
b2
6
0,则a2
b2
。
变式2:
若x
y2
x
y
3
0
,则x+y的值为
。
变式3:
若x2
xy
y
14,y2
xyx
28,则x+y的值为
。
例3、方程x2
x
6
0的解为(
)
3
A.
x1
3,x
2
B.
x1
,x
2C.x1
,x
3D.x1
,x
2
2
3
2
3
2
2
2
例4、解方程:
x2
23
1x
2
3
40
例5、已知
2x2
3xy
2y2
0,则x
y的值为
。
x
y
变式:
已知
2x2
3xy
2y2
0,且x
0,y0,则x
y的值为
。
x
y
针对练习:
★1、下列说法中:
①方程x2
px
q
0的二根为x1,x2,则x2
px
q
(xx1)(x
x2)
②
x2
6x8(x2)(x
4).
③a2
5ab6b2
(a
2)(a
3)
④x2
y2
(xy)(
x
y)(
x
y)
⑤方程(3x1)2
7
0可变形为(3x
1
7)(3x
1
7)
0
正确的有(
)
A.1个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
★2、以
1
7与1
7为根的一元二次方程是()
A.x2
2x60
B
.x2
2x60
C.y2
2y
60
D.y2
2y60
★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:
⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数:
★★4、若实数x、y满足x
y
3x
y2
0
,则x+y
的值为(
)
A、-1或-2
B
、-1或2
C
、1或-2
D
、1或2
5、方程:
x2
1
2的解是
。
x2
2
2
类型三、配方法ax2
bxc
0a
0
x
b
b
4ac
2a
4a2
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:
4
例1、试用配方法说明x22x3的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数,求代数式x2y22x4y7的最小值。
例3、已知x2y24x6y130,x、y为实数,求xy的值。
例4、分解因式:
4x212x3
针对练习:
★★1、试用配方法说明
10x2
7x
4的值恒小于0。
★★2、已知x2
1
x
1
4
0,则x
1
.
x2
x
x
★★★3、若
t
2
3
x
2
12
x
9
,则
t
的最大值为
,最小值
为
。
★★★4、如果ab
c114a22b14,那么a
2b3c的值
为
。
类型四、公式法
⑴条件:
a
0,且b2
4ac0
⑵公式:
x
b
b2
4ac,a0,且b2
4ac0
2a
典型例题:
例1、选择适当方法解下列方程:
⑴31x26.⑵x3x68.⑶x24x10
⑷32
4
x
10
⑸3x13x1x12x5
x
5
例2、在实数范围内分解因式:
(1)x222x3;
(2)4x28x1.⑶2x24xy5y2
说明:
①对于二次三项式ax2bxc的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,
一般情况要用求根公式,这种方法首先令ax2bxc=0,求出两根,再写成
ax2bxc=a(xx1)(xx2).
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.
考点类型四根的判别式b2-4ac
根的判别式的作用:
①定根的个数;
②求待定系数的值;
③应用于其它。
典型例题:
例1、若关于x的方程x2
2
kx
1
0有两个不相等的实数根,则k的取值范围
是
。
例2、关于x的方程
m
1
x
2
2
mx
m
0
的取值范围是
()
有实数根,则m
A.m
0且m1B.
m
0
C.
m1D.m
1
例3、已知关于x的方程x2
k
2
x2k
0
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。
例4、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式,试求m的值.
例5、m为何值时,方程组x22y26,有两个不同的实数解?
有两个相同的实mxy3.
数解?
6
针对练习:
★1、当k
时,关于x的二次三项式x2
kx9是完全平方式。
★2、当k取何值时,多项式
3x2
4x
2k是一个完全平方式?
这个完全平方式是
什么?
★3、已知方程mx2
mx2
0有两个不相等的实数根,则m的值是.
★★4、k为何值时,方程组
y
kx
2,
y2
4x
2y10.
(1)有两组相等的实数解,并求此解;
(2)有两组不相等的实数解;
(3)没有实数解.
★★★5、当k取何值时,方程x24mx4x3m22m4k0的根与m均为有
理数?
考点类型五方程类问题中的“分类讨论”
典型例题:
例1、关于x的方程m1x22mx30
⑴有两个实数根,则m为,
⑵只有一个根,则m为。
例1、不解方程,判断关于x的方程x22xkk23根的情况。
例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根,问这
两方程
是否有相同的根?
若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。
7
考点类型六根与系数的关系
⑴前提:
对于ax2
bx
c0而言,当满足①a
0、②
0时,
才能用韦达定理。
⑵主要内容:
x1
x2
b,x1x2
c
a
a
⑶应用:
整体代入求值。
典型例题:
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根,则这
个直角三
角形的斜边是()
A.3B.3C.6D.6
例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2,
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
若存在,求出k的值;若不
存在,请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为
1)时,
小明因看错
常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为
-9和-1。
你
知道
原来的方程是什么吗?
其正确解应该是多少?
例4、已知a
b,a2
2a1
0,b2
2b1
0,求ab
变式:
若a2
2a1
0,b2
2b1
0,则a
b的值为
。
b
a
一元二次方程的解法专题训练
1、因式分解法①移项:
使方程右边为0
②因式分解:
将方程左边因式分解;
适用能因式分解
方法:
一提,二套,三十字,四分组
8
③由A?
B=0,则A=0或B=0,解两个一元一次方程
2、开平方法
x2
a
(a
0)
x1
ax2
a
适用无一次项的
x
b
2
(a
0)
xb
a
a
解两个一元一次方程
3、配方法①移项:
左边只留二次项和一次项,右边为常数项
(移项要变
....
号)
.
②同除:
方程两边同除二次项系(每项都要除)
.....
③配方:
方程两边加上一次项系数一半的平方
.......
④开平方:
注意别忘根号和正负
⑤解方程:
解两个一元一次方程
4、公式法
①将方程化为一般式
②写出a、b、c
③求出b2
4ac,
④若b2-4ac<0,则原方程无实数解
bb2
⑤若b2-4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根,代入公式
4ac
2
x
x=b
b4ac求解
2a
2a
⑥若b2-4ac=0,则原方程有两个相等的实数根,代入公式
xb求解。
2a
例1、利用因式分解法解下列方程
(x-2)2=(2x-3)2
x2
4x0
3x(x1)3x
3
x2-23x+3=0x528x5160
例2、利用开平方法解下列方程
1(2y1)2
1
4(x-3)2=25
(3x2)2
24
2
5
例3、利用配方法解下列方程
x2
52x20
3x2
6x120
7x=4x2+2
x2
7x100
x2
2x3990
9
例4、利用公式法解下列方程
-3x2+22x-24=02x(x-3)=x-3.3x2+5(2x+1)=0
练习:
选用适当的方法解下列方程
(x+1)2-3(x+1)+2=0
(2x1)2
9(x3)2
x2
2x30
x(x+1)-5x=0.
(x4)2
5(x4)
(x1)2
4x
2x210x3x+5)2=162(2x-1)-x(1-2x)=0
5x2-8(3-x)2–72=03x(x+2)=5(x+2)x2+2x+3=0
x
2
-
-3x
2+22x-24=0
x2-2x-1=0
+6x5=0
2x2+3x+1=03x2+2x-1=05x2-3x+2=0
7x2-4x-3=0
-x2-x+12=0
4x3
2
xx30
(3x2)2(2x3)2x2-2x-4=0(x+1)(x+8)=-12
3x
2+8x-3=0
(3x+2)(x+3)=x+14
(1-3y)2(
3y
-)
+2
1
=0
10
11
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