完整版平方差公式与完全平方公式知识点总结.docx
- 文档编号:27833776
- 上传时间:2023-07-05
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:37.45KB
完整版平方差公式与完全平方公式知识点总结.docx
《完整版平方差公式与完全平方公式知识点总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版平方差公式与完全平方公式知识点总结.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整版平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习
一、平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:
1位置变化,xyyxx2y2
2符号变化,xyxyx2y2x2y2
3指数变化,x2y2x2y2x4y4
4系数变化,2ab2ab4a2b2
5换式变化,xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
22
2
yxyzxyxyy2z2
2xyy2z2
222
x44
⑧逆用公式变化,xyz
xyz
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
完全平方公式
活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公
式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
222
1.ab2abab
2.ab22aba2b2
3.ab2ab22a2b2
22
4.abab4ab
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养
综合运用知识的能力。
例1.已知ab2,ab1,求a2b2的值。
例2.已知ab8,ab2,求(ab)2的值。
解:
:
(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2
2222
••(ab)(ab)4ab..(ab)4ab=(ab)
.「ab8,ab2「.(ab)2824256
例3已知ab4,ab5,求a2b2的值。
解:
a2b2ab22ab422526
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.
例1计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析:
本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“-5”
是公式(a+b)(a-b尸a2-b2中的a,而“2x2”则是公式中的b.
例2计算(-a2+4b)2
分析:
运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,“-a2”就是公式中的a,
“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)
(二)、注意为使用公式创造条件
例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
分析:
粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、
“5”两项同号,“寸、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.
例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分析:
此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),
则可运用公式,使问题化繁为简.
(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:
2222
(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc.
可叙述为:
多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积
2倍.
例6计算(2x+y-3)2
解:
原式=(2x)2+y2+(-3)2+2•2x•y+2・2x(-3)+2•y(-3)
22
=4x+y+9+4xy-12x-6y.
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析:
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆
用完全平方公式,则运算更为简便.
四、怎样熟练运用公式:
熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化如(3x+5y)(5y—3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化如(―2mn7n)(2mn7n)变为—(2m+7n)(2m
—7n)后就可用平方差公式求解了(思考:
不变或不这样变,可以吗?
)
3、数字变化如98X102,992,912等分别变为(100—2)(100+2,(100—1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化如(4n+2)(2mvn)变为2(2n+I)(2nnrn)2444
后即可用平方差公式进行计算了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1)2・(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即
原式=[(a2+1)(a2—1)]2=(a4—1)2=a8—2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1—4)(1—口)(1—口)…(1
234
—9(1—亲),若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,
910
而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式=(1—1)(1+1)(1—」)(1+-)X…X(1一1)(1+」)
22331010
=1X3X2X4X---X工=」xXi.
2233101021020
有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:
a2+b2=(a+b)2—2ab,a2+b2=(a—b)2+2ab等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.
如已知m+n=7,mn=—18,求n2+n2,m2-mi+n2的值.
面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m+n2=(m+n)2-2mnF72-2x(—18)=49+36=85,m2—mr+n2=(m+n)2—3mr=/—3x(—18)=103.
下列各题,难不倒你吧?
!
1、若a+l=5,求
(1)a2+」,
(2)(a—1)2的值.aaa
2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位数字.
(答案:
1.
(1)23;
(2)21.2.6)
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:
(a+b)(a—b)=a2—b:
(a±b)=a2±2ab+b:
(a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3.
第一层次一一正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用.
例1计算
(—2x-y)(2x—y).
第二层次一一逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
第三层次——活用:
根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2—1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解.
解原式=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
二(22—1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.
第四层次一一变用:
解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2—2ab,a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2的值.
解:
.・a+b=9,ab=14,•.2a2+2b2=2[(a+b)2—2ab]=2(92
-2・14)=106,
第五层次综合后用:
将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a—b)2=a2
—2ab+b综合,
可得(a+b)2+(a—b)2=2(a2+b2);(a+b)2—(a—b)2=4ab;
ra+bV卜-6丫
:
rj\T)等,合理地利用这些公式处理某些问题显得
新颖、简捷.
例6计算:
(2x+y—z+5)(2x—y+z+5).
解:
原式
=1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-1[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x+5)2—(y—z)2=4x2+20x+25—y2+2yz—z2
乘法公式的使用技巧:
①提出负号:
对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
例1、运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(-2m-1)2
②改变顺序:
运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.
例2、运用乘法公式计算:
(1)(1a-1b)(-1b-a);⑵(x-1/2)(x2+1/4)(x+1⑵
3443
③逆用公式
将哥的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得
a2-b2=(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得anbn=(ab)n,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、计算:
(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2;
(2)(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)
④合理分组:
对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算:
(1)(x+y+1)(1-x-y);
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
先提公因式,再用公式
例2.计算:
8x24x)24
简析:
通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的X的系数成
倍数,y的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变为24X上,则可利用乘法公式。
4
三.先分项,再用公式
例3.计算:
2x3y22x3y6
简析:
两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x的系数相同,y的系数互为相反数,符合乘法公式。
进而分析如何将常数进行变化。
若将2分解成4与2的和,将6分解成4与2的和,再分组,则可应用公式展开。
四.先整体展开,再用公式
例4.计算:
(a2b)(a2b1)
简析:
乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即
(a2b)1,再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开。
六.先用公式,再展开
例6.计算:
1《1414…1223410
2
简析:
第一个整式1」可表示为121,由简单的变化,22
可看出整式符合平方差公式,其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 平方 公式 完全 知识点 总结
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)