届高三数学萃取热点精华精练4.docx

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届高三数学萃取热点精华精练4

2010年高考数学萃取热点精华精练（4）

1．北京宣武区二模

19.（本题满分14分）

已知点满足：

，且已知

（1）求过点的直线的方程；

（2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；

（3）求点的极限位置。

解：

（1）由，得：

显然直线的方程为………………3分

（2）由，得：

∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：

当n＝2时，点

假设当时，点，即

当时，

∴点

综上，点………………8分

（3）由，得：

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列

即点的极限位置为点P（0，1）………………14分

20.（本题满分14分）

已知直线与曲线交于两点A、B。

（1）设，当时，求点P的轨迹方程；

（2）是否存在常数a，对任意，都有？

如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。

（3）是否存在常数m，对任意，都有为常数？

如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。

解：

（1）设，则

由消去y，得：

依题意有解得：

且，即或且

∴点P的坐标为：

消去m，得：

，即

由，得

，解得或

∴点P的轨迹方程为（或）………………5分

（2）假设存在这样的常数a

由消去y得：

解得：

当时，，且方程<2>判别式

∴对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有………………10分

（3）假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。

即

即

化简，得：

∵a为任意正实数

，即，矛盾。

故这样的常数m不存在。

………………14分

2．大连二模

20．（本小题满分12分）

数列

，设Sn是数列的前n项和，并且满足

（Ⅰ）令

是等比数列，并求{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令

解：

（Ⅰ）

依题意知，s、t是二次方程

的两个实根.

∵

……2分

∴

在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根.

∵

…………4分

（Ⅱ）由s、t是

的两个实根，知

∴

…6分

∵

故AB的中点C（

）在曲线y=f（x）上.……8分

（Ⅲ）过曲线上点

的切线方程为

∵

，又切线过原点.

∴

解得

=0，或

当

=0时，切线的斜率为ab；当

时，切线的斜率为

……10分

∵

∴两斜率之积

故两切线不垂直.………………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）设

处取到极值，其中

（Ⅱ）设

求证：

线段AB的中点C在曲线y=f（x）上；

（Ⅲ）若

，求证：

过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不可能垂直.

解：

（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，

作CD⊥AB于D，由题知：

①

而

②

由①②

………………2分

同理，

∴A（－1，0）、B（1，0）……4分

设双曲线方程

由

…………6分

因为E、C两点在双曲线上，所以

………………8分

解得

，∴双曲线方程为

…………10分

（Ⅱ）设

∵

∴

①

又M、N在双曲线上，满足

②

将②代入①，

∵

…………………………12分

又

∴

取值范围为（

）………………14分

3．德州模拟

21.（12分）已知定点A（0，1），B（0，－1），C（1，0），动点P满足

（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。

（2）当

解：

（1）设p（x，y）

则

由得

3分

整理得（*）4分

当k=1时，*式化为x=1表示直线5分

当k≠1时，*式化为

表示心为半径的圆6分

（2）当k=2时，*式化为

此时，

∴其最小值为2，最大值为612分

22.（14分）△ABC中，|AB|=|AC|=1，，P1为AB边上的一点，，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4……

（1）令BPn为xn，寻求BPn与（即）之间的关系。

（2）点列是否一定趋向于某一个定点P0？

说明理由；

（3）若，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？

若存在，求m的最小值。

解：

（1）由|AB|=|AC|=1，

从而△ABC为边长为1的正三角形2分

则，于是

∴3分

同样

4分

又

即5分

（2）由

（1）可得：

∴的等比数列

∴7分

当

∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP09分

（3）11分

由

当

∴的最小值为414分