高考数学八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题.docx
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高考数学八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)
图1
a2b2c2,求出R
方法:
例1
是(
A.
找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2a2b2
(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
C)
16B.20
c2,即2R
4,体积为16,则这个球的表面积
C.24
.32
2)
若三棱锥的三个侧面两垂直,
且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是
解:
(1)Va2h16,a
2
2,4R2
22
a2h2441624,S
24,选C;
2)4R23339,S
4R29
3)在正三棱锥SABC
中,
M、
N分别是棱SC、BC的中点,且
AMMN,若侧棱
SA23,则正三棱锥SABC外接球的表面积是
。
36
解:
引理:
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下:
如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,
面正三角形ABC的中心,
SH
平面ABC,
SHAB,
ACBC,ADBD,
CD
AB,AB
平面SCD,
ABSC,同理:
BC
SA,
ACSB,即正三棱锥的对棱互垂
直,
本题图如图(3)-2,
AM
MN,SB//MN
AMSB,ACSB,SB平面SAC,
SBSA,SBSC,
SB
SA,BCSA,
SA平面SBC,SA
SC,
连接SH,则H是底
(3)题-2
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直,
(2R)2(23)2(23)2(23)236,即4R236,
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
4)在四面体SABC中,SA平面ABC,
BAC120,SAAC
2,AB1,则该四面体的
外接球的表面积为(D)A.11B.7
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为面积是
C.
10
40
D.
3
6、4、3,那么它的外接球的表
6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为
1的等腰直角三角形和边长为1的正
方形,则该几何体外接球的体积为
解析:
(4)在ABC中,BC2AC2
AB22AB
BCcos120
BC7,ABC的外接球直径为
2r
BCsin
BAC
727
33
2
(2R)2(2r)2SA2
)24
430,S
40
3
,选D
5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为
a,b,c(a,b,c
6)(2R)2a2b2c23,R2
ab12
bc8,abc24,a3,b4,c2,(2R)2a2b2c229,S4R229
ac6
V4R34333
3382
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:
如图5,PA平面ABC解题步骤:
第一步:
将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,圆的直
A
作小
P
O
A
D
B
C
O1
径AD,连接PD,则PD必过球心O;
第二步:
O1为ABC的外心,所以OO1平面ABC,算出小圆O1的半
径O1D
r(三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理,得
a
sinA
1
2r),OO1PA;
sinBsinC12
bc
第三步:
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2;
②R2r2OO12Rr2OO12
三棱锥PABC的三条侧ABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶
2.题设:
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心棱相等点
三棱锥P
解题步骤:
第一步:
确定球心O的位置,
取ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
第二步:
先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高);
第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R方法二:
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为
()C
A.3B.2C.16D.以上都不对
3
解:
选C,(3R)21R2,323RR21R2,423R0,
R2,S4R2
3
16
3
两个平面互相垂直)
第二步:
在
PAC中,可根据正弦定理
a
sinA
b
sinB
c
sinC
2R,求出R
类型三、切瓜模型
1.题设:
如图9-1,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径)第一步:
易知球心O必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC2r;
BC(即AC为小圆的直径)
2.如图9-2,平面PAC平面ABC,且AB
OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O2
3.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点
P点也是圆锥的顶点解题步骤:
第一步:
确定球心O的位置,取ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步:
先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高);第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R
4.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且PAAC,则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2;
②R2r2OO12
Rr2OO12
例3
(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为23,则该球的
表面积为。
(2)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为解:
(1)由正弦定理或找球心都可得2R7,S4R249,
(2)方法一:
找球心的位置,易知r1,h1,hr,故球心在正方形的中心ABCD处,R1,V4
即大圆是
SAC的外接圆,此处特殊,RtSAC的斜边是
3方法二:
大圆是轴截面所的外接圆,球半径,2R2,R1,V
3)在三棱锥PABC中,
PA
PBPC
3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该
三棱锥外接球的体积为
A.
B.
3
C.4
D.
解:
选D,圆锥A,B,C在以r3的圆上,
2
(4)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球
球O的直径,且SC2,则此棱锥的体积为(
A.2B.3C
66
R1
O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为)A
2
2
D.
解:
OO1R2r21(3)2
26
,h,V33
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
1
Sh
3
题设:
如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)
第二步:
算出小圆O1的半径AO1
r,
1,
2,
底面积为S643(21)2
33,V柱Sh33h
8柱8
9,
8
h3,R2(3)
(12)21,
第一步:
确定球心O的位置,O1是ABC的外心,则OO1平面ABC;
11
OO1AA1h(AA1h也是圆柱的高);
22
第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(h2)2r2Rr2(2h)2,解出R
例4
(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为
8
解:
设正六边形边长为a,正六棱柱的高为h,底面外接圆的关径为r,则a
R1,球的体积为V
2)直三棱柱ABC
A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB
AC
AA12,
BAC120,
则此球的表面积等于
23
4,r2,R5,S20sin120
3)已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相
解:
BC23,2r
垂直,EAEB3,AD2,AEB60,则多面体E
的外接球的表面积为
。
16
解析:
折叠型,法一:
EAB的外接圆半径为r1
3,
ABCD
D
OO11,
R132;法二:
O1M
23,r2O2D213
R234
13
1434,R2,S16
4)在直三棱柱ABC
A1B1C1中,AB4,AC6,A
AA14则直三棱柱ABCA1B1C1的
31111
外接球的表面积为
160
3
解析:
BC216
36
1
246
2
28,BC27,2r
2747,r27,
33,r3,
2
22
R2r2
28
40,
3,
160
S
类型五、折叠模型
题设:
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图11)
第一步:
先画出如图所示的图形,将BCD画在小圆上,找出BCD和ABD的外心H1和H2;
第二步:
过
H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接
OE,OC;
第三步:
解
OEH1,算出OH1,在RtOCH1中,勾股定理:
OH12CH12OC2
例5三棱锥则三棱锥P
ABC中,平面PAC平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,ABC外接球的半径为.
解析:
2r1
24
sin60
21
3,O2H3,
R2O2H2
2
r1
14
33
,R
15
法二:
O2H
13,O1H
1,
3,
AH
1,
R15
3
5,
R2AO2AH2O1H2O1O2
3,
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)题设:
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(ABCD,ADBC,ACBD)
第二步:
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c,
ADBC
x,ABCDy,ACBDz,列
方程组,
2
a
b2
2
c
b2
2
c
2
a
2
x
2y
2
z
22
(2R)2a2
22
xy
补充:
VA
BCD
abc1abc
6
1abc
3
第一步:
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
第三步:
根据墙角模型,2Ra2b2c2
2
2
2
x2
y2
z
2
222
x2y2z2,求出R,88
例如,正四面体的外接球半径可用此法。
2
R2x2
22
y2z2,R
例6
(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一
个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.
(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是(
A.33B.3C
43
3
12
解:
(1)截面为PCO1,面积是2;
(2)高hR1,底面外接圆的半径为
直径为2R
设底面边长为a,则2R
sina602,a3,
32
a
4
2,
33
4
O2
O
(1)题解答图
三棱锥的体积为V
1Sh
3
3)在三棱锥A
BCD中,ABCD2,AD
BC
3,AC
BD4,则三棱锥ABCD外接球
的表面积为
29
。
2
解析:
如图12,
设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,
则a2b29,
22bc
4,
22
ca16
2(a2
b2c2)941629,2(a2b2
c2)941629,
22
2
292
29
29
a2b2
c
,4R2
,S
2
2
2
(4)如图所示三棱锥A
BCD,
其中ABCD5,ACBD6,AD
BC7,则该三棱锥外接
球的表面积为.
解析:
同上,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,
2222222
2(a2b2c2)253649110,a2b2c255,4R255,S55
【55;对称几何体;放到长方体中】
(5)正四面体的各条棱长都为2,则该正面体外接球的体积为解析:
这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中,
2R3,
R3,V4
23
333
82
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
题设:
APB
C
ACB90,求三棱锥P
ABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点
O,
连接
1
OP,OC,则OAOBOCOPAB,O为三棱锥PABC外接球球心,然后在OCP中2
求出半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。
例7
(1)在矩形ABCD中,AB4,BC则四面体ABCD的外接球的体积为A.125
12
解:
(1)2RAC5,
2)在矩形ABCD中,
.125
.9
R52,VAB2,
3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,)125
6
125
8
1265,选C
125
3
4R3
3
BC3,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥
ABCD的外接球的表面积为
解析:
(2)BD的中点是球心O,2RBD13,S4R213;类型八、锥体的内切球问题
1.题设:
如图14,三棱锥PABC上正三棱锥,求其外接球的半径。
第一步:
先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心;
1
第二步:
求DHBD,POPHr,PD是侧面ABP的高;
3
第三步:
由POE相似于PDH,建立等式:
OEPO,解出r
DHPD
A
B
P
C
图14
D
C
2.题设:
如图15,四棱锥PABC上正四棱锥,求其外接球的半径第一步:
先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;
1
第二步:
求FHBC,POPHr,PF是侧面PCD的高;
2
第三步:
由POG相似于PFH,建立等式:
OGPO,解出
HFPF
3.题设:
三棱锥PABC是任意三棱锥,求其的内切球半径方法:
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步:
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
第二步:
设内切球的半径为r,建立等式:
VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC
1
VPABCSABC
PABC3ABC
1
SPAB
3PAB
111
SPACrSPBCr(SABC
3PAC3PBC3ABC
SPABSPACSPBC)r
第三步:
解出
3VPABC
习题:
1.若三棱锥S径为(
A.3
解:
【A】(2R)2416166,R3
ABC的三条侧棱两两垂直,且SA2,SB
)
B.6
C.36
D.9
SC4,则该三棱锥的外接球半
SA23,
32
3
解析:
ABC外接圆的半径为
,三棱锥SABC的直径为2R
2
sin60
43,外接球半径
【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】2.三棱锥SABC中,侧棱SA平面ABC,底面ABC是边长为3的正三角形,则该三棱锥的外接球体积等于.
3
2
3,
或R(R3)1,R,外接球体积V4R8323,
3333327
解析:
cosP
PA2PC2AC2
2PAPC
2,PAPC
3,
AB
BC,则三棱
72
162
42
P1()2
,sin
P,
9
81
9
99472
,sin
2339
4.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,△PAC边长为2的正三角形,ABBC,则三棱锥PABC外接球的半径为.
解析:
PAC的外接圆是大圆,2Rsin26043,R23,
5.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC锥PABC外接球的半径为.
2992,92
2R42224,R8
9
6.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC2,PAPC,ABBC,则三棱锥PABC外接球的半径为.
解:
AC是公共的斜边,AC的中点是球心O,球半径为R1
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