第十章命题自然推理和谓词自然推理.docx
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第十章命题自然推理和谓词自然推理
第十章命题自然推理和谓词自然推理
【堂上操练】
一、填空:
1•命题自然推理是建立的命题演算。
2•命题自然推理的主要特征是应用推理规则,通过引入假设而推岀形式结论,因此又称这种
推理为""。
3•谓词自然推理是建立在基础上的,增加了能刻画简单命题的新符号,把
简单命题表示为能进行各种逻辑运算的公式,从而能分析各种简单命题以及由它们组合的复合命题所建立的演算。
4•由于简单命题有一元的直言命题和多元的关系命题,所以,谓词自然推理也有和
之分。
5•谓词变项是表示或的符号。
6•在谓词自然推理过程中,只要就能利用命题推理规则,就能还原为谓词
公式。
二、用命题的自然推理,证明下列公式是否有效式(定理)?
1•(AtB)AAtB
2•AABtA
3•(AVB)A—B—A
4•(Atb)A(Btc)t(atC)
5•(Atb)_(—4—A)
6•—(AVB)AA—B
7•(AVB)VC一AV(BVC)
8•AA(BVC)J(AAB)V(AAC)
三、用谓词逻辑公式表示以下直言命题:
1•有些国有企业是老企业。
2•有些领导干部没有抵制住贪图享乐思想的侵蚀。
3•所有国有企业都要迎接加入WTO的挑战。
4.所有法人都不是某个人。
5•并非所有人都是自私的。
6•凡不是达到第一宇宙速度的物体都不能飞离地球。
四、用谓词逻辑公式表示以下关系命题:
1•所有公民都应该保护妇女儿童的合法权益。
2.有些学生喜欢比较活泼的老师。
3•同事之间应该保留一定的个人空间。
4.全社会应当尊重教师。
5•有些理科学生认识艺术系的所有老师。
6•男孩子如果努力学习就有一些漂亮的女孩子赏识。
【课后作业】
一、利用给岀的符号给下面的论证构造命题自然推理形式证明:
1•A参加会议(p)或A未被邀与会(q)。
如果教师想让A参加会议(r),则A会被邀与会。
A未参加会议。
如果教师不想让A参加会议并且A未被邀与会,则A将自行其是(s)。
因而,A将自行其是。
2•如果调查继续进行(p),则将揭露出新的证据(q)。
如果揭露出新的证据,则司法部门将
直接参与案情调查(r)o如果司法部门直接参与调查,则报纸不会再公布案情(s)。
如果继续调
查导致报纸不再公开案情,则揭露出新的证据会导致调查继续。
调查不再继续。
因而新的证据不
会被揭露出来。
3•当且仅当罗杰签订了契约(R),并且契约是合法的(L),并且罗杰不履行契约(P),秦斯
将赢得这场诉讼(J)如果罗杰没有接受秦斯的建议(A),则罗杰就没有签订契约。
事实上罗
杰没有接受秦斯的建议。
因之,秦斯不会赢得这场诉讼。
4•如果有25个师够用(D),则将军会赢得这个战役(W)或者将有三个联队的空中战术支
援(A),或者将军将不会赢得这个战役。
但是,实际情况并非25个师够用且将有三个联队的空
中战术支援。
因此,25个师并不够用。
二、利用给岀的符号给下面的论证构造谓词自然推理形式证明:
1•所有水果(Sx,都是带甜味(Dx)的,所有辣椒(Lx)都是不带甜味的,所以,所有辣椒都不是水果。
2.非科学的东西(Ax,不是可信的(Bx),空想(Cx)或吹嘘(Dx)是非科学的东西,不踏实工作的人(Ex,吹嘘,所以,不踏实工作又空想的人是不可信的。
3.没有一个一贯说谎的人(Lx)是可靠的(Tx),有些一贯说谎的人戴着一顶顶桂冠(Fx),所以,有些戴着一顶顶桂冠的人是不可靠的。
4•所有外交官(Dx)都是政府官员(Px),有些外交官是能言善辩的(Ex),所有能言善辩的
外交官是演说家(Qx),因而,有些能言善辩的政府官员是演说家。
5•有个人(Mx)谁都看不起他(R(x,y)),所以,至少有一个人看不起自己。
6•没有一个人尊重(R(x,y))不自重的人,没有一个人信任(H(x,y))他不尊重的人,因而,一个不受人尊重的人不被任何人信任。
参考答案
2•假设推理
5•事物性质,事物之间关系
、用命题的自然推理,证明下列公式是否有效式(定理)?
1•
证:
(1)
A
fB前提
(2)
A
前提
(3)
B
(1),
(2)蕴涵消去
2.
证:
(1)
A
AB前提
(2)
A
合取消去
3.
证:
(1)
A
VB前提
(2)
'B前提
(3)
A
相容选言推理否定肯定式
4.
证:
(1)
A
假设
(2)
A
fB前提
(3)
B
(1)、
(2)蕴涵消去
(4)
B-C前提
(5)
C(3)、(4:
)蕴涵消去
(6)
A—C
(1)
、(5)蕴涵引入(消去假设
(1))
5.证:
(1)
—B假设
(2)
A-B前提
(3)
-A
(1)、
(2)否定后件
(4)
—4—A
(1)、(3)蕴涵引入(消去假设
(1))
(逆证略,下同)
6.证:
(1)—(AVB)前提
(2)A假设1
(3)AVB
(2)析取引入
(4)pA
(1)、
(2)、(3)否定引入(消去假设1
(2))
(5)B假设2
(6)AVB(6)析取引入
(7)一B
(1)、(5)、(6)、否定引入(消去假设2(5))
(8)—AA—B(4)、(7)合取引入
7.证:
(1)(AVB)VC前提
(2)B假设1
(3)AVB
(2)析取引入
(4)BVC
(2)析取引入
(5)(AVB)t(BVC)(3)、(4),蕴涵引入(消去假设1
(2))
(6)C假设2
(7)BVC(6)析取引入
(8)C-(BVC)(6)、(7),蕴涵引入(消去假设2(6))
(9)BVC
(1)、(5)、(8),析取消去
(10)AV(BVC)(9),析取引入
8.证:
(2)A
(1)合取消去
(4)B假设1
(6)(AAB)V(AAC)(5),析取引入
(1)AA(BVC)前提
(3)BVC
(1)合取消去
(5)AAB
(2)、(4),合取引入
(7)B-(AAB)V(AAC)(4)、(6),蕴涵引入(消去假设1(4))
(8)C假设2
(9)AAC
(2)、(8),合取引入
(10)(AAB)V(AAC)(9),析取引入
(11)C-(AAB)V(AAC)(8)、(10),蕴涵引入(消去假设2(8))
(12)(AAB)V(AAC)(3)、(7)、(11),析取消去
三、用谓词逻辑公式表示以下直言命题:
1.设Gx:
x是国有企业,Lx:
x是老企业,则:
(匚x)(GxALx)。
2.设Lx:
x是领导干部,Dx:
x是抵制住贪图享乐思想的侵蚀(的人),贝0:
(」x)(LxA_Dx)
3.设Gx:
x是国有企业,Yx:
x是迎接加入WTO的挑战(的企业),则:
(「x)(G>tYx)
4.设Fx:
x是法人,Mx:
x是某个人,则(7x)(Fx-—Mx)。
5•设Rx:
x是人,Zx:
x是自私的(人)Ur(Lx)(RlZx)。
6•设Dx:
x达到第一宇宙速度的物体,Nx:
x是能飞离地球,则(7x)(—Dl—Nx)
四、用谓词逻辑公式表示以下关系命题:
1.设Gx:
x是公民,Fx:
x是妇女儿童的合法权益,R(x,y):
x保护y,则(忖x)(Gx^
(忖y)(Fy-R(x,y)))。
2.设Xx:
x是学生,Bx:
x是比较活泼的老师,R(x,y):
x喜欢y,则(弓x)(Xx人(Fy)
(By-R(x,y)))o
3•设Tx:
x是同事,Lx:
另一些同事,R(x,y):
x应该保留(距离)一定的个人空间,则
(Ax)(Tx-(吋y)(Ly-R(x,y)))。
4.设Qx:
x是全社会的任一分子,Jx:
x是教师,R(x,y):
x应当尊重y」x)(Qx^
(丫y)(Jy—R(x,y)))o
5.设Lx:
x是理科学生,Yx:
x是艺术系的老师,R(x,y):
x认识y,则(了x)(Lx人(廿y)(Yy-R(x,y)))。
6.设p:
男孩子努力学习,Px:
x是漂亮姑娘,Nx:
x是男孩子,则p-(-x)(Px人(」y)(NyAR(x,y)))
【课后作业】
一、利用给岀的符号给下面的论证构造命题自然推理形式证明:
2:
r-fq,前提3:
—p,前提4:
一rAq-s。
1•前提1:
pVq,前提结论:
s
(1)
pVq
前提
(2)
r-=q
前提
(3)
—P
前提
(4)
—rAq-s
前提
(5)
q
(1)、
(6)
—r
(2)、
(7)
—rAq
(5)、
(8)
s
(4)、
2•前提
1:
p?
q,前提2:
q-r,前提
结论:
_q
形式证明:
(3),相容选言推理否定肯定式
(5),蕴涵消去
(6),合取引入
(7),蕴涵消去
3
Po
:
r-s,前提4:
(p-s)—(q-p),前提5:
r
形式证明:
(1)
p-q
前提
(2)
q-r
前提
(3)
r—s
前提
(4)
(p-s)—(q-p)
前提
(5)
~~P
前提
(6)
p-s
假言联锁
(7)
q-p
(4)、(6),
蕴涵消去
(8)
—q
(5)、(7),
充分条件假言推理否定后件
3•前提
1:
ralap—j,前提
2:
A-—R,
前提3:
Ao
结论:
—J
形式证明:
(1)ralap—J
(2)A-—R
前提
前提
(3)A
前提
(4)—R
(2)、(3),蕴涵消去
(5)JfRALAP
等值消去
(6)—J
(4)、(5),蕴涵消去
4•前提1:
DfW,前提2:
AV—W,前提3:
b(DAA)。
结论:
一D形式证明:
(1)DfW前提
(2)AV—W
前提
(3)—(DAA)
前提
(4)D
间接证明的假设
(5)W
(1)、(5),蕴涵消去
(6)A
(2)、(6),相容选言推理否定肯定式
(7)—DV—A
(3)德摩根律
(8)-D
(6)、(7),蕴涵消去
(9)DA—D
(4)、(8),合取引入
(10)—D
(4)、(8),间接证明(消去间接证明的假设
、利用给岀的符号给下面的论证构造谓词自然推理形式证明:
1.前提1:
(孑x)(SxtDx),前提2:
(廿x)(Dx)
4))
(ExtDx)
结论:
(匸x)(Lxt—Sx)
形式证明:
(1)
(2)
(匸x)(SxfDx)
(匸x)(Lxf—Dx)
前提
前提
(3)
SarDa
(1),全称消去
(4)
Laf—Da
(2),全称消去
(5)
—Da^rSa
(3),假言易位
(6)
Laf—Sa
(4)、(5),假言三段论
(7)
(匸x)(Lxf一Sx)
(6),全称引入
2.前提1:
(忖x)(AxtrBx),前提2:
(x)((CxVDx)fAx),前提3:
(&x)
结论:
(匸x)(ExACx)f—Bx)形式证明:
(1)(匸x)(Axf—Bx)
(2)(匸x)((CxVDx)?
Ax)
(3)(匸x)(ExtDx)
(4)AarBa
(5)(CaVDa)fAa
(6)EarDa
(7)EaACx
(8)Ea
(9)Da
(10)Aa
(11)—Ba
(12)(EaACa)f一Ba
(13)(亍x)(ExACx)f一Bx)
3.前提1:
(廿x)(Lxf=tx),前提2:
结论:
(」x)(FxA—Tx)
前提
前提
前提
(1),全称消去
(2),全称消去
(3),全称消去
假设
(7),合取消去
(6)、(8),蕴涵消去
(5)、(9),蕴涵消去
(4)、(10),蕴涵消去
(7)、(11)蕴涵引入,(消去假设)
(12),全称引入
(-x)(LxAFx)。
形式证明:
(1)
(匸x)(Lxt—Tx)
前提
(2)
(-X)(LxAFx)
前提
(3)
Lar—rTa
(1)全称消去
(4)
LaAFa
(2)存在消去
(5)
La
(4)合取消去
(6)
Fa
(4)合取消去
(7)
—Ta
(3)、(5),蕴涵消去
(8)
LaArTa
(5)、(7),合取引入
(9)
(一x)(FxA—Tx)
(8)存在引入
4•前提1
:
(Hx)(DxtPx),前提2:
(-X)(DxAEx),前提3:
(、x)(DxA
结论:
(」x)(ExAPxAQx)
形式证明:
(1)
(匸x)(DxtPx)
前提
(2)
(」x)(DxAEx)
前提
(3)
(rx)(DxAExtQx)
前提
(4)
DaAEa
a
(2),特称消去
(5)
Da^Pa
(1),全称消去
(6)
DaAEarQa
(3),全称消去
(7)
Qa
a(4)、(6),蕴涵消去
(8)
Da
a(4),合取消去
(9)
Ea
a(4),合取消去
(10)
Pa
a(5)、(8),蕴涵消去
(11)
EaAPaAQa
a(7)、(9)、(10),合取引入
(12)
(Ux)(ExAPxAQx)(11),存在引入(消去标记)
5•前提1
:
(_"x)(MxA(了y)(MyrR
(y,x)))。
结论:
(」x)(MaAR(x,x)
形式证明:
(1)
(_x)(MxA(「y)(MyrR
(y,x)))前提
(2)
MaA(Fy)(MyrR(y,a))a
(1),存在消去
(3)
(ry)(MyrR(y,x))
a
(2),合取消去
(4)
Ma^R(a,a)
a(3),全称消去
(5)Ma
a
(2),合取消去
(6)
R(a,a)
a(4)、(5),蕴涵消去
(7)
MaAR(a,a)
a(5)、(6),合取引入
(8)
(二x)(MaAR(x,x)
(7)存在引入(消去标记)
6•前提1
:
(rx)((MxA—R(x,x)
r(hy)(Myr—R(y,x)))
ExtQx)。
R(y,x)tfh(y,x)))
(□x)((MxA(Iz)(Mp—R(z,x)))r(丁y)(Myr—H(y,x)))
前提2:
(「y)((M尸(「x)(MxA结论:
形式证明:
(1)(匸x)((MxA—R(x,x)t(丁y)(M尸一R(y,x)))
(2)(匸y)((Myr(Tx)(MxA"r(y,x)t—h(y,x)))
(3)MxA(丫z)(Mzr"r(z,x))假设
(4)My假设
(5)
(3),合取消去
(5),全称消去
(3),合取消去
(6)、(7),蕴涵消去
(7)、(8),合取引入
(匸z)(Mz^—R(z,x))
(6)Mx^—R(x,x)
(7)Mx
(8)—R(x,x)
(9)Mx人一R(x,x)
(10)Mx人pR(x,x)t(廿y)(M尸(y,x))
(1),全称消去
(11)(丫y)(M尸rR(y,x))(9)、(10),蕴涵消去
(12)M尸一R(y,x)(11),全称消去
(13)(y,x)(4)、(12),蕴涵消去
(14)Mx人rR(y,x)(7)、(13),合取引入
(15)M尸(丫x)(MxR(y,x)frH(y,x))
(2),全称消去
(16)(忖x)(MxAR(y,x)H(y,x))(4)、(15),蕴涵消去
(17)MxA—R(y,x)f—H(y,x)(16),全称消去
(18)f^H(y,x)(9)、(17),蕴涵消去
(19)MyfrH(y,x)(4)、(18),蕴涵引入(消去假设
(4))
(20)(河y)(Myf^H(y,x))(19),全称引入
(21)MxA(Fz)(Mzffr(z,x))f(Py)(MyfH(y,x))
(3)、(20),蕴涵引入
(22)(河x)(MxA(廿z)(MzfpR(z,x))f(廿y)(MyfpH(y,x)))
(21),全称引入(消去假设(3))
(关老健解答)
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- 第十 命题 自然 推理 谓词