第10章压杆稳定.docx
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第10章压杆稳定
第10章压杆稳定
10.1【学习基本要求】
1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。
2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义,掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。
4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。
5、理解压杆的柔度的概念,掌握柔度的计算方法。
6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。
8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。
10、掌握提高压杆稳定性的措施。
10.2【要点分析】
1、压杆稳定的概念
稳定性:
压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。
失稳:
压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡:
细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态,如果给杆以微小的侧向干扰力,使杆产生微小的弯曲,在撤去干扰力后,杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡,这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。
...不稳定平衡:
撤去干扰力后,杆不会回到原来的平衡,而是保持微弯或力F继续增大,杆继续弯曲,产生显著的变形,甚至发生突然破坏,则称原有的平衡为不稳定平衡。
...失稳:
轴向压力F由小逐渐增大的过程中,压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡,这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态:
压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力:
压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力,称为压杆的临界压力或临界力。
(即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力)
【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。
②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。
③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆
理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别,因为实际压杆常常带有初始缺陷,如:
①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线;②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合;③残余应力造成材料内部留有初应力;④材质不可能是完全均匀连续的。
这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。
3、细长压杆的临界力
细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。
临界力计算公式称为欧拉公式,其统一形式为
2EI2EI(10.1)Fcr2l2l0【说明】①EI为杆件的抗弯刚度;②l0=μl称为相当长度或计算长度,其物理意义为
各种支承条件下,细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度,也就是挠曲线上两拐点间的长度,即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离;③μ称为长度系数,它反映了约束情况对临界力的影响,具体情况见表10-1。
4、细长压杆的临界应力
压杆处于临界状态时横截面上的平均应力称为临界应力,用σcr来表示。
压杆在弹性范围内的临界应力为
2EI2EFcr(10.2)cr22A(l)A【说明】①这是欧拉公式的另一种表达形式。
②EI为杆件的抗弯刚度。
③I、A、i2=I/A
是只与杆横截面的形心主矩和截面面积,都是与截面形状和尺寸有关的几何量;④式中λ=μl/i称为压杆的柔度或长细比,它全面地反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界荷载的影响,是压杆的一个重要参数。
表10-1各种约束条件下等截面细长压杆的长度系数杆端支承情况两端铰支一端固定,一端铰支两端固定一端固定,一端自由失稳时挠曲线形状μ=1μ=0.7μ=0.5μ=2长度系数μ5、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是以压杆的挠曲线近似微分方程为依据而得到的,因此欧拉公式的适用条件是材料在线弹性范围内工作,即临界应力不超过材料的比例极限,即
2Ecr2p或E或P(10.3)
P【说明】①式中λ为压杆的柔度或长细比。
②式中PE/P,完全取决于材料的力学性质。
③满足λ≥λp的压杆才能适用欧拉公式。
④适用欧拉公式的压杆称为细长杆或
大柔度杆。
6、中长杆的临界应力
1)直线公式
对于中长杆,把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。
crab(10.4)
【说明】①式中a、b是与材料力学性质有关的系数,可以查相关手册得到。
②临界应力σcr随着柔度λ的减小而增大。
③该式适用于SP的压杆,称为中长杆或中柔度杆,式中S(aS)/b,σS为材料的屈服极限。
2)抛物线公式
把临界应力cr与柔度的关系表示为如下形式
2c(10.5)cr1ac【说明】①式中σ是材料的屈服强度。
②a是与材料性质有关的系数。
③λc是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度。
7、粗短杆的临界应力
当压杆的柔度满足λ
8、临界应力总图以柔度λ为横坐标,以临界应力σcr为纵坐标,作出σcr-λ图,能够反映三类压杆的临界应力σcr随压杆柔度λ变化的情况,称为临界应力总图。
图10-1所示的是中长杆采用直线公式的临界应力
图10-1总图。
9、压杆稳定计算的安全系数法
在对压杆进行稳定计算时,以临界应力除以大于1的安全系数所得的数值为准,即要求横截面上的正应力σ≤σcr/nt,通常将稳定条件写成下列用安全系数表达的形式:
Fnwcrcrnt(10.6)
FN【说明】①式中,nt为规定稳定安全系数。
②nw称为压杆的工作安全系数。
③FN是
指压杆的轴力。
④σcr和Fcr是指由临界应力总图得到的临界应力和临界力。
10、压杆稳定计算的折减系数法
nt稳定安全系数,[]为强度计算时的许用应力。
称为折减系数,是一个小于1的数,是压杆长细比的函数,反映了随着压杆长细比的增加对稳定承载能力的降低。
因此,对于同种材料制成的等截面压杆,稳定条件可表达为
FwN[](10.7)
A如果定义[]tcr[]为稳定许用应力,其中σcr为压杆的临界应力,nt为规定
式中,FN为压杆轴向;A为压杆的横截面面积。
【说明】①利用式(10.6)或式(10.7)就可进行稳定性校核、设计截面和确定许可荷载等三个方面的计算。
②需要指出的是,当压杆由于钉孔或其他原因而使截面有局部削弱时,因为压杆的临界力是根据整根杆的失稳来确定的,因此在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响,而以毛面积进行计算。
③在强度计算中,危险截面为局部被削弱的截面,应按净面积进行计算。
11、提高压杆承载力的措施影响压杆稳定性的因素有:
压杆的截面形状,压杆的长度、约束条件和材料的性质等。
所以提高压杆承载能力的措施可以从选择合理的截面形式、减小压杆长度、改善约束条件及合理选用材料等几个方面着手。
10.3【范例讲解】
例10-1图10-2所示两端球铰支承细长杆,弹性模量E=200GPa,试用欧拉公式计算其临界力。
1)圆形截面,d=25mm,l=1.0m;
2)矩形截面,h=2b=40mm,l=1.0m;3)No16工字钢,l=2.0m。
解:
1)圆形截面杆:
两端球铰:
μ=1,
d4I1.910-8m4l642298EI200101.910Fcr137.8kN22l112)矩形截面杆:
两端球铰:
μ=1,Iy
hb3Iy2.610-8m4122298EIy200102.610Fcr252.6kN22l113)No16工字钢杆:
两端球铰:
μ=1,Iy
2EIy220010993.1108Fcr3459kN22l12Fdhbyzyz图10-2
例10-2图10-3所示矩形截面压杆,有三种支承方式。
杆长l=300mm,截面宽度b=20mm,高度h=12mm,弹性模量E=70GPa,λp=50,λ0=30,中柔度杆的临界应力公式为σcr=382MPa–(2.18MPa)λ。
试计算它们的临界力,并比较其大小。
FFF
A-A
h
lllAAbz
y(c)(a)(b)图10-3解:
(a)比较压杆弯曲平面的柔度:
llIyIz,iyiz,y,z,yz
iyiz长度系数:
μ=2
yliy12l1220.3173.2h0.012压杆是大柔度杆,用欧拉公式计算临界力;
Fcr(a)2E270109crA2A0.020.0125.53kN
y173.221,yliy12l1210.386.6h0.012(b)长度系数和失稳平面的柔度:
压杆仍是大柔度杆,用欧拉公式计算临界力;
Fcr(b)2E270109crA2A0.020.01222.1kN
y86.620.5,yliy12l120.50.343.3h0.012(c)长度系数和失稳平面的柔度:
压杆是中柔度杆,选用经验公式计算临界力
Fcr(c)crAabA(3822.1843.3)1060.020.1269.0kN
三种情况的临界压力的大小排序为Fcr(a)Fcr(b)Fcr(c)。
例10-3图10-4所示压杆,截面有四种形式。
但其面积均为A=3.2某10mm2,试计算
它们的临界力,并进行比较。
弹性模量E=70GPa,λp=50,λ0=30,中柔度杆的临界应力公式为σcr=382MPa–(2.18MPa)λ。
baF
zaz2b
yy
3m
解:
(a)比较压杆弯曲平面的柔度:
(a)
(b)
d0.7DD(c)
(d)
图10-4
IyIz,iyiz,y矩形截面的高与宽:
liy,zlizyz
A2b23.210mm2b4mm2b8mm
长度系数:
μ=0.5
yliy12l120.531299b0.004压杆是大柔度杆,用欧拉公式计算临界力:
例10-10图10-11所示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成,C、D两处均为球铰。
已知d=200mm,b=100mm,h=180mm;E=200GPa,σ=235MPa,σb=400MPa;强度安全系数n=2.0,稳定安全系数nt=3.0。
试确定该结构的许可荷载。
解:
1)求内力
杆CD受压力为FCD2)梁BC的强度计算F2F,梁BC中最大弯矩为MB33MB2F64F22W3bhbhnbh22351061001802109F95175N95.2
n42.03)杆CD的稳定性计算
11200p
20i10342EI2Ed4320010920410123Fcr2215.510N=15.5kN2l64l64641F3FCD3Fcr
F15.5315.5kNFt3.03.0l
例10-11图10-12(a)示桁架结构,在节点C承受铅垂方向的荷载F=100kN,二杆均为
圆截面杆,材料为Q235钢,许用应力[σ]=180MPa,试确定杆的直径。
解:
受力分析如图10-12(b)所示,由平衡条件得
55F100kN83.33kN666161F2F100kN=130.17kN
66F1首先确定AC杆件的直径,AC杆受拉,得
A1dF183.33kN4.63cm2
180MPa(a)
44.63cm=24.3mm
3.14由此得,d24.3mm
在计算BC杆件的直径,
1)初次估算,先取10.6,利用公式计算压杆面积。
4A1A11F2130.2kN1.2056103m2
0.6180MPa4A1(b)图10-12
直径为d141.2056103m39.19mm
3.14惯性半径为id39.199.7975mm44l10061柔度为79.72
i9.79750.733,校核其稳定性。
查折减系数表,并用插值法得到1F130.2kN2108.00MPa32A11.205610mt10.733180MPa=131.97MPa
材料未充分利用,需要进一步试算;2)第二次试算,取2112F2130.2kNA21.0853103m2
20.6665180MPa4A20.60.7330.6665,计算压杆面积得
241.0853103m37.18mm直径为d23.14惯性半径为id37.189.295mm
44l1006184.03柔度为i9.2950.706,校核其稳定性。
查折减系数表,并用插值法得到2F130.2kN2119.97MPa
A21.0853103m2t20.706180MPa=127.08MPa
许用稳定应力略大于工作应力,但在允许的范围之内,所以认为满足稳定条件,可设计的BC压杆的直径应为d37.18mm。
例10-12如图10-13两根槽钢由缀板连接组成立柱,柱的两端均为球铰支承,柱长l=4m,受轴向压力F=800kN。
槽钢材料为Q235钢,许用应力[σ]=120MPa。
试从稳定条件考虑选择槽钢的号码,并求两槽钢间的距离2b及缀板间的距离a。
解:
1)用迭代法设计槽钢型号
①设0.5,则[]w0.5[]0.512060MPa
由F[]w有2A800103422A66.710m66.7cm62[]w26010F查型钢表,36b槽钢A68.11cm,iz13.6cm
2图10-13
140030
iz13.6查折减系数表,30时,0.958
则有l②再设0.73,则[]w0.73[]0.7312087.6MPa
800103422A45.710m45.7cm62[]w287.610F查型钢表,32a槽钢,A48.5cm,iz12.5cm则有2liz14003212.50.9270.958(3230)0.952
4030③再设0.84,则[]w0.84[]0.84120101MPa
查折减系数表,用内插法查得,32时,0.958800103422A39.610m39.6cm62[]w210110F查型钢表,25b槽钢,A40cm,iz9.41cm则有2liz140042.59.410.8880.927(42.540)0.92
5040④再设0.88,则[]w0.88[]0.88120105.6MPa
查折减系数表,用内插法查得,42.5时,0.927800103422A37.910m37.9cm
2[]w2105.6106F2查型钢表,22槽钢,A36.2cm,iz8.42cm(面积小4.5%)
则有liz140047.58.420.8880.927(47.540)0.90
5040⑤再设0.89,则[]w0.89[]0.89120106.8MPa查折减系数表,用内插法查得,47.5时,0.927800103A37.5104m237.5cm262[]w2106.810F2查型钢表,22槽钢,A36.2cm,iz8.42cm(面积小3.5%,满足工程要求)
故可选22槽钢。
(2)确定槽钢间距b
42查型钢表,22槽钢,A36.2cm,Iz2570cm,z02.03cm,Iy176cm
4合理的间距应使IyIz,即
17636.2(b2.03)22570解出b10.2cm。
(3)确定缀条间距a
理论上,如果将两槽钢拉开一定距离b后,立柱在y轴方向,和z轴方向上的整体柔度都相同。
但实际上,对于每一根槽钢来说,y轴方向上的稳定性仍然较另一轴差一些,
为了防止在局部出现失稳,常常需要用缀条将两根槽钢固定起来。
两缀条之间的槽钢视为两端铰支,应使两缀条之间槽钢的局部柔度与整体柔度相同。
查22槽钢,iy2.21cm,yaiya,而22槽钢47.5令yz,即2.21a47.5,解出a105cm。
2.21例10-13图10-14(a)示刚性横梁AB水平放置,A端是固定铰支座支承,B端作用有向下的力F,试计算其临界压力Fcr。
CD和EF均为两端铰支的长为l的细长压杆,且EI已知。
(a)(b)
图10-14
MA0,得解:
设杆件CD,EF受到轴力分别为FN1,FN2。
由梁AB的平衡方程
aFN12aFN24aF0
由于横梁AB是刚性杆,结构变形后,它仍为直杆,有图a中看出,杆件AB,CD两
杆的伸长lCD,lEF应满足以下关系:
lEF2lCD
FN1lFl,lEFN2EAEAFlFl代入得N22N1
EAEA48由以上各式解出FN1F,FN2F
55由胡克定理,lCD由以上分析得,杆件EF受压力最大,只要其达到临界压力,即为结构达到临界压力得FcrEF2ll2552EI所以FFcrEF288l由Fcr2EI2EI
10.4〖练习题〗
10-1判断题:
试判断下列说法是否正确,正确的划“√”,错误的划“某”并请说明理由。
1)压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。
2)同种材料制成的压杆,其柔度越大越容易失稳。
3)两根材料、长度、横截面面积和约束都相同的压杆,其临界力也必定相同。
4)对于轴向受压杆件来说,由于横截面上的正应力均匀分布,因此不必考虑横截面的合理形状问题。
5)细长压杆的长度加倍,其他条件不变,则临界力变为原来的1/4;长度减半,则临界力变为原来的4倍。
6)满足强度的压杆不一定满足稳定性;满足稳定性的压杆也不一定满足强度。
7)压杆失稳是指在轴向压力作用下,危险面发生屈服或断裂。
8)压杆的失稳将在惯性半径小纵向面内发生。
9)细长杆的临界压力与杆件承受轴向压力无关。
10)一细长压杆当轴向压力F达到临界压力Fcr时受到微小干扰后发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力F,则压杆的微弯变形将会完全消失。
10-2选择题:
1)题10-2图
(1)所示一正方形截面细长压杆,因实际需要在n-n横截面处钻一横向小孔如图所示。
在计算压杆的临界力时,所用的惯性矩为;
b4b4d4b4bd3b4b3d(C)(D)(A)(B)12121212121264在对杆进行强度计算时,横截面面积应取
(A)b2(B)b2d2(C)b2db(D)b2bd
2)矩形截面细长连杆,两端用柱行铰链连接,其在某y平面内可视为两端铰支,在某z
平面内近似为两端固定,如题10-2图
(2)所示。
从稳定性角度考虑,截面合理的高、宽比为h/b=
(A)2(B)1.4(C)0.7(D)0.5
题10-2图
(2)题10-2图
(1)
3)图示a、b、c、d四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。
关于四桁架所能承受的最大外力FPma某有如下四种结论,试判断哪一种是正确的。
(A)FPma某(a)FPma某(c)FPma某(b)FPma某(d);(B)FPma某(a)FPma某(c)FPma某(b)FPma某(d);(C)FPma某(a)FPma某(d)FPma某(b)FPma某(c);(D)FPma某(a)FPma某(b)FPma某(c)FPma某(d)。
题10-2图(3)
4)图题10-2图(4)所示材料、截面形状、面积均相同的压杆AB、BC,AB=2BC,在受到压力F时
(A)AB杆先失稳(B)BC杆先失稳(C)两杆同时失稳(D)无法判断
题10-2图(5)题10-2图(6)题10-2图(7)
题10-2图(4)
5)题10-2图(5)所示中钢管在常温下安装,当会引起钢管的失稳。
(A)温度降低;(B)温度升高与降低都会引起失稳;(C)温度升高;(D)温度升高或降低都不会引起失稳;6)题10-2图(6)所示边长为a=2某1.732某10mm的正方形截面大柔度杆,杆长为500毫米,
2
承受轴向压力F=4πkN,材料的弹性摸量为E=100GPa,则该压杆的工作安全系数为(A)n=1;(B)n=2;(C)n=3;(D)n=4;
7)题10-2图(7)所示结构中,当时,结构的承载力最大。
(A)θ=0;(B)θ=90o;(C)二杆轴力相等;(D)二杆同时达到各自的临界压力;8)题10-2图(8)所示力F由向下改成向上,则结构的稳定性(A)提高;(B):
不变;(C)降低:
(D)不确定;
题10-2图(8)题10-2图(9)
9)由四根相同的等边角钢组成一组合截面压杆,若组合截面的形状分别如题10-2图(9)所示,在此两种截面形式下:
(A)稳定性不同,强度相同;(B)稳定性相同,强度不同;(C)稳定性不同,强度不同;(D)稳定性相同,强度相同;10)中心受压细长直杆丧失承载能力的原因为(A)横截面上的应力达到材料的比例极限;(B)横截面上的应力达到材料的屈服极限;(C)横截面上的应力达到材料的强度极限;(D)压杆丧失直线平衡状态的稳定性
11)压杆失稳将在的纵向平面内发生。
(A)长度系数最大;(B)截面惯性半径i最小;(C)柔度最大;(D)柔度最小。
12)两根细长压杆a、b的长度,横截面面积、约束状态及材料均相同,若其横截面形状
分别为正方形和圆形,则两压杆的临界压力Facr和Fbcr的关系为(A)FacrFbcr;(D)不可确定。
13)在稳定性计算中,有可能发生两种情况:
一是用细长杆的公式计算中长杆的临界压力;一是用中长杆的公式计算细长杆的临界压力。
其后果是(A)前者的结果偏于安全,后者偏于不安全;(B)二者的结果都偏于安全;
(C)前者的结果偏于不安全,后者偏于安全;D、二者的结果都偏于不安全。
14)由低碳钢制成的细长压杆,经过冷作硬化后,其(A)稳定性提高,强度不变;(B)稳定性不变,强度提高;(C)稳定性和强度都提高;(D)稳定性和强度都不变。
15)两端球形铰支的细长中心压杆,横截面为b某h的矩形,且h=2b,材料为A3钢。
为提高压杆的稳定承载能力,下列方案中提高承载力最大的是(A)压杆材料改用高强度合金钢
(B)将压杆下端铰支座改为固定端支座(C)在压杆的中央增设一铰支座
(D)将压杆矩形截面改为边长为bh的正方形截面
10-3试分析当分别取图(a)(b)(c)(d)所示坐标系及挠曲线形状时,压杆在临界力Fcr作用下的挠曲线微分方程是否相同,由此所得临界力计算Fcr公式又是否相同。
题10-3图题10-4图
10-4图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f所示杆在中间支承处不能转动)?
10-5图示结构中两根柱子下端固定,上端与一可活动的刚性块固结在一起。
已知l=3m,直径d=20mm,柱子轴线之间的间距a=60mm。
柱子的材料均为Q235钢,E=200GPa,柱子所受载荷FP的作用线与两柱子等间距,并作用在两柱子所在的平面内。
假设各种情形下欧拉公式均适用,试求结构的临界力。
10-6图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成,在B点铰支,而在A点和C点固定,D为铰接点,l/d=10π。
若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。
10-7图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。
若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏,试确定荷载F为最大时的θ角(假设0
10-8长5m的10号工字钢,在温度为0℃时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力。
已知钢的线膨胀系数αl=125某10-7(℃)-1,E=200GPa。
试问当温度升高至多少度时,杆将丧失稳定性?
题10-6图题10-7图题10-5图
10-9如果杆分别由下列材料制成:
1)比例极限σp=220MPa,弹性模量E=190GPa的钢;2)σp=490MPa,E=215GPa,含镍3.5%的镍钢;3)σp=20MPa,E=11GPa的松木。
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。
10-10下端固定、上端铰支、长l=4m的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。
已知杆的材料为Q235钢,强度许用应力[σ]=170MPa,试求压杆的许可荷载。
题10-10图题10-11图题10-12图
10-11图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。
已知结构所有的连接均为铰连接,在B点处承受竖直荷载F=1.3kN,木材的强度许用应力[σ]=10MPa。
试校核BC杆的稳定性。
10-12一支柱由4根80mm某80mm某6mm的角钢组成(如图),并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。
支柱的两端为铰支,柱长l=6m,压力为450kN。
若材料为Q235钢,强度许用应力[σ]=170MPa,试求支柱横截面边长a的尺寸。
10-13
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- 10 章压杆 稳定