《二次函数的图象与性质》教案.docx
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《二次函数的图象与性质》教案
《二次函数的图象与性质》教案
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象,探究出二次函数的图象的形状;
2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性;
3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
4.通过操作、探究的过程,提高学生对知识的理解和应用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象,发展几何直观,培养学生的动手能力,掌握其操作方法和技巧;
2.通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究,理解这种形式的二次函数的特征,掌握解题的方法和技巧.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动,让学生感受数学中数形变化美,让学生感受到数学的严谨性和科学性,让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.
教学重点与难点
重点:
使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象,能概括它们的性质.
难点:
理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.
教学准备:
多媒体课件
教学过程
一、知识回顾,导入新课
问题1:
什么叫做二次函数?
生:
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
问题2:
画函数图象的主要步骤是什么?
生:
(1)列表,
(2)描点,(3)连线
问题3:
你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗?
生:
一次函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)中,当k>0时,y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小.
思考:
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么?
你想直观地了解它的性质吗?
二、探究交流,获取新知
操作:
请你画出二次函数y=x2的图象.
(1)观察y=x²的表达式,选择适当的x值,并计算相应的y值,完成下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点:
(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=x²的图象.
议一议:
对于二次函数y=x2的图象.
(1)你能描述图象的形状吗?
与同伴进行交流.
生:
抛物线
(2)图象与x轴有交点吗?
如果有,交点坐标是什么?
生:
图象与x轴有交点.交点坐标是(0,0).
(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?
当x>0时呢?
生:
当x<0时,y随x的增大而减小;
当x>0时,y随x的增大而增大.
(4)当x取什么值时,y的值最小?
最小值是什么?
你是如何知道的?
生:
当x=0时,y的值最小,最小值是0.
因为抛物线上的最低点坐标是(0,0).
(5)图象是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.
生:
图象是轴对称图形.它的对称轴是y轴.
对称点:
(-3,9)与(3,9)关于y轴对称;(-2,4)与(2,4)关于y轴对称……
师生共同总结:
1.函数y=x2的图象是一条抛物线,它的开口向上,且关于y轴对称.
2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点.
做一做:
二次函数y=-x2的图象是什么形状?
先想一想,然后作出它的图象,它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
与同伴进行交流.
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
(2)在直角坐标系中描点:
(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=-x²的图象.
议一议:
说说二次函数y=-x²的图象有哪些性质,与同伴交流.
(1)图象与x轴交于原点(0,0).
(2)y≤0.
(3)当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
(4)当x=0时,y最大值=0.
(5)图象关于y轴对称.
读一读:
让同学们自主学习课本第33页至34页“二次函数的广泛应用”.
让学生感悟到数学知识与实际问题的联系,用函数知识能解决实际生活中的很多问题.
三、知识拓展
1.画出二次函数y=2x2的图象,根据图象回答下列问题:
(1)抛物线y=2x2的开口方向是怎样的?
(2)抛物线y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少?
(3)当x为何值时,y随着x的增大而增大;当x为何值时,y随着x的增大而减小.
(4)函数y有最大值还是最小值?
为什么?
2.给出下列四个函数:
y=x,
y=-x,
y=x2,
y=
,当x<0时,y随x的增大而减小的函数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
四、自我小结,获取感悟
1.二次函数y=±x2的图象是什么形状?
2.二次函数y=±x2有哪些性质?
(1)位置与开口方向;
(2)顶点坐标与对称轴;
(3)增减性与最值.
五、布置作业
课本第34~35页:
习题2.2的第1、2题.
《二次函数的图象与性质》教案
(2)
教学目标
知识与技能
1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象,并会比较这两种二次函数的图象的不同点;
2.把握系数a、c对二次函数图象的影响,理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律;
3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
4.通过操作、探究的过程,提高学生对基础知识的理解和运用能力.
过程与方法
1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=y=ax2+c的图象,培养学生的比较、鉴别能力;
2.通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究,理解这两种形式的二次函数的性质特征.
情感、态度与价值观
经过操作、探究、总结和应用等数学活动,有趣的实际问题,使学生能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
教学重点与难点
重点:
使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象,并会进行比较异同,能根据图象概括出它们的性质特征.
难点:
正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系,能灵活运用其性质解决相关函数问题.
教学准备:
多媒体课件
教学过程
一、知识回顾,导入新课
1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象,填写下表:
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
抛物线
向上
y轴
(0,0)
y=-x2
抛物线
向下
y轴
(0,0)
2.画一画
在同一坐标系中,画出二次函数y=x2和y=2x2,
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
二、探究交流,获取新知
思考:
二次函数y=2x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x2
抛物线
向上
y轴
(0,0)
y=2x2
抛物线
向上
y轴
(0,0)
画一画:
在刚才的坐标系中再画出二次函数y=
x2的图象.
探索交流:
二次函数y=x²的图象与y=2x²、y=
x²的图象有什么相同和不同?
相同点:
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
抛物线
向上
y轴
(0,0)
y=2x2
抛物线
向上
y轴
(0,0)
y=
x2
抛物线
向上
y轴
(0,0)
不同点:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小.
做一做:
在下列平面直角坐标系中,作出y=-x2和y=-2x2的图象.
生:
动手操作画图,
思考:
它们与二次函数y=x2和y=2x2的图象又有什么异同?
生:
它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的,只是y=-x2和y=-2x2的图象开口向下.
探究:
函数y=3x2及y=-3x2的图象会有哪些特点?
点拨:
从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.
师生共同总结:
y=ax2(a≠0)的图象与性质特征,
探究:
二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同?
你是怎样想的,动手验证你的想法.
生:
学生动手操作,老师巡视,
结论:
1.二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位;
2.二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位.
共同交流:
二次函数y=-3x2+
,y=-3x2-
的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
生:
让学生总结出它们之间的关系.
思考:
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象有什么异同?
老师点拨:
y=ax2及y=ax2+c(a≠0)的图象和性质:
y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的,
当c>0时,向上平移c个单位;
当c<0时,向下平移︱c︱个单位.
函数
图象形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
抛物线
a>0向上
a<0向下
y轴
(0,0)
y=ax2+c
抛物线
a>0向上
a<0向下
y轴
(0,c)
四、随堂练习
1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是().
A.y=-(x+2)2B.y=-x2+2C.y=-x2+2D.y=-(x-2)2
2.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是()
A.3B.2C.1D.0
3.坐标平面上有一函数y=24x2-48的图象,其顶点坐标为()
A.(0,-2)B.(1,-24)C.(0,-48)D.(2,48)
4.将抛物线y=x2+1向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是________.
5.小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为
,一辆小汽车速度为100km/h,在前方80m处停放一辆故障车,此时刹车__________有危险(填“会”或“不会”).
五、自我小结,获取感悟
1.对自己说,你在本节课中学习了哪些知识点?
有何收获?
2.对同学说,你有哪些学习感悟和温馨提示?
3.对老师说,你还有哪些困惑?
六、布置作业
课本
:
习题2.3.
《二次函数的图象与性质》教案(3)
教学目标
知识与技能
1.能正确画出形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的二次函数的图象,并能理解它与y=ax2的图象的关系,理解a、h、k对二次函数图象的影响;
2.能正确地说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题;
4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的技能.
过程与方法
1.通过对二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的画法的操作,性质的探究,达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解;
2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程,培养学生的探索能力.
情感、态度与价值观
1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程,培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力,能在条理地、清晰地阐述自己的观点;
2.让学生学会与人合作,并能与他人进行交流思维的过程和结果.
教学重点与难点
重点:
使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象,理解它们与y=ax2的图象关系,理解a、h、k对二次函数图象的影响,能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,准确把握二次函数的性质特点.
难点:
理解并把握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的性质特征,并会运用性质解决相关问题.
教学准备
多媒体课件
教学过程
一、知识回顾,导入新课
问题1:
根据你所学知识回答下列各问题,
1.函数y=
x2+3的图象的顶点坐标是___________;开口方向是______;最__值是________.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_____________的图象向____平移_________个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_________________的图象.
问题2:
你会用类比法画二次函数y=2(x-1)2的图象吗?
它与y=2x2有什么异同吗?
它有哪些性质呢?
二、探究交流,获取新知
请你在同一坐标系中画出下列函数的图象:
(1)y=2x2
(2)y=2(x-1)2
完成下表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
2x2
…
…
2(x-1)2
…
…
观察上表,你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系?
生:
在同一坐标系中画出这两个函数图象,
议一议:
(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=22的图象有什么关系?
生:
二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.
(2)二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
生:
开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0)
(3)二次函数y=2(x-1)2当x取何值时,y的值随x值的增大而增大?
当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
生:
当x<1时,y的值随x值的增大而增大;当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
(4)你能发现二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗?
生:
二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.
结论:
二次函数y=2x2,y=2(x-1)2,y=2(x+1)2的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,就得到函数y=2(x-1)2的图像;将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,就得到函数y=2(x+1)2的图像.
想一想:
由二次函数y=2x2的图象,你能得二次函数y=2x2-
,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2-
的图象吗?
生:
由二次函数y=2x2的图象向下平移
个单位长度可得二次函数y=2x2-
的图象;由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象;由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度,再向下平移
个单位长度,能得二次函数y=2(x-3)2-
的图象.
归纳总结:
二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系?
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.
H<0时,图象向左平移;h>0时,图象向右平移.
k<0时,图象向下平移;k>0时,图象向上平移.
一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示:
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=a(x-h)2+k
向上(a>0)
直线x=h
(0,0)
向下(a<0)
三、随堂练习
1.回答下列问题:
(1)二次函数y=3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
它是轴对称图形吗?
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)对于二次函数y=-3(x+2)2当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?
当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?
2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是()
A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-3
3.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为_____________.
4.将抛物线y=-
x2先向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式为____________.
5.若把函数y=x的图象用E(x,x)记,函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记,…,则E(x,x2-2x+1)可以由E(x,x2)怎样平移得到()
A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位
六、自我小结,获取感悟
1.y=a(x-h)2+k的图象特征.
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
七、布置作业
课本第39页:
习题2.4.
《二次函数的图象与性质》教案(4)
教学目标
知识与技能
1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式,体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性;
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题;
3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用;
4.通过操作、探究的过程,提高学生对知识的理解和把握能力.
过程与方法
1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究,培养学生的概括能力,解决实际问题的能力;
2.通过学生的合作交流来解决函数问题,培养学生的合作交流能力.
情感、态度与价值观
1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程,掌握数学的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题;
2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点与难点
重点:
使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.
难点:
理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.
教学准备:
多媒体课件
教学过程
一、知识回顾,导入新课
问题1:
二次函数y=-2(x-3)2+5的开口_______,对称轴是_________,顶点坐标是____.当x=_________时,y有最_______值,是__________;当x___________时,y随x的增大而增大;当x___________时,y随x的增大而减小.它是由二次函数y=-2x2先向_____平移____个单位长度,再向_____平移____个单位长度得到的.
问题2:
对于二次函数y=a(x-h)2+k
(1)当a>0时,它的开口______,对称轴是___________,顶点坐标是__________________.
当x=_________时,y有最_____值是_______;当x_____时,y随x的增大而增大;当x_____时,y随x的增大而减小.
(2)当a<0时,它的开口________,对称轴是____________,顶点坐标是_________________.当x=_________时,y有最_______值是______;当x_______时,y随x的增大而增大;当x_______时,y随x的增大而减小.
问题3:
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质,你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?
二、探究交流,获取新知
请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.
解:
y=2x2-4x+5
=2(x2-2x)+5
=2(x2-2x+1-1)+5
=2(x-1)2-2+5
=2(x-1)2+3
三、例题讲解
例1:
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解析:
要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.只需将它化为y=a(x-h)2+k的形式.
解:
y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1
因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).
做一做:
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
(1)y=3x2-6x+7
(2)y=2x2-12x+8
生:
学生解答,教师巡视,发现问题即时解答.
例2:
求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
生:
指点一名学生上黑板解答,教师点拨.
解:
把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得:
y=ax2+bx+c
=a(x2+
x)+c
=a[x2+2·
x+(
)2-(
)2]+c
=a(x+
)2+
因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-
,顶点坐标为(-
,
).
点拨:
由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式
四、随堂练习
1.如图2-6所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
x2+
x+10表示,而左、右两条抛物线关于y轴对称.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标
(1)y=2x2-12x+3;
(2)y=-5x2+80x-319;
(3)y=2(x-
)(x-2);(4)y=3(2x+1)(2-x).
合作交流:
二次函数图象与系数a、b、c之间有何关系?
a决定抛物线的形状、开口方向
当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下,
越大抛物线的开口越小.
b影响对称轴的位置
当ab>0时,抛物线的对称轴在y轴的左侧;当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,当ab<0时,抛物线的对称轴在y轴的右侧.
c确定抛物线与y轴的交点位置
当c>0时,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,当c=0时,抛物线经过坐标原点,当c<0时,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上
五、挑战自我:
1.对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是()
A.图象的开口向下B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.当x>1时,y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-1
2.(2014•遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是( )
A.B.C.D.
3.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交为(0,-3),则此二次函数有()
A.最小值-2B.最小值-3C.最小值-4D.最大值-4
4.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A(-1,0),B,顶点为P,
求△PAB的面积.
六、自我小结,获取感悟
1.对自己说,你在本节课中学习了哪些知识点?
有何收获?
2.对同学说,你有哪些学习感悟和温馨提示?
3.对老师说,你还有哪些困惑?
七、布置作业
课本第41页:
习题2.5
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次函数的图象与性质 二次 函数 图象 性质 教案