系统的能控性能观测性稳定性分析.docx

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系统的能控性能观测性稳定性分析

实验报告

课程线性系统理论基础实验日期年月日

专业班级姓名学号同组人

实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分

批阅教师签字

一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。

掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析；

3、系统的最小实现。

二、实验内容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal；

（b）已知连续系统的传递函数模型，

，当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c）已知系统矩阵为

，

，

，判别系统的能控性与能观测性；

（d）求系统

的最小实现。

（2）稳定性

（a）代数法稳定性判据

已知单位反馈系统的开环传递函数为：

，试对系统闭环判别其稳定性

（b）根轨迹法判断系统稳定性

已知一个单位负反馈系统开环传递函数为

，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

（c）Bode图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

用Bode图法判断系统闭环的稳定性。

（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。

三、实验环境

1、计算机120台；

2、MATLAB6.X软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤

1、系统能控性、能观性分析

设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：

对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是能控的。

若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。

状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

输出能控性判别式为：

（2-1）

状态能控性判别式为：

（2-2）

系统状态能观测性的定义：

对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t0时刻存在ta，t0

，根据[t0,ta]上的y（t）的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。

状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：

（2-3）

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有（1-2）式所示关系。

已知系统的传递函数阵表述，求其满足（1-2）式所示关系的状态空间表达式，称为实现。

实现的方式不唯一，实现也不唯一。

其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。

五、程序源代码

1.（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal；

gram:

求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian矩阵

num=[6-0.6-0.12];

den=[1-10.250.25-0.125];

H=tf（num,den,'Ts',0.1）

Lc=gram（ss（H）,'c'）

H=6z^2-0.6z-0.12

-------------------------------------

z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125

Sampletime:

0.1seconds

Discrete-timetransferfunction.

Lc=10.76517.87693.6759-0.0000

7.876910.76517.87691.8379

3.67597.876910.76513.9385

-0.00001.83793.93852.6913

Ctrb：

计算矩阵可控性

A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5]

B=[69;46;44;84];

Tc=ctrb（A,B）;

rank（Tc）

A=-2.2000-0.70001.5000-1.0000

0.2000-6.30006.0000-1.5000

0.6000-0.9000-2.0000-0.5000

1.4000-0.1000-1.0000-3.5000

ans=

3

Obsv:

计算可观察性矩阵

A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5]

B=[69;46;44;84];

C=[1234];

Qo=obsv（A,C）;

Ro=rank（Qo）

A=-2.2000-0.70001.5000-1.0000

0.2000-6.30006.0000-1.5000

0.6000-0.9000-2.0000-0.5000

1.4000-0.1000-1.0000-3.5000

Ro=

4

Lyap:

解lyapunov方程

A=[00-6;10-11;01-6];

B=[123;456;780];

X=lyap（A,B）

X=

-3.2833-3.9000-0.1167

-5.5000-8.6500-0.4000

0.2833-0.0000-0.0333

Ctrbf:

对线性系统进行能控性分解

A=[00-6;10-11;01-6];

B=[3;1;0];

C=[001];

[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf（A,B,C）

Abar=

-3.00000.0000-0.0000

9.4868-3.30000.9539

8.6189-3.13440.3000

Bbar=

-0.0000

-0.0000

3.1623

Cbar=-0.94350.33150

T=-0.10480.3145-0.9435

-0.29830.89500.3315

0.94870.31620

K=

110

Obsvf:

对线性系统进行能观性分解

A=[-21;1-2];

B=[1;0];

C=[1-1];

[AO,BO,CO,T,K]=obsvf（A,B,C）

AO=-1.00000

0.0000-3.0000

BO=0.7071

0.7071

CO=01.4142

T=0.70710.7071

0.7071-0.7071

K=

10

Minreal最小实现

num=[11];

den=[1520];

sys=tf（num,den）

[ABCD]=tf2ss（num,den）

sys=ss（A,B,C,D）;

sysr=minreal（sys）

sys=

s+1

--------------

s^2+5s+20

Continuous-timetransferfunction.

A=-5-20

10

B=

1

0

C=

11

D=

0

sysr=

a=x1x2

x1-5-20

x210

b=u1

x11

x20

c=x1x2

y111

d=u1

y10

Continuous-timestate-spacemodel.

（b）已知连续系统的传递函数模型，

，当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

a=-1

num=[1,-1];

den=[1,10,27,18];

[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）

n=length（a）

Qc=ctrb（a,b）

nc=rank（Qc）

ifn==nc,disp（'系统可控'）,

elsedisp（'系统不可控'）,end

Qo=obsv（a,c）

no=rank（Qo）

ifn==no,disp（'系统可观'）,

elsedisp（'系统不可观'）,end

a=0

num=[1,0];

den=[1,10,27,18];

[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）

n=length（a）

Qc=ctrb（a,b）

nc=rank（Qc）

ifn==nc,disp（'系统可控'）,

elsedisp（'系统不可控'）,end

Qo=obsv（a,c）

no=rank（Qo）

ifn==no,disp（'系统可观'）,

elsedisp（'系统不可观'）,end

a=1

num=[1,1];

den=[1,10,27,18];

[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）

n=length（a）

Qc=ctrb（a,b）

nc=rank（Qc）

ifn==nc,disp（'系统可控'）,

elsedisp（'系统不可控'）,end

Qo=obsv（a,c）

no=rank（Qo）

ifn==no,disp（'系统可观'）,

elsedisp（'系统不可观'）,end

矩阵为

，

，

，判别系统的能控性与能观测性；

a=[6.666-10.6667-0.3333;101;012];

b=[0;1;1];

c=[102];

d=0;

n=length（a）

Qc=ctrb（a,b）

nc=rank（Qc）

ifn==nc,disp（'系统可控'）,

elsedisp（'系统不可控'）,end

Qo=obsv（a,c）

no=rank（Qo）

ifn==no,disp（'系统可观'）,

elsedisp（'系统不可观'）,end

（d）求系统

的最小实现。

num=[11];

den=[1102718];

G=tf（num,den）;

Gs=ss（G）;

Gm=minreal（Gs）;

Am=Gm.a

Bm=Gm.b

Cm=Gm.c

Dm=Gm.d

1stateremoved.

Am=

3.5391-12.1540

5.1323-12.5391

Bm=

0.0606

-0.2425

Cm=

0.25000.0625

Dm=

0

（2）稳定性

（a）代数法稳定性判据

已知单位反馈系统的开环传递函数为：

，试对系统闭环判别其稳定性

num=[00100200];

den=[121200];

[z,p,k]=tf2zp（num,den）

z=

-2

p=

0

-20

-1

k=

100

（b）根轨迹法判断系统稳定性

已知一个单位负反馈系统开环传递函数为

，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

n1=[1,3];

d1=conv（[1,0],conv（[1,5],conv（[1,6],[1,2,2]）））;

s1=tf（n1,d1）;

rlocus（s1）;

[k,poles]=rlocfind（s1）

（c）Bode图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

用Bode图法判断系统闭环的稳定性。

G1（s）

num=2.7;

den=[1,5,4,0];

w=logspace（-1,2,47）;

[mag,pha]=bode（num,den,w）;

magdB=20*log10（mag）;

subplot（211）;

semilogx（w,magdB）;

gridon;

title（'BodeDiagram'）;

xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;

ylabel（'GaindB'）;

subplot（212）;

semilogx（w,pha）;

gridon;

xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;

ylabel（'phasedeg'）

G2（s）

num=2.7;

den=[1,5,-4,0];

w=logspace（-1,2,47）;

[mag,pha]=bode（num,den,w）;

magdB=20*log10（mag）;

subplot（211）;

semilogx（w,magdB）;

gridon;

title（'BodeDiagram'）;

xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;

ylabel（'GaindB'）;

subplot（212）;

semilogx（w,pha）;

gridon;

xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;

ylabel（'phasedeg'）

（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。

A=[010;001;2500-5];

B=[0;0;10];

C=[-2550];

D=0;

[z,p,k]=ss2zp（A,B,C,D）

六、实验数据、结果分析

（b）a=-1

a=

-10-27-18

100

010

b=

1

0

0

c=

01-1

d=

0

n=

3

Qc=

1-1073

01-10

001

nc=

3

系统可控

Qo=

01-1

1-10

-11-27-18

no=

3

系统可观

a=0

a=

-10-27-18

100

010

b=

1

0

0

c=

010

d=

0

n=

3

Qc=

1-1073

01-10

001

nc=

3

系统可控

Qo=

010

100

-10-27-18

no=

3

系统可观

a=1

a=

-10-27-18

100

010

b=

1

0

0

c=

011

d=

0

n=

3

Qc=

1-1073

01-10

001

nc=

3

系统可控

Qo=

011

110

-9-27-18

no=

2

（c）已知系统矩阵为

，

，

，判别系统的能控性与能观测性；

n=

3

Qc=

0-11.0000-84.9926

1.00001.0000-8.0000

1.00003.00007.0000

nc=

3

系统可控

Qo=

1.000002.0000

6.6660-8.66673.6667

35.7689-67.4375-3.5551

no=

3

系统可观

（d）求系统

的最小实现。

Am=

3.5391-12.1540

5.1323-12.5391

Bm=

0.0606

-0.2425

Cm=

0.25000.0625

Dm=

0

（2）稳定性

（a）代数法稳定性判据

z=

-2

p=

0

-20

-1

k=

100

（b）根轨迹法判断系统稳定性

selected_point=

-7.7666+4.5820i

k=

selected_point=

2.4076e+03

poles=

-7.8112+4.5449i

-7.8112-4.5449i

2.7927+4.6955i

2.7927-4.6955i

-2.9630+0.0000i

（c）Bode图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

用Bode图法判断系统闭环的稳定性。

G1（s）

G2（s）

（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。

z=

5.0000

p=

5.0000

-5.0000+5.0000i

-5.0000-5.0000i

k=

50.0000

[P,D]=eig（A）

P=

0.0392-0.0000-0.0198i-0.0000+0.0198i

0.19600.0990+0.0990i0.0990-0.0990i

0.9798-0.9900-0.9900

D=

5.000000

0-5.0000+5.0000i0

00-5.0000-5.0000i