高等代数作业.docx

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高等代数作业

高等代数专题研究〞是中央播送电视大学数学与应用数学专业本科的一门必修课程。

　　该课程是针对中央播送电视大学数学与应用数学专业的学生开设的。

它将已学过的代数知识〔数的本质认识，数的开展历史，不等式、多项式理论、因式分解、初等排列组合和多项式的求根等〕直接用到中学数学的教学与研究中。

　　本门课程的主要任务是,一方面使学生加深对代数学的理解，另一方面使学生从高等数学和高等代数的观点出发，对初等数学进展深化的研究，并可以建立起初等数学的严格的科学体系，有利于更好地进展初等数学的教学。

Ⅰ.关于课程考核说明与施行要求

　　1.“高等代数专题研究〞是中央播送电视大学本科开放教育数学与应用数学专业学生必修的一门专业根底课程。

通过本课程的学习，使学生掌握代数学的根本概念和根本原理，进一步进步抽象思维和逻辑推理的才能。

课程的结业考核合格水准应到达高等学校该专业本科教育的要求。

　　本考核说明是以本课程的教学大纲和指定的参考教材?

高等代数专题研究?

（王仁发主编中央播送电视大学出版社出版）为根据制定的。

　　2.考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解、理解和知道；有关方法、公式和法那么等的要求从高到低为纯熟掌握，掌握和会。

　　3.本课程的结业考核实行形成性考核和期末考试相结合的方式。

结业考核成绩总分值100分，其中形成性考核成绩占20%,期末考试成绩占80%。

结业考核成绩满60分为合格。

　　4．关于形成性考核的说明

　　形成性考核由平时作业成绩构成，根据教学进度，及时完成作业。

作业的内容和要求以及评定请参考播送电视大学“高等代数专题研究课程教学设计方案〞

　　终结性考试实行全国统一考试，根据本课程考核说明，由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间。

考试的组织施行和试卷的评定，由有关的各省、自治区和直辖市完成。

（1）终结性考试的内容和要求以本考核说明为准，要求考核根本概念、根本原理和根本运算。

命题覆盖面可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当。

（2）考试形式：

闭卷笔试，试卷总分值100分。

　　（3）考试时间：

90分钟。

　　（4）试题类型及分数：

单项选择题和填空题，分数约占30％。

解答题（含简答题、化简题或计算题等），分数约占60％；证明题，分数约占10％。

单项选择题和填空题主要涉及根本概念、根本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。

单项选择题给出四个备选答案，其一正确。

填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。

解答题主要考核学生的根本运算技能和速度，要求写出解答的理由或计算推导过程。

证明题主要考察应用概念、性质、定理及重要结论进展逻辑推理的才能，要求写出推理过程。

　　（5）试卷题目难度分布，易、中、难的题目在试卷中分配比例为4：

4：

2。

　　考试时不得携带除书写用具以外的任何工具。

第一章代数运算与自然数

　　考核知识点

　　集合及其运算

　　映射与函数，映射的合成与逆映射

　　置换，复合函数与反函数

　　代数运算及性质，代数体系，同态与同构

　　自然数的定义及其运算

　　归纳法原理

　　考核要求：

　　1.纯熟掌握集合的定义及其表示方法，集合与元素、集合与集合的关系以及集合的运算。

　　2.理解映射的定义，映射相等和映射的主要性质。

纯熟掌握映射的合成和求逆映射的方法。

理解置换、轮换和对换等概念。

　　3.理解代数运算与代数体系的概念，以及代数运算的结合律、交换律和分配律等性质。

知道代数系统同态和同构的概念。

　　4.理解自然数的定义，掌握自然数的运算。

第二章不等式

　　考核知识点：

　　不等式的定义和性质，解不等式

　　柯西不等式，赫勒德尔不等式，明可夫斯基不等式

　　凸函数的定义及其应用，常用不等式

　　考核要求

　　1.理解不等式的定义和主要性质，纯熟掌握常用解不等式和不等式的证明方法。

　　2.掌握柯西不等式的两种证明方法。

　　3.理解赫勒德尔与明可夫斯基不等式及其证明方法。

　　4.理解凸函数的定义和性质，掌握它的某些应用。

第三章多项式与环

　　考核知识点：

　　环的定义及其分类，整环的定义和性质

　　素元素、不可约元素和相伴元素的定义与区别

　　多项式的代数定义与分析定义

　　代数学根本定理与多项式根的求法

　　因式分解

　　多项式的根的估计

　　重因式判别法

　　考核要求：

　　1.理解环、交换环的定义，知道环的分类和子环定义。

　　2.理解整环的概念，知道理想、可逆元素的定义。

　　3.掌握素元素、不可约元素和相伴元素的定义及其区别。

　　4.纯熟掌握整系数多项式因式分解的方法。

　　5.理解多项式的代数定义和分析定义的异同。

　　6.知道代数根本定理，并会进展证明。

　　7.纯熟掌握一元三次和四次多项式根的求法，以及多项式零点的估计方法。

　　8.理解重因式和单因式定义，掌握其判别法。

第四章排列与组合

　　考核知识点：

　　加法原理、乘法原理

　　初等排列组合，可重复的排列与组合

　　模型与公式

　　筛法原理

　　分部与逆推公式

　　抽屉原理

　　考核要求：

　　1.理解加法原理和乘法原理。

纯熟掌握初等排列和组合。

　　2.掌握可重复排列与组合。

理解排列组合模型，纯熟掌握排列组合公式。

　　3.理解筛法原理，掌握其初等证明方法及其简单应用。

　　4.知道分部概念，会求正整数方程n=x1+x2+…+xk的有序解和无序解。

理解递推公式原理、扰乱排列、积和式、母函数等的概念。

　　5.知道抽屉原理的简单形式，会简单应用。

知道抽屉原理的一般形式。

　　一、单项选择题

　　1．自然数集是〔〕（易）

　　（A）空集〔B〕有限集（C）可列集（D）无限不可列集

　　选项〔C〕正确，将C填入题中括号内。

a,b是任意实数，且a>b，那么以下各式成立的是（）。

（中）

　　（A）a2>b2〔B〕

（C）

（D）

　　选项（D）正确，将D填入题中括号内。

g（x）被3x+2除所得的余数是（）。

（难）

　　（A）

〔B〕g

（2）（C）g（－2）（D）

　　选项〔A〕正确，将A填入题中括号内。

　　二、填空题

取等号的条件是。

（易）

　　在横线上填写答案“ab£0〞。

　　2.Z3[x]中的全部可逆元素是。

（中）

　　在横线上填写答案“`1，`2〞。

A,B是两个集合，假设½A½＝m，½B½＝n，那么A到B的映射的个数是。

（难）

　　在横线上填写答案“

〞。

　　三、简答题

　　1.求整数6的有序不重复分部，即6=x1+x2+…+xk的不重复有序解。

（易）

　　答6＝2＋4＝4＋2＝1＋5＝5＋1＝6

x,y，定义乘法*为：

x*y=x。

问整数集Z对普通数的加法和上述乘法是否构成环：

为什么？

（中）

　　答乘法*对加法＋不满足左分配律，故{Z，+，*}不是环。

　　四、计算题

　　1.在边长为1的等边三角形中随机投放5个点，试说明必有2个点的间隔不大于

。

（易）

　　解作三角形割边中点的连线，将等边三角形等分成四个相等的边长为

的小等边三角形。

放入5个点，那么必有一个小三角形内有两个点，它们的间隔不超过

。

f（x）＝3x3－2x2+9x+6的全部有理根，并在Z[x]中分解之。

（中）

　　解易知f（x）的有理根只能是±1，±2，±3，

。

由于f（x）的奇次项系数为正数，偶次项系数为负数，可能的有理根只能是1，2，3，

。

　　验证得知，

是f（x）的有理根。

于是有

　　3.求集合{a,b,…,e，f}的全排列中，abc和ef均不出现的全排列个数。

（难）

　　解令S是集合A中所有全排列的集合，那么½S½＝6！

。

　　P1是在S中出现排列abc的集合，那么½P1½＝4！

。

　　P2是在S中出现排列ef的集合，那么½P2½＝5！

。

　　abc和ef均不出现，即为

，由筛法原理

　　因为P1ÇP2的一个排列，即为{abc,d,ef}的排列，

　　故所求为½P1ÇP2½＝4！

　　＝6！

－4！

－5！

＋4！

＝5×5!

　　五、证明题

　　1．设f是集合A到B的映射，g,h是集合B到C的映射。

证明；假设gf=hf，f是满射，那么g=h。

（易）

　　证明任给yÎB，存在xÎA，使得y=f（x），于是

　　g（y）=g（f（x））=gf（x）=hf（x）=h（f（x））=h（y）

　　故g=h。

f（x）是一个整系数多项式，证明：

假设有一个偶数a与一个奇数b，使得f（a）与f（b）都是奇数，那么f（x）无整数解。

（中）

　　证明用反证法。

设c是f（x）的整数根，那么

　　f（x）=（x－c）g（x）

　　其中g（x）是整系数多项式。

于是

　　f（a）=（a－c）g（a）f（b）=（b－c）g（b）

　　由f（a）与f（b）都是奇数知，a－c与b－c都是奇数，故a与b奇偶性一样，与矛盾。

可见f（x）无整数根。

　　3.a,b,m,nÎR，且a2+b2=1，m2+n2=1，求证½am+bn½£1。

（难）

　　证明方法1，比拟法。

　　先证①。

因为

　　所以，

。

　　再证②。

因为

　　所以

。

　　方法2，分析法。

　　故原式成立。

　　方法3，综合法。

因为a,b,m,nÎR,所以

　　所以

Ⅳ高等代数专题研究样题

　　一、单项选择题（每题3分，此题共15分）

f（x）满足条件：

对任意x1与x2，有

，

　　其中（），那么称f（x）是上凸函数．

　　（A）

　　　　　　（B）　

且

　　（C）

且

（D）

且

　　2.以下环中是非交换环的为（）

　　（A）整数环Z（B）剩余类环Z5

　　（C）n阶方阵环（D）高斯整数环Z[i]={a+bi½a,b为整数}

Z8的一个真零因子是（）．

　　（A）

（B）

（C）　

（D）

　　4.一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张．从中任取一张，那么不同取法有（）种．

　　（A）52（B）4（C）134（D）413

r个不可区分的小球投入n个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球（n³r），假设计算有多少种不同投球方式，应该用（）．

　　（A）允许重复组合数公式（B）不重复组合数公式

　　（C）允许重复排列数公式（D）不重复排列数公式

　　二、填空题（每题3分，此题共15分）

a1,a2,…,a5是正实数，可构造两组正实数列和．

　　用柯西不等式证明

．

　　7.假设（a,b）~1，那么（a,a+b）~　　　．

上含有无穷多个不同元素的，设多项式为f（x）=anxn+an－1xn－1+…+a0和g（x）=bnxn+bn－1xn－1+…+b0，那么从代数学的观点，假如　　　　，那么称f（x）=g（x）．

　　9.　p是有理数域上的超越元，是因为p不是　　　　　　　　　　　多项式的根．

＝　　　　　　　　．

　　三、计算题（每题15，此题共60分）

A={Æ，a，{a},b}，求P（A）．

x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6。

求f（x,y,z）=xyz的极大值．

f（x）=

的重因式．

　　12.试求多项式（x1+x2+x3+x4+x5）10展开合并同类项后的项数以及

的系数．

　　四、证明题（此题10分）

是实数集，

是正实数集，任给

的元素x,令映射

　　s（x）＝

　　证明s是

到

的双射．

高等代数专题研究样题参考答案

　　一、单项选择题（每题3分，此题共15分）

　　1.B．2.C．3.D．4.A．5.B．

　　二、填空题（每题3分，此题共15分）

　　6.

，

．7.1．8.ak=bk（k=0,1,2,…,n）．

　　9.　任何有理系数．10.

．

　　三、计算题（每题15，此题共60分）

　　9.　由幂集合的定义，

　　P（A）={Æ,{Æ},{a},{{a}},{b},

　　{Æ,a},{Æ,{a}},{Æ,b},{a,{a}},{a,b},{{a},b}

　　{Æ,a,{a}},{Æ,a,b},{Æ,{a},b},{a,{a},b}　　　　

　　{Æ,a,{a},b}}　　　　　　　　　　　　　　　　

　　x+2y+5z³

　　当x=2y=5z时，得x=2,y=1,z=

时，xyz的极大值是

．

　　11.　只要求出f（x）与f¢（x）的公因式即可．

　　而　

，有

　　（f（x）,f¢（x））~（x－1）

　　所以x－1是f（x）的二重因式．

　　12.　所求项数为

的系数为

　　四、证明题（此题10分）

　　13.　由对数函数的定义域和函数值，知s（x）＝

是

到

的映射．

（1）任给

的两个元素x1,x2且x1¹x2，由对数函数的严格单调性，有

　　这说明s（x）＝

是单射．

（2）任给

的元素y，那么存在

属于

，那么有

　　s（x）=

　　这说明s（x）＝

是满射．

　　总之，s是

到

的双射．

高等代数专题研究课程

高等代数专题研究课程作业（本学期作业共分四次）．

第一次作业：

1.下面命题是否正确？

（1）假设A≠B，B≠C，那么A≠C；

2.设s是整数集合Z到Z的映射，

s（n）＝3n

求证：

存在一个t：

Z→Z，使得ts＝IZ；但不存在t：

Z→Z，使得st＝IZ．

3.假设集合A＝{－1，0，1}，s是A×A→B的映射，且满足

s

求Im（s），并求出从A到Im（s）共有多少不同的映射．

4.设

s＝

t＝

求st，ts，s2t．

5.试给出从整数集合Z到自然数集合N的满足以下条件的映射各一个：

（1）是单射但不是满射；

（2）是满射但不是单射；

（3）既不是单射也不是满射；

（4）双射．

6.假设R是实数集合，对R中任意两个数a与b，令a°b=a+b－a×b，求证代数体系{R,°}满足结合律．

7.在代数体系{R，×}（R为实数集合，×t?

普通乘法）中，下面映射是否为{R，×}到{R，×}的同态？

9.求证：

10.求证：

第二次作业：

1.解不等式

2.设x1,x2,…,xn都是正数，求证

3.求证：

4.设a1,a2,…,an是n个正数，且为等差数列，求证

5.设0

其中q1+q2+…+qn=1，q1,q2,…,qn>0.

6.假设x,y,z为非负实数，且满足9x2+12y2+5z2=9，求函数f=3x+6y+5z的极大值.

7.设x1+x2+…+xn=1，求

的最小值.

8.a1,a2,…,an是n个正数，且满足a1×a2×…×an=1，求证

（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n。

高等代数专题研究课程第三次作业：

1.求证：

整环R中的两个元素a和b相伴的充分必要条件是（a）=（b）．

2.求证：

整环R中元素u是可逆元素的充分必要条件是（u）=R或者u能整除R中的一切元素．

3.令

R＝{

}

求证：

（1）R关于数的加法和乘法构成环；

（2）找出R中的一切单位元素；

（3）找出R中的不可约元素．

4.设R是因式分解惟一环，

．

5.找出高斯环Z[i]＝

中的一切可逆元素．

6.设是R因式分解唯一环，f1（x）和g1（x）是R上两个本原多项式，证明：

假如f（x）=af1（x），g（x）=bg2（x），

．

7.求出Z12上多项式

在Z12的根．

8.实系数多项式有一个根a，那么

也是此多项式的根．

9.求以下方程的根：

（1）

;

（2）

．

10.判断以下多项式有无重因式？

第四次作业：

1.停车场内有m辆不同的大卡车与n辆小轿车，停放在一排.假如小轿车必须停放在一起，一共有多少种停放方法？

2.把4个一样的黑球和3个一样的白球摆成一排，有多少种不同摆法？

3.把10个儿童分成二组（每组5人），每组围成一个圆圈，有多少种不同围法？

4.展开多项式（a+b+c+d+e+f）5并合并同类项，共有多少项？

5.某人从楼下到楼上要走11个台阶，每步可走一级或二级，问有多少种不同走法、

6.求证：

7.求证

8.n对夫妻在一起跳交际舞，问刚好有k对夫妻为舞伴的方法有多少种？

9.求不大于1000且能被5，7，11整除的自然数个数.

10.某校举行三个单项体育比赛，工程为百米，跳高和铅球.参加百米、跳高和铅球的人数分别为125，124和130；参加百米和跳高两项的人数为5人，参加百米和铅球两项的人数为12，参加铅球和跳高两项的人数为14人；三项都参加的为5人.求

（1）只参加百米比赛的有多少人？

（2）只参加两项比赛的有多少人？

（3）至少参加一项比赛的人数是多少？