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内蒙古包头市届高三第一次模拟考试理科数学试题含答案解析

内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试理科数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．设

，则复数

对应的点在（       ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．已知集合

，

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

3．已知命题

，

；命题

，

，则下列命题中为真命题的是（       ）

A．

B．

C．

D．

4．设函数

，则下列函数中为奇函数的是（       ）

A．

B．

C．

D．

5．在正四棱柱

中，已知

，

，R为BD的中点，则直线

与

所成角的正弦值为（       ）

A．

B．

C．

D．

6．将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（       ）

A．2400种B．1800种C．1200种D．1600种

7．把函数

图象上所有点的横坐标伸长到原来的

倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移

个单位长度，得到函数

的图象，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

8．在区间

和

中各随机取1个数x和y，则

的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

9．已知

为数列

的前n项积，若

，则数列

的前n项和

（       ）

A．

B．

C．

D．

10．设

，若

为函数

的极小值点，则（       ）

A．

B．

C．

D．

11．设P是椭圆

的下顶点，若C上存在点Q满足

，则C的离心率的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

12．设

，

，

，则（       ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．已知向量

，

，若

，则

___________.

14．已知双曲线

的焦点到它的渐近线的距离为

，则C的离心率为______．

15．记

为数列

的前n项和.若

，

，则

___________.

16．在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题

17．某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y（单位：

元）与印刷数量x（单位：

千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.

5

3.5

0.2

2

30

0.7

7

表中

，

.

（1）根据散点图判断：

与

哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？

（只要求给出判断，不必说明理由）

（2）根据

（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；

（3）若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元（假设能够全部售出）.

附：

对于一组数据

，

，…，

，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

，

.

18．如图所示，经过村庄B有两条夹角为

的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求

（单位：

千米）.

（1）若

，求

的值（保留根号）；

（2）若设

，当

为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取

）

19．如图，四棱锥

的底面是长方形，

底面

，

，

，

，

．

（1）证明：

平面

平面

；

（2）求直线

与平面

所成角的正弦值．

20．设函数

，已知

是函

的极值点．

（1）求m；

（2）设函数

．证明：

．

21．已知抛物线

的焦点为F，且F与圆

上点的距离的最大值为8．

（1）求抛物线M的方程；

（2）若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点（A在B的上方），求

面积的最小值．

22．在直角坐标系

中，

的圆心为

，半径为1.

（1）写出⊙M的一个参数方程；

（2）直线

与⊙M相切，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A､B两点，若

与两坐标轴所围成的三角形OAB的面积为6，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线

的极坐标方程.

23．已知函数

.

（1）当a=1时，求不等式

的解集；

（2）若

，求a的取值范围.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

设

，根据复数相等以及复数的运算求出

、

，利用复数的几何意义可出结论.

【详解】

设

，则

，

所以，

，故

，

，则

，

因此，复数

在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：

D.

2．A

【解析】

【分析】

利用交集的定义可求得结果.

【详解】

因为

和

的最小公倍数为

，故

.

故选：

A.

3．B

【解析】

【分析】

先判定命题

和

的真假，再结合复合命题的真假判定方法，即可求解.

【详解】

当

，可得

，所以命题“

，

”为假命题，

则

为真命题；

当

时，可得

，所以命题“

，

”为真命题，

为假命题，

所以命题“

”，“

”，“

”为假命题，“

”为真命题.

故选：

B.

4．A

【解析】

【分析】

将题干解析式代入选项，利用奇函数定义判断即可

【详解】

由题进行化简：

A：

令

，符合定义，故A正确；

B：

令

，故B错误；

C；令

，

，故C错误；

D：

令

，

，故D错误.

故选：

A

5．D

【解析】

【分析】

根据

，得到

是直线

与

所成的角，再利用余弦定理求解.

【详解】

解：

如图所示：

因为

，

所以

是直线

与

所成的角，

又

，

，

所以

，

所以

，

所以

，

故选：

D

6．B

【解析】

【分析】

将6名教师分组，只有一种分法，即1,1,1,1,2，然后按照分组组合的方式即可.

【详解】

将6名教师分组，只有一种分法，即1,1,1,1,2，共有

，

再排列得

，

故选：

B.

7．C

【解析】

【分析】

利用三角函数图象变换原则可得出函数

的解析式.

【详解】

由题意可知，将函数

的图象先向右平移

个单位长度，得到函数

的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的

，纵坐标不变，可得到函数

的图象.

故选：

C.

8．C

【解析】

【分析】

由题意可得所有可能性

在正方形

中，而满足

的点在图中的阴影部分，所以利用几何概型的概率公式求解即可

【详解】

在区间

和

中各随机取1个数x和y，所有可能性

在正方形

中，

令

，即

，

当

时，

，当

时，

，

令

，即

，

当

时，

，当

时，

，

所以

因为满足

的点

在如图所示的阴影部分，

所以所求概率为

故选：

C

9．D

【解析】

【分析】

先将等式化为

的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出

，由等差数列前

项和公式可得结果.

【详解】

当n=1时，

；

当

时，

，

于是

是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以

.

所以

，

故选：

D.

10．C

【解析】

【分析】

对函数

求导后，根据导数的性质判断即可.

【详解】

，

若

，

是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，

必有

，即

，

若

，

是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，

必有

，即

；

故选：

C.

11．A

【解析】

【分析】

依题意可得点

的坐标为

，设

，则

，再根据两点距离公式得到

，根据二次函数的性质计算可得；

【详解】

解：

点

的坐标为

，设

，则

，

，

故

，

，

，

又对称轴

，

当

时，即

时，

则当

时，

最大，此时

，不满足题意，

当

时，即

时，

则当

时，

最大，此时

，

则

，即

，

，此时只需

，即

，

因为

，即

，则

，即

，所以

所以

，

又

，

故

的范围为

，

综上所述的

的范围为

，

故选：

A

12．D

【解析】

【分析】

利用对数函数的单调性可得出

、

的大小关系，利用函数

在

上的单调性可得出

、

的大小关系，由此可得出合适的选项.

【详解】

因为

，则

，

构造函数

，其中

，

当

时，

，则

，

则

，

所以，函数

在

上为减函数，即

，

即

，即

，所以

.

故选：

D.

13．

##

【解析】

【分析】

根据向量坐标的加法运算，可得

的坐标，再根据

，所以

，再根据数量积的坐标运算，建立方程，即可求出结果.

【详解】

因为向量

，

，所以

，

又

，所以

，

所以

.

故答案为：

.

14．

【解析】

【分析】

求出双曲线的焦点到条渐近线的距离，可得

，求出

，即可求出双曲线的离心率．

【详解】

根据条件可得

，

，则

，焦点坐标为

渐近线方程为

，

故焦点到渐近线距离

，

故

，

所以离心率

，

故答案为：

15．62

【解析】

【分析】

因为

，令

，则

，可以判断出

为等比数列，即可求出答案.

【详解】

因为

，令

，则

，所以

是首相和公比都为

的等比数列，

，则

，所以

.

故答案为：

62.

16．④⑤##⑤④

【解析】

【分析】

根据正视图，结合题意，作出几何体直观图，由此再判断，即可得到结果.

【详解】

根据题意，在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图①是正视图，则几何体若如图下图

（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次④⑤；

几何体若如图下图

（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次⑤④；

             图

（1）                                                  图

（2）

故答案为：

④⑤（或⑤④）.

17．

（1）

（2）

（3）12000册

【解析】

【分析】

（1）根据散点图即可得出答案；

（2）令

，根据题中数据求出y关于u的线性回归方程，从而可得出答案；

（3）假设印刷x千册，依据题意得

，解之即可的解.

（1）

解：

由散点图判断

更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程.

（2）

解：

令

，先建立y关于u的线性回归方程，

由于

，故

，

所以y关于u的线性回归方程为

，

从而y关于x的回归方程为

；

（3）

解：

假设印刷x千册，依据题意得

，解得x≥12，

所以至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元.

18．

（1）

（2）

，

千米

【解析】

【分析】

（1）若

，得到

，在等边

中，得到

，分别在直角

中，求得

，再在直角

中，求得

的长；

（2）若

，在

中，利用正弦定理求得

，在

中，利用余弦定理求得

，进而求得

最大值，即可求解.

（1）

解：

若

，又由

，所以此时

，

又因为

为边长为3的等边三角形，所以

，

在直角

中，因为

，所以

，

在直角

中，可得

.

（2）

解：

若

，在

中，

，所以

，

在

中，

，其中

，

所以

，

即

，

当且仅当

时，即

时，

取得最大值27，

此时

（千米），

所以当

时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，

此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.

19．

（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）证明出

，结合

以及线面垂直的判定定理可得出

平面

，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点

为坐标原点，

、

、

所在直线分别为

、

、

轴建立空间直角坐标系，设

，利用

求出

的值，然后空间向量法可求得直线

与平面

所成角的正弦值.

（1）

证明：

因为

平面

，

平面

，则

，

因为

，

，

平面

，

因为

平面

，因此，平面

平面

.

（2）

解：

因为

底面

，四边形

为长方形，

以点

为坐标原点，

、

、

所在直线分别为

、

、

轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设

，则

、

、

、

，

所以

，

，

因为

，所以

，得

，所以

．

因为，

、

、

、

，

所以

，

，

，

设平面

的法向量为

，则

，即

，

令

，则

，

设

与平面

所成角为

，则

．

所以

与平面

所成角的正弦值为

．

20．

（1）0

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据所给的条件即可；

（2）对于

必须考虑定义域，将原不等式转化为容易计算的形式.

（1）

由题意可知，

，

则

，

因为

是函数

的极值点，所以

，

所以

，故

；经检验成立

（2）

由

（1）得

，

，

设

，则

，

当

时，

，即

，所以

在区间

单调递增；

当

时，

，即

，所以

在区间

单调递减，

因此当

时，

，

考虑

的定义域，即当

时，同时还要求

，

即要求

，故

的定义域为

且

，

要证

，因为

，所以只需证

，

即需证

，

令

，则

且

，则只需证

，

即证

，

令

，则

，所以

在区间

上单调递减，

在区间

上单调递增，所以

，即

成立；

综上，

，证明见解析.

21．

（1）

（2）16

【解析】

【分析】

（1）根据条件确定F与圆

上点的距离的最大值为

，从而求得

，可得答案;

（2）设点

，

，联立方程，根据根与系数的关系式，求出弦长

，再利用导数表示出QA，QB的方程，进而表示出点Q的坐标，求出点Q到直线AB的距离，从而表示出

，结合二次函数的知识可求得答案.

（1）

由题意知

，

，圆C的半径为

，所以

，

即

，解得

，所以抛物线M的方程为

．

（2）

设

，

，

直线AB的方程为

，联立方程组

，

消去x，得

，

则

，

，

．

所以

，

因为

，所以

或

，则

或

，

所以切线QA的斜率为

，其方程为

，即

，

同理切线QB的斜率为

，其方程为

．

联立方程组

解得

即点Q的坐标为

，

因为点Q在圆C上，所以

，且

，

，

即

，

．满足判别式的条件．

点Q到直线AB的距离为

，所以

，

又由

，得

，

令

，则

，且

，

因为

在区间

上单调递增，所以当

时，t取得最小值4，

此时

，所以

面积的最小值为16．

【点睛】

本题考查了抛物线方程的求法以及和直线的位置关系中的三角形面积问题，综合性较强，解答时要有清晰的解答思路，即明确问题的解决是要一步步向表示出三角形QAB的面积靠拢，难点在于繁杂的计算，要十分细心.

22．

（1）

（

为参数）

（2）

或

【解析】

【分析】

（1）求出圆的标准方程后可得圆的参数方程.

（2）先求出直线的直角方程，利用公式可求其极坐标方程.

（1）

由题意可知，

的标准方程为

，

所以

的参数方程为

（

为参数）.

（2）

由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0，

因为圆心

到直线

的距离为1，所以

，

化简得

，

又

，

，所以

，即

由题意可知，k<0，b>0，故

，

联立方程组

，解得

，

所以直线l的直角坐标方程为

，或

，

所以直线l的极坐标方程为

或

.

23．

（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）分类讨论去绝对值符号，然后解不等式.

（2）由三角不等式求得

，要使

，只需

，即可求出答案.

（1）

当a=1时，

，

故

，即

，

当x≤-1时，得5<-2x+3≤7，解得-2≤x<-1；

当-1

当x>4时，得5<2x-3≤7，解得4

综上，原不等式的解集为

.

（2）

，

当x的值在-a与4之间（包括两个端点）时取等号，

若

，则只需

，

当a≤0时，

，恒成立；

当a>0时，

等价于a+4>2a，或a+4<-2a，解得0

综上，a的取值范围为

.