届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题带答案.docx
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届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题带答案
2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题
一、单选题
1.已知xR,则‘X0”是X1”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】
解:
由题意可知,XR,
x|x0?
x|X1
X0”是X1”的必要不充分条件.
故选:
B.
【点睛】II
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,是基础题.
2.下列函数中,值域为0,的是()
1
A.y2XB.Y2c.ylnxD.ycosx
yX
【答案】A
【解析】由指数函数,哥函数,对数函数及余弦函数的性质直接得解.
【详解】
1
解:
选项A.y2X的值域为0,,选项B.2的值域为0,,选项C.ylnx的值域为R,选项D.
yX
ycosx的值域为1,1.
故选:
A.
【点睛】
本题考查常见函数的值域,属于简单题.
3.已知正方体ABCDAB1GD1,点P是^^CC1的中点,设直线AB为a,直线Ad为b.对于下列两个命题:
①
过点P有且只有一条直线l与a、b都相交;②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45角.以下判断正确的是
A.①为真命题,②为真命题B.①为真命题,②为假命题
C.①为假命题,②为真命题D.①为假命题,②为假命题
【答案】B
【解析】作出过P与两直线相交的直线l判断①;通过平移直线a,b,结合异面直线所成角的概念判断②.
【详解】
解:
直线AB与AiDi是两条互相垂直的异面直线,点P不在这两异面直线中的任何一条上,如图所示:
取BBi的中点Q,则PQ//A1D1,且PQ=AiDi,设AiQ与AB交于E,则点Ai、Di、Q、E、P共面,直线EP必与AiDi相交于某点F,则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交,故①为真命题;分别平移a,b,使a与b均经过P,则有两条互相垂直的直线与a,b都成45°角,故②为假命题.
・•.①为真命题,②为假命题.
体现了数形结合的数学思想,是中档题.
本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质,
4.某港口某天。
时至24时的水深y(米)随时间X(时)变化曲线近似满足如下函数模型
y0.5sinx—3.24(0).若该港口在该天。
时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,则该港
6
口该天水最深的时刻不可能为()
A.16时B.17时C.18时D,19时
【答案】D
【解析】本题是单选题,利用回代验证法,结合五点法作图以及函数的最值的位置,判断即可.
【详解】
解:
由题意可知,x0时,y0.5sin
故选:
D.
【点睛】
本题考查三角函数的模型以及应用,三角函数的周期的判断与函数的最值的求法,考查转化思想以及数形结合思想的应用,是难题.
二、填空题
5.已知集合A1,2,3,4,5,B2,4,6,8,则AIB
【答案】2,4
【解析】找出A与B的公共元素,即可确定出交集.
【详解】
解:
.A1,2,3,4,5,B2,4,6,8,
AIB2,4.
故答案为:
2,4
【点睛】
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
【答案】xlog23
【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解.
【详解】
解:
Q2x3,••・指数式化为对数式得:
X10g23,
故答案为:
x10g23.
【点睛】
本题主要考查了指数式与对数式的互化,是基础题.
7.行列式21的值为.
12
【答案】5
【解析】直接利用行列式公式可求.
【详解】
21
解:
22115
12
故答案为:
5
【点睛】
本题考查二阶行列式计算.属于基础题.
【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.
本题考查数列的极限的求法,运算法则的应用,是基础题.
9.若圆锥的侧面面积为2,底面面积为,则该圆锥的母线长为
【答案】2
【解析】根据圆面积公式算出底面半径r=1,再由圆锥侧面积公式建立关于母线1的方程,解之即可得到该圆锥的母线长.
解:
:
圆锥的底面积为
又•••圆锥的侧面积为
故答案为:
2
础题.
ABAC
BAC
故答案为:
本题主要考查两个向量的夹角公式,属于基础题.
11
4个空
.2位女生3位男生排成一排,则2位女生不相邻的排法共有
【解析】根据题意,分2步进行分析:
①、将3位男生排成一排,②、3名男生排好后有4个空位可选,位中,任选2个,安排两名女生,由分步计数原理计算可得答案.
解:
根据题意,分2步进行分析:
①、将3位男生排成一排,有A36种情况,
②、3名男生排好后有4个空位可选,在4个空位中,任选2个,安排两名女生,有A212种情况,
则2位女生不相邻的排法有61272种;
故答案为:
72
【点睛】
本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.
12.已知点2,y在角终边上,且tan2姓,则sin
【答案】211
3
【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y,然后即可求解.
【详解】
解:
由题意可得,tan—,2
Qtantan2.2
tan2.2-y-2
解得y4.2
4.22.2
故答案为:
红2.
3
【点睛】
本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系,考查运算能力,是基本知识的考查.
13.近年来,人们支付方式发生巨大转变,使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯,某企业为了解该企
业员工A,B两种移动支付方式的使用情况,从全体员工中随机抽取了100人,统计了他们在某个月的消费支出情况,
发现样本中A,B两种支付方式都没有使用过的有5人;使用了A,B两种方式支付的员工,支付金额和相应人数分
布如下表,依据数据估算:
若从该公司随机抽取1名员工,则该员工在该月A,B两种支付方式都使用过的概率为
支付金额(元)
支付方式
(0,1000]
(1000,2000]
大于2000
使用A
18人
29人
23人
使用B
10人
24人
21人
【答案】
10
【解析】根据表中数据算出两种支付方式都使用过的人数,由古典概型概率的计算公式即可求解
【详解】
根据题意,得
使用过A支付方式的人数为:
18292370(人);
使用过B支付方式的人数为:
10242155(人);
两种支付方式都没有使用过的人数:
5(人);
两种支付方式都使用过的人数为:
7055100530(人);
则该该员工在该月A,B两种支付方式都使用过的概率为:
,..3
故答案为:
—
10
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算公式,属于基础题.
vvV一一—一Vvv
14.已知非零向量a、b、c两两不平行,且a//bc
303
10010
vVVVVV
b//ac,设cxayb,x,yR,则x2y
【答案】—3
【解析】先根据向量共线把
r『r一r
c用a和b表不出来,再结合平面向量基本定理即可求解.
解:
因为非零向量
rrrrrrr
c两两不平行,且a//bc,b//ac,
rrr
ambc,m0,
r1rr
cab
mrrr
bnac,n0
r1rrcba
n
rrrQcxayb
xy1
故答案为:
3.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用.解题时要认真审题,属于基础题.
15.已知数列{an}满足:
ai1,an1为{d。
,,4}(nN*),记数列{an}的前n项和为Sn,若对所有满
足条件的{an},S10的最大值为M,最小值为m,则Mm
【答案】1078
【解析】由a11,an1an{劣❷,a}(nN*),分别令n2,3,4,5,求得{an}的前5项,观察得到最小
值m123L10,最大值M1222L29,计算可得Mm的值.
【详解】
由a11,an1an{4®,a}(nN*),
可得a2a1a〔,解得a22a12,
又a3a2{ai,a2},可得a3a2a13或a32a24,
又a4a3{a1,a2,a3},可得a4a3阚4或5;
ada3a25或6;a42a36或8;II
又a5a4{4仔2e3©4},可得a5a4a15或6或7;
a5a4a26或7或8;
a5a4a37或8或9或10或12;
a52a38或9或10或12或16,
11210
综上所不可信S10的取大值为M1222L291023,
12
—一11010
最小值为m123L1055,
2
所以Mm1023551078.
故答案为:
1078
【点睛】
本题是一道数列的新定义,考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式,属于中档题
.111……
16.已知函数fxx-a,右对任意实数a,关于x的不等式fxm在区间一,3上总有解,则实数m的x2
取值范围为.
fxx—a的最
1
【解析】本题要根据数形结合法将函数yx—的图象向下平移到一定的程度,使得函数x
大值最小.再算出具体平移了多少单位,即可得到实数m的取值范围.
【详解】
„-11人
解:
由题意,yx—在区间一,3上的图象如下图所不:
x2
则只要找到其中一个实数a,使得函数fx
1,一-,
x-a的最大值最小即可,
x
1,一,…,
fxx—a的取大值取小.
x
1
如图,函数yx—向下平移到一定才程度时,函数x
此时只有当f1f3时,才能保证函数fx的最大值最小.
1
设函数yx一图象向下平移了t个单位,(t0).x
10…8
—t2t,解得t一.
33
・♦.此时函数fx的最大值为—8-.
333
根据绝对值函数的特点,可知实数m的取值范围为:
故答案为:
本题主要考查了数形结合法的应用,平移的知识,绝对值函数的特点,以及简单的计算能力.本题属中档题.
三、解答题
17.如图,底面为矩形的直棱柱ABCDAB1C1D1满足:
AA4,AD3,CD2.
(1)求直线AC与平面AA1D1D所成的角的大小;
(2)设M、N分别为棱BBi、cd上的动点,求证:
三棱锥NA1AM的体积V为定值,并求出该值
2
【答案】
(1)arctan—;
(2)证明详见解析,V4.
5
【解析】
(1)说明CAD即直线AC与平面AAiDiD的所成角,通过求解三角形,推出结果即可.
(2)记点N到平面A1AM的距离为d,由于底面积和高都不变,故体积不变.
【详解】
解:
(1)由直棱柱知AA平面ABCD,所以A1ACD,
II
又因为ADCD,所以直线CD平面AADD1,所以CAD即直线AC与平面AA1D1D的所成角
2
由题思A1D5,CD2,所以tan—
5
2
所以直线AC与平面aad〔d的所成角arctan-.
5
(2)记点N到平面AAM的距离为d,三角形AAM的面积为Saam,则
1
VVNA1AM-dSAAM,
3
1一
由已知d3,Sa1mm2244,
1..
所以V—344为定值.
3
【点睛】
本题考查几何体的体积的求法,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题.
18.在复平面内复数4、Z2所对应的点为Z1、Z2,O为坐标原点,i是虚数单位.
UUU!
UUUV
(1)412i,z234i,计算z122与021OZ2;
条件时该不等式取等号
uuuv山uv
【答案】
(1)z1z2112i,OZlOZ25;
(2)证明详见解析,当abcd时.
uuuruuuu
【解析】
(1)根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出z1z2,可知。
乙1,2,OZ23,4,然后进行数量
积的坐标运算即可;
uuuuUULUl
(2)根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出Z1z2,以及复数的几何意义表示出。
乙、OZ2计算其数量积,利
2uuuruuur„
用作差法比较|乙Z2I,|OZ1OZ2I2的大小,并得出何时取等号.
解:
(1)4Z212i34i112i
uuunuuiui
OZ11,2,OZ23,4
uuunuuuu
所以。
乙OZ25
证明
(2)Qz1abi,z2cdi
Z1Z2acbdadbci
222
z1z2acbdadbc
uiuuuuuu
QOZ1a,b,OZ2c,d
uuunuuuu
cb时取此时OZ1POZ2.
uunuun
所以OZ1OZ2Z1Z2,当且仅当ad
本题考查了复数的乘法运算法则,向量坐标的数量积运算,复数的模长的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.
19.如图,某城市有一矩形街心广场ABCD,如图.其中AB4百米,BC3百米.现将在其内部挖掘一个三角形
水池DMN种植荷花,其中点M在BC边上,点N在AB边上,要求MDN-.
4
(1)若ANCM2百米,判断DMN是否符合要求,并说明理由;
(2)设CDM,写出DMN面积的S关于的表达式,并求S的最小值.
1.-sin2
档题.
2*
20.已知数列an各项均为正数,Sn为其刖n项的和,且an,Sn,annN成等差数列.
(1)写出a1、a2、a3的值,并猜想数列an的通项公式an;
(2)证明
(1)中的猜想;
*
⑶设bntan1G0),Tn为数列bn的刖n项和.右对于任思nN,都有Tnbm|mN,求实数t的值.
1,
【答案】
(1)ai1,a22,a33,ann;
(2)详见解析;(3)2,1.
2
【解析】
(1)代入Sna一an,求出a1,a2,a3,猜想出即可;
2
(2)利用等差数列的定义证明即可;
*n1.一...
nN,丁都是整数,
(3)由
(2)知bmmt1,Tn*」)tn,因为m,n都是整数,所以对于任意
所以a11,a22,a33,
猜想ann
22
证明
(2)当n2时,snan—an,Sn1an1an1
22
22
ananan1an1
得anan1anan110,
*
因为an0nN,所以anan11
数列an为等差数列,又由
(1)a11,a22
.一*
所以annnN
(3)解由
(2)知bmmt1,Tnn(n1)tn.
2
若bmTn,则m
1nn1
所以t一,kZ,此时mkn1,
k2
设bmT2,则m3k0,所以k1或2
nn1*
①当k1时,对于任意nN,m1N2
-*nn3*
②当k2时,对于任意nN,m2N
2
所以实数t取值的集合为1,1
2
【点睛】
考查数列的递推公式,等差数列的通项公式,含参问题的数列前n项和公式的应用,中档题.
21.已知函数fxxxa,其中a为常数.
(1)当a1时,解不等式fx2;
⑵已知gx是以2为周期的偶函数,且当0x1时,有gxfx.若a0,且g‘-,求函数
24
ygxx1,2的反函数;
(3)若在0,2上存在n个不同的点xii1,2,,n.n3,x1x2xn,使得
fx1fx2fx2fx3fxn1fxn8,求实数a的取值范围.
【答案】
(1),2;
(2)y3VxMx0,3;(3),2U6,
【解析】
(1)直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果.
(2)利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数.
(3)利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用,利用分类讨论思想的应用求出结果.
【详解】解:
(1)解不等式xx12
当x1时,x2x20,所以1x2
当x1时,x2x20,所以x1,
综上,该不等式的解集为,2
(2)当0x1时,gxxxa,
因为gx是以2为周期的偶函数,
所以g
所以当0
x1时,
所以当1
x2时,
所以函数ygx
1,2
的反函数为
0,3
(3)①当a0时,
在0,2上f
0,2上的增函数,所以
fx1
fx2
fx2fx3
xn1
xn
fxnf
x1
所以f
②当a
4时,在
0,2上fx
0,2
上的增函数,所以
fx1
x2
x2f乂3
xn1
xn
fxn
xi
所以f
③当0
4时,
在0,2
上不单调,
所以
xi
x2
x2
fx3
xn
xn
2f
max
2
—4,
4
22a
4,
0,2
上,f
max
max
f2
f
4.
x1
fx2
fx2
x3
xn
xn
2f
max
不满足
综上,
a的取值范围为
2U6,
③当2
4时,则1
2,所以
0,a上单调递增,
2
在。
2
上单调递减,于是
fx1
x2
fx2
fx3
xn
1fxn
2fmax
f(0)
2
解得
4或a4,
不符合题意;
a
④当0a2时,fx分别在0,a
2
一a
a,2上单调递增,在a,a上单调递减,
2
fx1fx2fx2fx3
a
2f2f(0)
fxni
fxn
2
aa
2f-f22-22a
24
2a4
22屈,不符合题意
2
令—2a48,解得a22石或a2
综上,所求实数a的取值范围为,2U6,
【点睛】
本题考查的知识要点:
绝对值不等式的解法及应用,函数的性质的应用,函数的单调性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型.
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