职业中专2示范教案12指数函数及其性质第3课时doc.docx
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第3课时指数函数及其性质(3)
导入新课
思路1•我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①尸覚②y=3x+,,③尸汐的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=护与y=ax+m(a>O,meR)有着怎样的关系呢?
在理论上,含有指数函数的复合两数是否具有奇偶性呢?
这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:
指数函数及其性质(3)•
思路2•我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数严格地证明了指数*1数的单调性,便于我们在解题时应川这些性质,在实际牛活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们木堂课要解决的问题——指数函数及其性质(3).
推进新课
新知探究
提出问题
(1)指数函数冇哪些性质?
(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?
⑶対复合函数,如何证明函数的单调性?
⑷如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?
活动:
教师引导,学生冋忆,教师提问,学生冋答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.
讨论结果:
(1)指数函数的图象和性质
一般地,指数函数尸『在底数a>l及OVaVl这两利悄况下的图象和性质如下表所示:
a>l
0 图象 u丿沁>1) X o\X 图象特征 图彖特征图象分布在一、二彖限,与y轴相交,落在x轴的上方 都过点(0,1) 第一象限的点的纵坐标都人于1;第二象限的点的纵坐标都大于0H小于1 第一•象限的点的纵坐标都人于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大于1 从左向右图象逐渐上升 从左向右图象逐渐下降 性质 (1)定义域: R (2)值域: (0,+oo) (3)过定点(0,1),即x=0时,y=l (4)x>0时,y>l;x<0时,0 (4)x>0时,0 (5)在R上是增函数 (5)在R上是减函数 (2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是: 1取值.即设X.、x2是该区间内的任意两个值且x, 2作差变形.即求f(X2)—f(X|),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形. 3定号.根据给定的区间和X2—X]的符号确定f(X2)—f(X】)的符号,当符号不确定时,可以 进行分类讨论. ④判断.根据单调性定义作出结论. (3)対于复合函数y=f(g(x)河以总结为: 当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数尸f(g(x))是增函数; 当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数;乂简称为口诀“同增异减 (4)判断函数的奇偶性: 一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(・x)的关系,最后确定函数的奇偶性; 二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性. 应用示例 思路1 例1在同一坐标系下作出下列函数的图彖,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.⑴尸2山与y=2x+2; (2)y=2vl与y=2v2. 活动: 教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点咸用计算机作图.解: (1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12. X ・3 ・2 ・1 0 1 2 3 2X 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 2^+1 0.25 0.5 1 2 4 8 16 2丫+2 ().5 1 2 4 8 16 32 Ox 图2-1-2-12 比较町知函数y=2x+,.y=2品与『=2%的图彖的关系为: 将指数函数y=F的图彖向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数尸2也的图象. (2)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13 X -3 ・2 ・1 0 1 2 3 2X 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 1 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 比较对知函数y=2“i、y=2x'2与y=2x的图彖的关系为: 将指数函数y=»的图象向右平行移动1个单位氏度,就得到函数y=2小的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2“的图彖. 点评: 类似地我们得到尸F与y=ax+m(a>0,a#l,meR)之间的关系: y=ax+m(a>0,meR)的图象可以由y=ax的图象变化而來. 当m>0吋,y=F的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象; 当m<0时,尸护的图象向右移动向|个单位得到y=ax+ni的图象.上述规律也简称为“左加右减二 变式训练 为了得到函数y=2心・1的图象,只需把函数尸2"的图象() A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 答案: B 点评: 对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出. _2X+b 例2已知定义域为R的两数f(x)=—.—是奇函数. 2+a (1)求a,b的值; (2)若对任意的伍R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范I札 活动: 学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示, (1)从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(O)=O,f(-l)=-f(l), (2)在 (1)的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化. (1)解: 因为f(x)是奇函数, .一1 所以f(0)=0,即=0=>b=1, a+2 1-2V 所以f(x)=7^; 1-21-; 乂由f(l)=f(・l)知==>a=2・ d+4a+1 1-2V11 (2)解法一: 由 (1)知f(x)==——+,易知f(x)在(・oo,+oo)上为减函数. 2+2x+l22X+1 又因f(x)是奇函数,从而不等式: f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,山上式推得: t2-2t>k-2t2,BP对一切tWR有3t2-2t-k>0, 从而判别式A=4+12k<0, 解法二由⑴知2时 即(2,"+1+2)(1-2/2_2/)+(2f2-2f+2)(1-2,2-k)<0. 整理得2宀fl,因底数2>1,故3t2-2t-k>0, 上式对一•切tGR均成立,从而判别式△=4+12k<0,即k<--. 3 点评: 记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f(x)为增(减)函数,则丄为减(增)函数. 思路2 例1 £丫ci 设a>0,f(x)=—+—在R上满足f(-x)=f(x). aex ⑴求a的值; (2)证明f(x)在(0,+co)上是增函数. 活动: 学牛先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导. (1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f(-x)=f(x)nJ*建立方程. (2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式. 1e'a ⑴解: 依题意,对一切xeR冇f(-x)=f(x)成立,即——+acx=—+—. aexaex 所以(a-—)(ex——)=0对一切xER成立.由此可得a-丄=0,即a2=l. aexci 乂因为a>0,所以a=L (2)证明: 设0 所以f(X1)-f(x2)<0,即f(x)在(0,+oo)上是增函数. 点评: 在已知等式f(・x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观. 例2已知函数f(x)=3x,Kx=a+2nj-,f(x)=18,g(x)=3ar-4v的定义域为[0,1]. ⑴求g(x)的解析式; ⑵求g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明; ⑶求g(x)的值域. 解: (1)因为f(x)=3x,Kx=a+2时f(x)=18, 所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2. 所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4\ W以g(x)=2x-4\ (2)因为函数g(x)的定义域为[0,1],令t=2: 因为xW[0,1]时,函数t=2x在区间[0,1]上单调递增, 所以蛙[1,2],则g(t)=t-r=-(t2-t)=-(t--)2+--,te[1,2]. 24 因为函数t=V在区间[0,1]上单调递增,函数g(t)=t-t2在炖[1,2]上单调递减,所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减. 证明: 设X]和X2是区间[0,1]上任意两个值,且X产X2, g(x2)-g(X])=2A2-4勺-2X}+4X,=(2。 -2X,)_(2乃-2V,)(2A2+2X,)=(2乃_2山)(1_2山_2七), 因为0 所以2巾>2Xl,且1<2X,<2,1<2忑<2. 所以2<2A*-2V2<4. 所以-3<1-2V1-2Y2<-1,可知(2。 -2v,)(1-2x,-T1)<0. 所以g(x2) 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减 (3)因为函数g(x)在区间[0,1]上单调递减, 所以xw[0,1]吋,有g(l) 因为g(l)=21-41=-2,g(O)=2o-4°=O, 所以-2 故函数g(x)的值域为[-2,0]. 点评: 此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑.知能训练 求函数y=(丄)卩+2怦|的单调区间. 活动: 教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答. 解: 山题意可知2与-丄是区间的分界点. 2 当XV-丄时,因为y=(丄)》+2=(丄严毛3亠丄-翼 2222 所以此时函数为增函数. 当-丄 22282 所以此时函数为减函数. 当x>2时,因为y=(丄),+2x+x-2=(-)3x-,=2,'3x=2•(-)x, 228 所以此时函数为减函数. 当Xiw[,2)凶丘[2,+oo)时,因为2*(—)X2-—•(―)X]=2•2~3x2—23*2A, 2882 =2〔-3勺_2-3-r> 又因为1-3X2-(-3-xi)=4-3X2+X1=4+x1-3X2<0,所以1-3x2<-3-xi, 即•(*)' 所以此时函数为减函数. 综上所述,函数f(x)在(-8,]上单调递增,在[,+8)上单调递减. 22 拓展提升 4V 设m 4”+2 (l)f(a)+f(l-a)的值; ⑵f(丄)+f(丄)+/*(丄)+…+f(列)的值. 1001100110011001 活动: 学生思考,观察,教师提示学生注意式了的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第 (2)问要用到第 (1)问的结果,联系函数的知识解决. 4“ 解: ⑴"5+严+2 4 F4" 丄+丄=灶丸 4"+22+4"4"+2 1、2、“3、“1000、 (2)f()+f()+/()+…+f() 1001100110011001 「「“1、「“2、“999、]「“500、501A_ —[[/()+f()]+[f()+f()]H[/()+f()] 100010011000100110011001=500x1=500. 点评: 第⑵问是第 (1)问的继续,笫⑴问是第 (2)问的基础,两个问号是衔接的,利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问号与问号之间的联系. 课堂小结 本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些问题,対常考的函数图象的变换进行了学习,耍高度重视,在不断学习中升华捉高. 作业 课本P59习题2JA组5. 设计感想 指数函数作为一•类基本的初等函数,它虽然不貝有函数通性中的奇偶性,但是它与英他函数复合构成具有比鮫复朵的单调性的函数,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数,判断 复合函数的单调性和奇偶性要I•分小心严格按规疋的要求,冇时借助数形结介可帮我们找到解题思路,木堂课是在以前基础上的提高与深化,同时又兼顾了高考常考的内容,1大1此涉及面广,容量大,要集中梢力,加快速度,高质量完成教学任务. 习题详解 (课木54页练习) 232 2. (1)VP"=X3, (2)寸=(a+b)4,(3)乂(m-n)? =(m-n)3, ⑷7(m-n)4=(m-n)2,(5)Jp&q'=p3q2,(6)#==m2=m2. J.2J.1丄+丄+丄 (2)2V3xVh5xV12=2x3x(-)3x(3x22)6=233x33+3+5=2x3=6; 1\_1215 ⑶a2a'a8=a248=a8; 2. (1)要使函数冇意义,需x・220,即沦2,所以函数y=3皿的定义域为{x|x>2}; 1- ⑵要使函数有意义,需X怂即函数y=(-)A的定义域是{XIx/0}.2 3.y=2x(xENi: ) (课本第59页习题2.1) l.(l)100; (2)-0.l;(3)4-;r;(4)x-y. li. 丄11丨+丨+丄 •Vm_m2•m3•_m2340_ (3)——=—=5^=m=L 代/万y•加丁m^mA 点评: 遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幕的运算性质来进行.对于 (1),可先按底数5,再按回键,再按1EL,最后按三I,即町求得它的值. 对于⑵洗按底数&31,再按bd键,再按1习2,最后按口即可.答案: 2.8810; 对于(3)这种无理指数幕,先按底数3,再按罔键,再按忙键,再按2,最后按日即可答案: 4.7288; 对于(4)这种无理指数幕,可先按底数2,其次按bd键,再按兀键,最后按二1即可. 1x12—xl2.o ⑶(x'y4)=x3y4=x4y'; 111122 xx424y333=24y; \_ ⑹(-2X4y3)(3x2y3)(^x4y3)=[.2x3x(-4)] _! _丄丄_丄1_丄 12 MB* (7)(2x2+3y可)(2x-3y)=(2x》)2-(3y)2=4x-9y; 点评: 进行冇理数指数幕的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既冇分母又有负指数. 5. (1)要使函数有意义,需3-xER,即xWR,所以函数y=23'x的定义域为R. (2)耍使函数有意义,需2x+lWR,即xGR,所以函数y=32x+,的定义域为R (3)要使函数有意义,需5xFR,即xFR,所以函数y=(-)5x的定义域为R £ (4)要使函数有意义,需xHO,所以函数y=0.7;的定义域为{x|x*0}. 点评: 求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数人于零,0的0次幕没有意义. 6.解: 设经过x年的产量为y,—年内的产量是a(l+丄-),两年内产量是a(l+-^-)2,...,x年内 100100 的产最是a(l+-^)x,则y=a(l+-^-)x(xeN*,x 100100 点评: 根据实际问题,归纳是关键,注意X的取值范Fit 7. (1)3°与3°7的底数都是3,它们可以看成函数y=3;当x=0.8和0.7时的函数值;因为3>1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7O.&所以3°-7<30'8. (2)0.75小与0.75°」的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值;因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而・0」<0丄所以0.75°」<0.75小 (3)1.012-7与1.01'5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值;因为1・01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7V3.5,所以1.0127<1.0135. (4)0.9丹与0.99"的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5吋的函数值;因为0.99V1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.9945<0.99<3. 8.(l)2m,2n可以看成函数y=2: 当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数尸2*在R上是增函数.因为2m<2n,所以mvn. ⑵0.2m,0.2n可以看成函数y=02;当x=m和n时的函数值;因为0.2<1,所以函数尸0.才在R上是减函数•因为0.2m<0.2n,所以m>n. ⑶玄“卅可以看成函数yF,当xw和n时的函数值;因为0 所以m>n. ⑷a^a11可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为aba: 所以m>n. 点评: 利用指数函数的单调性是解题的关键. 1丄 9. (1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=(-)5730. ]9x5730, 当时间经过九个“半衰期''后,死广牛•物组织内的碳14的含量为P=(丄)刁莎=(丄)冬0.002. 22 答: 当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物纽织内的碳14的含量约为死亡前含量的2%。 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在. ]10000/ (2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(丄)歸<0.001,解得t>5.7. 2 答: 人约经过6力年后川一般的放射性探测器是测不到碳14的. 1.当OVaVl时, a*7>a妆i2nx・7V4x—lnx>—3; 当a>l时, a2x-7>a4x-i=2x-7>4x-1=>x<-3. 综上当0—3};当a>l吋,不等式的解集是{x|x<—3}. 2.分析: 像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 丄_1 解: (1)设y=x2+x2, 那么y2=(x空+x2)2=x+x"+2. 由于x+x"=3,所以y=V5. (2)设y=x2+x'2, 那么y=(x+x_1)2-2. 由于x+x'=3, 所以y=7. ⑶设y=x2-x-2, 那么y=(x+x1)(x-x1), 而(x-x')2=x2-2+x_2=V5, 所以y=±3运. 点评: 整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解: 已知本金为a元. 1期后的木利和为yi=a+axr=a(l+r), 2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)xr=a(1+r)2, 3期后的本利和为y3=a(14-r)3, ••• x期后的本利和为y=a(l+r)x. 将a=l000,r=0.0225,x=5代入上式得 y=a(l+r)x=l000x(1+0.0225)5=1OOOx1.02255~1118. 答: 本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(l+r)\5期示的木利和约为1118元. 4.解: (1)因为y】=y2,所以a3x+1=a'2x. 所以3x+l=-2x. 所以x=. 5 (2)因为y】>y2,所以a3x+1>a2x.所以当a>l时,3x+l>・2x. 所以x>. 5 所以当0 (设计者: 刘玉亭)
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