完整版文科数学全国三卷真题及答案2推荐文档.docx

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精心整理

2018年数学试题文（全国卷3）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）

1．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则AB=（）

A．{0}

B．{1}

C．{1，2}

D．{0，1，2}

2．（1+i）（2-i）=（

A.-3-i

）

B.-3+i

C．3-i

D．3+i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（

）

4．若sin=1，则

3

cos2=（）

A.

89

B.

79

C.

-79

D.

-89

5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）

A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7

6.

函数f（x）=tanx

1+tan2x

的最小正周期为（）

A．B．C．D．2

42

精心整理

．下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是（）

y=ln（1-x）B.y=ln（2-x）C.y=ln（1+x）D.y=ln（2+x）

BP面积的取值范围是（

）

A．[2，6]

B．[4，8]

C．⎡

⎣

2，32⎤

⎦

D．⎡22，32⎤

⎣⎦

9.函数y=-x4+x2+2

的图像大致为（

）

．直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，则

x2y2

10.已知双曲线C：

-=1（a>0，b>0）的离心率为，则点（4，0）到C的

a2b2

渐近线的距离为（）

A．B．2C．32

2

D．22

11.

∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若∆ABC的面积为

a2+b2-c2，则C=（）

12.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，∆ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）

13.

A．12B．18C.24D．54

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量a=（1,2），b=（2,-2），c=（1,λ）．若c∥（2a+b），则=．

．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准

进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是

．

⎧2x+y+3≥，0

15．若变量x，y满足约束条件⎪x-2y+4≥，0

⎪⎩x-2≤0.

则z=x+1y的最大值是．

3

16．已知函数f（x）=ln（1-x2-x）+1，f（a）=4，则f（-a）=．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试

考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

⑴求{an}的通项公式；

⑵记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．

18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两

种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，

第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：

min）绘制了如下茎叶图：

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？

并说明理由；

⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m

不超过m

一种生产方式

第二种生产方式

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n（ad-bc）2

附：

K2

=（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），．

19．（12分）

如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是

上异于C，

D的点．

⑴证明：

平面AMD⊥平面BMC；

⑵在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？

说明理由．

．（12分）

知斜率为

2

的直线与椭圆x2+y=交于，两点．线段

的中点为

klC：

1ABAB

43

（1，m）（m>0）．

证明：

k<-1；

2

FP

设为C的右焦点，为C上一点,且FP+FA+FB=0．证明:

2FP=FA+FB．

．（12分）

ax2+x-1

fx（=）

ex

求由线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程；证明：

当a≥1时，f（x）+e≥0．

二）选考题：

共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按做的第一题计分．

．[选修4—4：

坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为

⎨y=sin

⎧x=cos（为参数），过点（0，-

⎩

的直线l与⊙O交于A，B两点．

⑴求的取值范围；

2）且倾斜角为

⑵求AB中点P的轨迹的参数方程．23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）设函数f（x）=2x+1+x-1．

⑴画出y=f（x）的图像；

⑵当x∈，[0+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

参考答案

一、选择题

1.答案：

C

解答：

∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0,1,2}，∴AB={1,2}.故选C.2．答案：

D

解答：

（1+i）（2-i）=2+i-i2=3+i，选D.

3.答案：

A

解答：

根据题意，A选项符号题意；

4.答案：

B

解答：

cos2=1-2sin2=1-2=7.故选B.

99

5.答案：

B

解答：

由题意P=1-0.45-0.15=0.4.故选B.

6.答案：

C解答：

f（x）=tanx

1+tan2x

sinx

=cosx

sin2x

1+

=sinxcosx

sin2x+cos2x

=sinxcosx=1sin2x，

2

cos2x

∴f（x）的周期T=2=.故选C.

2

7.答案：

B

解答：

f（x）关于x=1对称，则f（x）=f（2-x）=ln（2-x）.故选B.

8.答案：

A解答：

由直线x+y+2=0得A（-2,0）,B（0,-2），∴|AB|==2，圆

（x-2）2+y2=2的圆心为（2,0），∴圆心到直线x+y+2=0的距离为

=2，∴点P到直线x+y+2=0的距离的取值范围为

2-≤d≤2+2，即≤d≤3，∴S

9.答案：

D解答：

当x=0时，y=2，可以排除A、B选项；

∆ABP

=1|AB|⋅d∈[2,6].

2

又因为y'=-4x3+2x=-4x（x+2）（x-2），则f'（x）>0的解集为

22

（-∞,-2）U（0,2），f（x）单调递增区间为（-∞,-2），（0,2）；

2222

f'（x）<0的解集为（-2,0）U（2,+∞），f（x）单调递减区间为（-2,0），222

2

（,+∞）.结合图象，可知D选项正确.

2

10.答案：

D解答：

由题意e=c=

a

，则b=1，故渐近线方程为x±y=0，则点（4,0）到渐

a

近线的距离为d==2.故选D.

11.答案：

C解答：

S∆ABC

=a2+b2-c2=2abcosC=1abcosC，又S

∆ABC

=1absinC，故tanC=1，

4422

∴C=.故选C.

4

12.答案：

B解答：

如图，∆ABC为等边三角形，点O为A，B，C，D外接球的球心，G为∆ABC的重心，由S∆ABC=9，得AB=6，取BC的中点H，∴AH=AB⋅sin60︒=3，∴

AG=2AH=2

3

，∴球心O到面ABC的距离为d==2，∴三棱锥

D-ABC体积最大值VD-ABC=1⨯9

3

⨯（2+4）=18.

二、填空题

13.

答案：

1

2

解答：

=1

2a+b=（4,2），∵c//（2a+b），∴1⨯2-⨯4=0，解得2.

14.答案：

分层抽样

解答：

由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15．答案：

3

解答：

由图可知在直线x-2y+4=0和x=2的交点（2,3）处取得最大值，故z=2+1⨯3=3.

3

16．答案：

-2

解答：

f（-x）=ln（1+x2+x）+1（x∈R）

f（x）+f（-x）=ln（-x）+1+ln（+x）+1=ln（1+x2-x2）+2=2，

∴f（a）+f（-a）=2，∴f（-a）=-2.

三、解答题

nn

17．答案：

（1）a=2n-1或a=（-2）n-1；

（2）6.

解答：

（1）设数列{a}的公比为q，∴q2=a5=4，∴q=±2.

a

n

3

∴an=2n-1或an=（-2）n-1.

（2）由

（1）知，=1-2n=n-或=1+（-2）n=1--n，

Sn1-2

21Sn

1+23

[1

（2）]

∴S=2m-1=63或S=1[1-（-2）m]=63（舍），

mm3

∴m=6.18．

解答：

（1）第一种生产方式的平均数为x1=84，第二种生产方式平均数为

x2=74.7，∴

x1>x2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.

（2）由茎叶图数据得到m=80，∴列联表为

n（ad-bc）240（15⨯15-5⨯5）2

K2===10>6.635

（3）

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）20⨯20⨯20⨯20，∴有

99%

的把握认为两种生产方式的效率有差异.19．

解答：

（1）∵正方形ABCD⊥半圆面CMD，

∴AD⊥半圆面CMD，∴AD⊥平面MCD.

∵CM在平面MCD内，∴AD⊥CM，又∵M是半圆弧CD上异于C,D的

点，∴CM⊥MD.又∵ADIDM=D，∴CM⊥平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM⊥平面ADM.

（2）线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：

连接BD,AC交于点O，连接PD,PB,PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是AM的中点；

∴OP//MC，∵OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，∴MC//平面

PDB.

20．解答：

（1）设直线l方程为y=kx+t，设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

⎧⎪y=kx+t

⎨x2+y2=

⎩43

联立消y得（4k

1

222

+3）x+8ktx+4t-12=0，

则∆=64k2t2-4（4t2-12）（3+4k2）>0，

得4k2+3>t2…①，

且x+x=-8kt=2，y+y=k（x+x）+2t=6t=2m，

123+4k212123+4k2

∵m>0，∴t>0且k<0.

3+4k2

且t=-4k…②.

（3+4k2）2，

由①②得4k2+3>

∴k>1或k<-1.

16k2

2

∵k<0，∴

2

k<-1.

2

（2）FP+FA+FB=0，FP+2FM=0,

3

∵M（1,m），F（1,0），∴P的坐标为（1,-2m）.

由于P在椭圆上，∴1+4m2=1，∴m

43

=3，M（1,-），42

x2y2

x2y21，

又1+1

=1，

4+3=

43

两式相减可得y1-y2=-3⋅x1+x2，

x1-x24y1+y2

又x+x=2，y+y=3，∴k=-1，

12122

直线l方程为y-3=-（x-1），

4

即y=-x+7，

4

⎧y=-x+7

∴⎪x2y2，

+=1

⎩43

消去y得28x2-56x+1=0，x1,2=，

14

uuruur

|FA|+|FB|=

uur

|FP|=

∴|FA|+|FB|=2|FP|.

21．

+

=3,

2

=3，

解答：

（1）由题意：

f（x）=ax2+x-1得

ex

'（2ax+1）ex-（ax2+x-1）ex-ax2+2ax-x+2

f（x）=

（ex）2

=ex，

∴f'（0）=2=2，即曲线y=f（x）在点（0,-1）处的切线斜率为2，∴

1

y-（-1）=2（x-0），即2x-y-1=0；

（2）证明：

由题意：

原不等式等价于：

ex+1+ax2+x-1≥0恒成立；令

g（x）=ex+1+ax2+x-1，

∴g'（x）=ex+1+2ax+1，g''（x）=ex+1+2a，∵a≥1，∴g''（x）>0恒成立，∴g'（x）在（-∞,+∞）上单调递增，∴g'（x）在（-∞,+∞）上存在唯一x0使g'（x0）=0，∴ex+1+2ax+1=0，即ex0+1=-2ax-1，且g（x）在（-∞,x）上单调递减，在

0000

（x0,+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（x0）.

又g（x）=ex0+1+ax2+x-1=ax2+（1-2a）x-2=（ax+1）（x-2），

0000000

11-11-11

g'（-

得证.

）=e

a

a-1，∵a≥1，∴0≤ea-1

a，∴g（x0

）≥0，

综上所述：

当a≥1时，f（x）+e≥0.22．

解答：

⎨y=sin

（1）eO的参数方程为⎧x=cos，∴eO的普通方程为x2+y2=1，当

⎩

=90︒时，直线：

l:

x=0与eO有两个交点，当≠90︒时，设直线l的方程

为y=xtan-，由直线l与eO有两个交点有|0+0-2|<1，得tan2>1，

1+tan2

∴tan>1或tan<-1，∴45︒<<90︒或90︒<<135︒，综上∈（45︒,135︒）.

（2）点P坐标为（x,y），当=90︒时，点P坐标为（0,0），当≠90︒时，

设直线l的方程为y=kx-

22

，A（x1,y1）,B（x2,y2），∴⎨有

⎩y=kx-②

x2+（kx-2）2=1，整理得（1+k2）x2-22kx+1=0，∴x+x=，

121+k2

-22

⎧

⎪x=③x22

y1+y2=1+k2，∴⎨⎪y=-

④得k=-y代入④得x+y+

y=0.当点

⎪1+k2

P（0,0）时满足方程x2+y2+2y=0，∴AB中点的P的轨迹方程是

x2+y2+2y=0，即x2+（y+2）2=1，由图可知，

22

A（,-2），B（-2,-2），则-

22222

⎧2cos

⎪⎨x=

2（为参数，0<<）.

⎪y=-+2sin

⎪2223．解答：

⎧-3x,x≤-1

（1）

f（x）

=⎪x

⎨

⎪

2

+2,-1

2

<1，如下图：

⎪3x,x≥1

⎩

（2）由

（1）中可得：

a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，

∴a+b的最小值为5.

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