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完整版高考椭圆几种题型
高考椭圆几种题型
一弓I言
在高考之中占有比较重要的地位,并且占的分数也多。
分析历年的高考试题,在选择题,填空题,大题都有椭圆的题。
所以我们对知识必须系统的掌握。
对各种题型,基本的解题方法也要有一定的了解。
椭圆的知识
(一)、定义
1平面内与与定点Fi、F2的距离之和等于定长2a(2a>|FiF2|)的点的轨迹叫做椭圆,其中Fi、F2称为椭圆的焦点,
|FiF2|称为焦距。
其复数形式的方程为|Z-Zi|+|Z-Z2|=2a(2a>|Zi-Z2|)
2一动点到一个定点F的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数,则这个动点的轨迹叫椭圆,其中F称为椭圆的焦点,l称为椭圆的准线。
(二)、方程
22
2中心在原点,焦点在y轴上:
与冬1(ab0)ab
xacos
3参数方程:
ybsin
、一一2_2___
4一般方程:
AxBy1(A0,B0)
(三)、性质
1顶点:
(a,0),(0,b)或(0a),(b,0)
2对称性:
关于x,y轴均对称,关于原点中心对称。
c
3离心率:
e一(0,1)a22
、…a.a
4准线x—或y—
cc
22
.xy..__一.—一
5焦半径:
设P(x0,yO)为一2"—2-1(ab0)上一点,F1、F2为左、右焦点,则PF1ae%,PF2ae%;
ab
22
yx
设P(x0,y0)为、—1(ab0)上一点,F1、F2为下、上焦点,则PF1aex0,PF2aex0。
ab
三椭圆题型
(一)椭圆定义
1椭圆定义的应用
例1椭圆的一个顶点为A2,0,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
分析:
题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
解:
(1)当A2,0为长轴端点时,a2,b1,
22
椭圆的标准方程为:
上上1;
41
22
椭圆的标准方程为:
土上1;
416
说明:
椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.
22
例2已知椭圆-x—y-1的离心率e
k89
22
例3已知方程—1表示椭圆,求k的取值范围
k53k
k50,
解:
由3k0,得3k5,且k4.
k53k,
.•・满足条件的k的取值范围是3k5,且k4.
说明:
本题易出现如下错解:
由k50,得3k5,故k的取值范围是3k5.
3k0,
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab0这个条件,当ab时,并不表示椭圆.
例4已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆,求的取值范围.
的取值范围.
分析:
依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出
2
解:
方程可化为—
1
1.因为焦点在y轴上,所以
11
cossin
sin
cos
3
因此sin0且tan1从而(一,一).
24
说明:
(1)由椭圆的标准方程知0,
sincos
21.21
(2)由焦点在y轴上,知a,b
cossin
0,这是容易忽视的地方.
(3)求的取值范围时,应注意题目中的条件
例5已知动圆P过定点A
22
3,0,且在te圆B:
x3y64的内部与其相内切,求动圆圆心
P的轨迹方程.
分析:
关键是根据题意,列出点P满足的关系式.
解:
如图所示,设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点,
即定点A3,0和定圆圆心B3,0距离之和恰好等于定圆半径,
即|PA|PB|PMPB|BM8..•.点P的轨迹是以A,B为两焦点,
22
半长轴为4,半短轴长为bJ4232"的椭圆的方程:
--y-1.
167
说明:
本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
2.关于线段长最值的问题一般两个方法:
一种是借助图形,由几何图形中量的关系求最值,二是建立函数关系求最值,或用均值不等式来求最值。
22
例
(1):
点P为为椭圆三41(ab0)上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,试求:
|PFi|PF2取得最值时ab
的P点坐标。
解:
(1)设P(x0,yO),则X0[a,a]。
由椭圆第二定义知:
2
Ia
|PF1x0(——)eex0a,PF22a(ex0a)aex0。
c
PFiPF2
22一.fLfL一一.一2
ex0。
当Xo0时,PF1PF2取最大值a,此时点P(0,土b);当x0
a时,PFjPF2取
最小值b2,此时点P(±a,0)。
(二).焦半径及焦三角的应用
22
例1已知椭圆方程"看1aab
b0,长轴端点为A,A2,焦点为Fi,F2,P是
椭圆
上一点,APA2,F1PF2.求:
F1PF2的面积(用a、b、表示).
1..
分析:
求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用S—absinC求面积.
2
解:
如图,设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设
Px,y,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限.由余弦定理知:
222c
F1F2PFiPF22PFiPF2cos4c2.①
由椭圆定义知:
PF1PF22a②,则②2—①得
PFi
PF2
2b2
1cos
故SF1PF2
1
一PF1PF2sin2
12b2sin
21cos
例2.
22
已知椭圆—L
95
1内有一点A(1,1),F1、F2分别是椭圆的左、
右焦点,点P是椭圆上一点.
求PAPF1
的最大值、最小值及对应的点P坐标;
分析:
本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:
一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结
合,就能简捷求解.
解:
由PF1PF22a6,PAPF2AF2,
如上图,2a6,F2(2,0),AF2J2,设P是椭圆上任一点,
"PAPR|PFiPF2|AF22aAF26V2,等号仅当|PAPF2AF2时成立,此时P、A、F2共
线.
(三)、直线与椭圆相交问题
(1)常用分析一元二次议程解的情况,仅有△还不够,且用数形结合的思想。
(2)弦的中点,弦长等,利用根与系数的关系式,但△>0这一制约条件不同意。
AB|“1V—x1x2
ax1x2
例1.已知直线l过椭圆8x29y272的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M、N两点,求弦MN的长。
古汪上八TAD.厂尸,厂*5Jl82411960
万法一:
由弦长公式ABy1k-——
ai1111
60
11
例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点F1作倾斜解为—的直线交椭圆于A,B两
3
点,求弦AB的长.
分析:
可以利用弦长公式|AB71k2|x1x2%;'(1k2)[(x1x2)24x1x2]求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
解:
(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解
(法3)利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程13x272V3x3680求出方程的两根x1,x2,它们分别是A,B的横坐标.
再根据焦半径AF1aex,BF1aex2,从而求出ABAF1BF1
(四)、“点差法”解题。
“设而不求”的思想。
当涉及至平行法的中点轨迹,过定点弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程,用
“点差法”来求解。
步骤:
1.设A(xi,yi)B(X2,y2)分别代入椭圆方程;
XiX2
x2ii..
已知椭圆—y2i,(i)求过点P,,’且被P平分的弦所在直线的方程;
222
过A2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)
椭圆上有两点P、Q,。
为原点,且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ
求线段PQ中点M的轨迹方程.
此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例2已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点,M为AB中点,OM的斜率为
0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
21为所求.
y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方
本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去
程,再由根与系数的关系,直接求出x1x2,x1x2(或y1y2,y1y2)的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.
解:
方法一:
设所求直线方程为y2k(x4).代入椭圆方程,整理得
22___2____
8k(4k2)
4k21
x2y80.
(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360①
设直线与椭圆的交点为A(xi,yi),B(x2,y2),则xi、x2是①的两根,,为x?
x1x24k(4k2)1_,»小、
•P(4,2)为AB中点,-42,k—.,所求直线方程为
24k12
方法二:
设直线与椭圆交点A(x1,y[),B(x2,y2).:
P(4,2)为AB中点,,x〔x28,y〔y4.
2.222__22_22.一
又「A,B在椭圆上,,为4y136,x24y236两式相减得(x[x2)4(y1y2)0,
即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1yz)0...y~^(x1x2)1...直线方程为x2y80.
x1x24(y1y2)2
方法三:
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),另一个交点B(8x,4y).
.A、B在椭圆上,,x24y236①。
(8x)24(4y)236②
从而A,B在方程①—②的图形x2y80上,而过A、B的直线只有一条,,直线方程为x2y80.
(五)、轨迹问题
这一问题难,但是解决法非常多,有如下几种。
1.直接法:
根据条件,建立坐标系,设动点(x,v),直接列出动点所应满足的方程。
2.代入法:
一个是动点Q(x0,y。
)在已知曲线F(x,y)=0,上运动,而动点P(x,y)与Q点满足某种关系,要求P点的
轨迹。
其关键是列出P、Q两点的关系式
xf(x,y)v。
y(x,y)
3.定义法:
通过对轨迹点的分析,发现与某个圆锥曲线的定义相符,则通过这个定义求出方程。
4.参数法:
在x,y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时,往往用
xf(t)+上
)1t为参数)来反映x,y之间的关系。
yy(t)
常用的参数有斜率k与角等。
例:
ABC的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率的乘积是
4
一,求顶点A的轨迹万程:
9
解:
设A(x,y),由题设得L_6y__64(x0)。
化简得
xx9
22
——1(x0)
8136
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