数学1.docx
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数学1
数学-1
一、问答求解(总题数:
36,分数:
100.00)
1.已知x2+y2=9,xy=4,则
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C. √
D.
E.
[考点]因式分解
[解析]x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2),又因为x2+y2=9,xy=4,所以
本题的关键是将分母中的式子变形。
2.三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁),他们的年龄都是质数(素数),且依次相差6岁,他们的年龄之和为______
A.21
B.27
C.33 √
D.39
E.51
[考点]考查质数
[解析]比6小的质数只有2、3、5,依次相差6岁,只有最小的年龄为5岁时,满足题意,所以三个小孩年龄分别为5岁、11岁、17岁。
所以年龄之和为33。
本题的核心是要记住100以内质数。
3.若,则
A.2
B.3
C.4 √
D.-3
E.-2
[考点]实数的计算
[解析]令a=4,b=3,则;或将分式分子分母同除以b,分式变为,将代入可得。
本题的关键是运用特值法解题,像这类根据比值求数值的题,就可用特值来简便计算。
4.某班有学生36人,期末各科平均成绩为85分以上的为优秀生,若该班优秀生的平均成绩为90分,非优秀生的平均分为72分,全班平均成绩为80分,则该班优秀生的人数是______
A.12
B.14
C.16 √
D.18
E.20
[考点]平均数
[解析]根据题意,该班优秀人数为
本题关键是了解平均数的定义。
5.关于下列论述正确的是______
A.(m-1)(m+1)是偶数,则m是偶数
B.任何一个正整数的倒数都大于它本身
C.除了1以外,任何一个正整数的因数个数都是偶数
D.两个不相等的分数做差,那么它们的差一定是分数
E.以上答案都不对 √
[考点]数的基本概念与性质
[解析](m-1)(m+1)=m2-1是偶数,则m必然为奇数,A错;1也是正整数,但是它等于它本身,B项错误;4的因数有三个,个数是奇数,C项错误;例如,差为整数,D项错误。
所以答案为E。
本题的核心是要掌握数的基本概念与性质。
6.已知,则实数x的取值范围是______
A.
B.
C.
D.
E.以上结论均不正确
A.
B.
C. √
D.
E.
[考点]绝对值运算
[解析]根据绝对值的性质可知,,说明,解得即可。
7.设:
y=|x-a|+|x-10|+|x-a-10|,其中0<a<10,则对于满足a≤x≤10的x值,y的最小值是______
A.5
B.10 √
C.15
D.20
E.30
[考点]绝对值化简
[解析]因为a≤x≤10,则y=x-a+10-x-x+a+10=20-x,因为a≤x≤10,要使y=20-x最小,就要x取最大,当x=10时,y能取最小值,最小值为10。
本题的关键是根据已知条件所给的范围去掉绝对值求最值。
8.若实数a,b,c,满足,则abc=______
A.-4
B.
C.
D.
E.3
A. √
B.
C.
D.
E.
[考点]绝对值、根号、偶数次方的非负性
[解析]由绝对值、开根号、平方非负性可知,a-3=0,3b+5=0,5c-4=0,故,所以abc=-4。
解答本题的关键是绝对值、根号、偶数次方的非负性。
9.某年级有A、B、C三个班,在一次测验中,A、B、C三个班的平均成绩分别为85分、87分和72分。
已知全年级的平均分为81分,则A、B、C三个班的人数比可能为______
A.3:
1:
2 √
B.3:
2:
3
C.4:
1:
1
D.1:
2:
2
E.3:
1:
3
[考点]平均数、比例
[解析]假设A、B、C三个班的人数分别为x、y、z,根据已知条件,列出等式85x+87y+72z=81(x+y+z),化简得4x+6y=9z,由整除特性,9z能被3整除,6y能被3整除,所以4x能被3整除,所以z能被3整除,x应为3的倍数;4x与6y能被2整除,所以9z能被2整除,故z能被2整除,z应为2的倍数。
故答案为A。
本题的核心是根据已知条件建立等量关系,再根据整除特性快速选出答案。
10.当(3+x)+(3+x)2+…+(3+x)n=a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n时,若x≠-1,那么a1+a2+…+an=______
A.
B.
C.
D.
E.
A. √
B.
C.
D.
E.
[考点]多项式的展开和合并
[解析]求a1+a2+a3+…+an的值,观察等式右边a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,当x+1=1的时候,即x=0,a1、a2、a3、…、an前的系数都为1,左边为首项是3,公比也是3的等比数列的前n项和,右边为a1+a2+a3+…+an,则代入等比数列前n项和公式即可。
本题主要考查多项式的展开与合并,关键是结合问题设特值。
11.如果多项式f(x)=2x3+ax2+bx+4含有一次因式x+2和2(x+1),则f(x)的另外一个一次因式是______
A.x+1
B.x+2
C.x-1
D.
E.x
A. √
B.
C.
D.
E.
[考点]因式分解
[解析]因为f(x)=2x3+ax2+bx+4含有一次因式x+2和2(x+1),所以x=-2,x=-1为f(x)=0的两个根,则f(-2)=0,f(-1)=0,解得a=8,b=10,所以f(x)=2x3+8x2+10x+4,又因为(x+2)(2x+2)=2x2+6x+4,故另一个因式为(x+1),所以答案为A。
本题的核心是多项式展开中高次方前的系数与项数的值。
12.若f(x)=x3+ax2+3x+b能被x2+x+2整除,则______
A.a=1,b=2
B.a=2,b=1
C.0=2,b=2 √
D.a=1,b=0
E.a=0,b=1
[考点]多项式的展开与合并
[解析]根据题意,假设f(x)=(x2+x+2)(x+c)=x3+(c+1)x2+(c+2)x+2c,对照各项系数,可知2c=b,c+1=a,c+2=3,解得a=2,b=2。
本题的关键是根据多项式展开与合并,对应各项前的系数来求解。
13.对于小于20的三个不同质数a、b、c,有|a-b|+|b-c|+|c-a|=10,那么这三个质数的和为______
A.11
B.12 √
C.15
D.16
E.18
[考点]质数的性质
[解析]20以内的质数有2、3、5、7、11、13、19,因为|a-b|+|b-c|+|c-a|=10,设a<b<c,则有|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+c-a=2c-2a=2(c-a)=10,所以c-a=5,所以只能是2和7,所以这三个质数应为小质数,代入可知这三个数分别为2、3、7或2、5、7,故三个质数的和为12或14。
选项只有12,故选B。
本题的核心是要知道20以内的质数。
14.若x2-3x+1=0那么
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E. √
[考点]整式与分式的计算
[解析]x2-3x+l=0因式分解求x的值很麻烦,观察x2-3x+1=0可以化简为的分子分母同时除以x3可以化为,其中,,则所以,。
故答案为E。
本题的核心是分式的变形。
15.
A.16(98+1) √
B.8(98+1)
C.2(98-1)
D.4(98+1)
E.32(98+1)
[考点]多项式
[解析]分子中的4可以写成2(3-1),
分数的分子=2(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=2(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=2(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)
=2(38-1)(38+1)(316+1)=2(332-1)=2(916-1)=2(98+1)(98-1),
,故原分数=16(98+1)。
本题的关键是分子的变形,化成平方差。
16.若实数a、b、c,满足,则abc=______
A.-4
B.
C.
D.
E.3
A. √
B.
C.
D.
E.
[考点]绝对值、根式与完全平方式
[解析]由绝对值、二次根式、平方非负可知,由于,故可知
17.若三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三个不同买根x1、x2、x3满足:
x1+x2+x3=0,x1x2x3=0,则下列关系式中恒成立的是______
A.ac=0
B.ac<0 √
C.ac>0
D.a+c<0
E.a+c>0
[考点]一元二次方程
[解析]由x1x2x3=0可知,x1、x2、x3中必有一个为0,则令x3=0,由于x3是原方程的根,所以将x3=0代入原方程可得d=0,则原方程为:
ax3+bx2+cx=0可得x(ax2+bx+c)=0,所以x=0,(即x3=0)或ax2+bx+c=0,由x1+x2+x3=0知,x1+x2=0,因此x1、x2互为相反数,则x1x2<0。
由韦达定理可知,,即ac<0。
18.若,则
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E. √
[考点]普通方程
[解析]方法一:
方法二:
也可先求原式的倒数,再求解原式的值:
故原式=。
学会配方。
19.一次考试有20道题,做对一题得8分,做错一题扣5分,不做不计分。
某同学共得13分,则该同学没做的题数是______
A.4
B.6
C.7 √
D.8
E.9
[考点]不定方程
[解析]设做对x题,做错y题,则,可得8x=13+5y,5y可以被5整除,13÷5=2…3,则8x÷5余数也为3,可得x=6。
解得则没做的题为20-6-7=7。
20.3x2+bx+c=0(c≠0)的两个根为α、β。
如果又以α+β、αβ为根的一元二次方程是3x2-bx+c=0。
则b和c分别为______
A.2,6
B.3,4
C.-2,-6
D.-3,-6 √
E.以上结论均不正确
[考点]一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
[解析]由韦达定理得,
韦达定理:
x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则
21.方程|2x+1||=4的根是______
A.x=-5或x=1
B.x=5或x=-1
C.
D.
E.不存在
A.
B.
C. √
D.
E.
[考点]绝对值方程
[解析]|x-|2x+1||=4,则x-|2x+1|=±4。
当x-|2x+1|=4时,|2x+1|=x-4,即2x+1=x-4或2x+1=4-x,解得x=-5或x=1。
对于绝对值方程|2x+1|=x-4,由于|2x+1|≥0,可知x-4≥10,即x≥4。
因为x=-5和x=1不在x≥4的范围内,所以x-|2x+1|=4无解。
当x-|2x+1|=-4时,|2x+1|=x+4,即2x+1=x+4或2x+1=-x-4,解得x=3或。
故原绝对值方程的根为x=3或
22.已知实数a、b、x、y满足和,则3x+y+3a+b=______
A.25
B.26
C.27
D.28 √
E.29
[考点]绝对值方程
[解析]得出即,由于|x-2|≥0,,a2≥0,b2≥0,所以,解得x=2,a=b=0,将x=2,a=b=0代入y-1=|x-2|+b2中,解得y=1,所以3x+y+3a+b=32+1+30+027+1=28。
将y-1作为中间量,建立两个绝对值方程的联系。
23.若关于x的二次方程mx2-(m-1)x+m=5=0有两个实根α、β,且满足-1<a<0和0<β<1,则m的取值范围是______
A.3<m<4
B.4<m<5 √
C.5<m<6
D.m>d或m<5
E.m>5或m<4
[考点]一元二次方程的根与图象之间的关系
[解析]根据已知条件,可得到抛物线图象,如图所示:
由图象可知:
解得4<m<5。
24.设a与b之和的倒数的2007次方等于1,a的相反数与b之和的倒数的2009次方也等于1。
则a2007+b2009______
A.-1
B.2
C.1 √
D.0
E.22007
[考点]普通方程
[解析]根据题意
25.方程的两根分别为等腰三角形的腰a和底b(a<b),则该等腰三角形的面积是______
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C. √
D.
E.
[考点]如何求解一元二次方程的根
[解析]原方程可化为:
,则方程的两根分别为1,,因为a<b,所以a=1,b=,得到面积为
用因式分解法求一元二次方程的根。
26.某学生在解方程时,误将式中的x+1看成x-1,得出的解为x=1,那么a的值和原方程的解应是______
A.a=1,x=7
B.a=2,x=5
C.a=2,x=7
D.a=5,x=2
E.
A.
B.
C. √
D.
E.
[考点]普通方程
[解析]由于某学生误将式中的x+1看成了x-1,即把原方程看成了,由已知条件可知,x=1是的解,所以将x=1代入中,得到a=2,再将a=2代入原方程中,得到x=7。
27.设a、b、c为整数,且|a-b|20+|c-a|41=1,则|a-b|+|a-c|+|6-c|=______
A.2 √
B.3
C.4
D.-3
E.-2
[考点]绝对值方程
[解析]利用特值法,令a=1,b=0,c=1,可满足|a-b|20+|c-a|41=1的这个条件,则|a-b|+|a-c|+||b-c|=2。
当题干中存在加减乘除结果一定的情况下,且这个量具有任意性时,可以去设特值,即将特殊的值进行代入,进而求解出问题的答案。
28.|3x+2|+2x2-12xy+18y2=0,则2y-3x=______
A.
B.
C.0
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E. √
[考点]绝对值方程
[解析]已知方程可化为|3x+2|+2(x-3y)2=0,由绝对值和平方非负,可得,所以
29.直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于______
A.16
B.18 √
C.20
D.22
E.不能确定
[考点]均值不等式
[解析]设直角三角形的两个直角边的边长分别为a、b,则a+b=12,直角三角形的面积为。
求面积的最大值,即求的最大值,由均值不等式可知,当两个直角边相等时,即a=b=6时,三角形的面积最大,所以面积最大为
利用均值不等式进行求解,当且仅当a=b时,等号成立。
30.若对一切实数x恒成立,则y的取值范围是______
A.1<y<3 √
B.2<y<4
C.1<y<4
D.3<y<5
E.2<y<5
[考点]均值不等式
[解析]将已知不等式化为,该不等式对一切实数x恒成立,则的最小值。
由均值不等式可知,,所以,则y2-4y+3<0,即(y-1)(y-3)<0,解得1<y<3。
31.若不等式组的解集是-1<x<1,则(a+b)2006=______
A.0
B.1 √
C.2
D.3
E.4
[考点]普通不等式
[解析]解不等式组可得,因此a=-1,b=2,故(a+b)2006=(-1+2)2006=1。
32.若关于x的不等式组有解,则实数a的取值范围是______
A.a<4
B.a>4 √
C.a=4
D.0<-4
E.a>-4
[考点]普通不等式
[解析]整理不等式组得因为x有解,所以可得,即a>4。
33.已知p>0,q>0,p、q的等差中项为,且,则x+y的最小值为______
A.6
B.5 √
C.4
D.3
E.2
34.某商品的定价为200元,受金融危机的影响,连续两次降价20%后的售价为______
A.114元
B.120元
C.128元 √
D.144元
E.160元
[考点]利润问题
[解析]某商品的定价为200元,第一次降价20%后的价格为200(1-20%),第二次又降价20%后的价格是在第一次降价的基础上又降了20%,即200(1-20%)(1-20%)=128元。
35.某新鲜水果的含水量为98%,一天后的含水量降为97.5%。
某商店以每斤1元的价格购进了1000斤新鲜水果,预计当天能售出60%,两天内售完。
要使利润维持在20%,则每斤水果的平均售价应定为______
A.1
B.1
C.1 √
D.1
E.1
[考点]利润问题
[解析]第一天售出1000×60%=600斤,还剩1000-600=400斤,干果质量为400(1-98%)=8,一天后,水果的水分流失,而干果质量不变。
设第二天水果中的水的质量为x,则,所以第二天水果的总质量为312+8=320斤,则所求平均售价
36.打印一份资料,若每分钟打30个字,需要若干小时打完。
当打到此材料的时,打字效率提高了40%,结果提前半小时打完。
这份材料的字数是______个。
A.4650
B.4800
C.4950
D.5100
E.5250 √
[考点]工程问题中提高效率问题
[解析]在完成剩下的材料过程中,打字效率提高40%,原速度:
提速后速度=5:
7,由于完成相同剩下的材料,即工作总量一定,因此所用时间比为7:
5,时间减少2份所对应的时间为30分钟,即1份对应时间15分钟,原时间7份对应时间105分钟,即剩下的工作总量所用时间为105分钟。
剩下的工作总量=效率×时间=30×105=3150,那么所有工作总量=
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