期中复习常见一元二次方程实际问题归类培优学案横版.docx
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期中复习常见一元二次方程实际问题归类培优学案横版
一元二次方程与实际问题
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
全国人教版新课标
课时时长(分钟)
60分钟
知识点
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤
2、列一元二次方程解决实际问题的常见题型
3、列一元二次方程解实际问题的注意事项
学习目标
一、知识与技能
1、知道一元二次方程解应用题的一般步骤,会根据题意列一元二次方程,联系实际求出问题的解;
2、对一元二次方程实际问题的常见题型有一个整体性的了解,给定一个题型要知道属于哪种类型,并会用相应的方法解题;
3、知道列一元二次方程的一些注意事项,减少错误的发生。
过程与方法
1、以学生为主,带领学生复习巩固,当学生遇到想不起来或者记忆不太清的知识点需要重点复习;
2、把握重难点、考点结合学生的实际以及期中考试的热点问题、经典例题进行针对性的巩固训练;
3、引导学生将实际问题转化为一元二次方程的问题,让其总结归纳不同类型题目的解题方法;
4、对不同类型题目进行摸底训练,看其掌握了多少,再根据实际情况加以辅导。
二、情感、态度与价值观
1、让学生对方程在生活中的运用有一个整体认知,灌输方程思想;
2、让学生养成从特殊到一般,从简单到复杂的学习方法;
3、形成对实际问题的处理能力,形成解题技巧,树立对解决此类问题的信心;
4、通过一元二次方程解决身边的实际问题,体会知识运用的价值。
学习重点
列一元二次方程解决实际问题的常见题型
学习难点
如何列一元二次方程
学习过程
一、复习预习
1.形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.配方的原理及过程
原理:
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2.
过程:
以方程2x2-3x-1=0为例.
第一步:
二次项系数化为1,移项得x2-
x=
,即x2-2×x×
=
;
第二步:
方程两边同时加上(
)2,x2-2×x×
+(
)2=
+(
)2.
第三步:
完成配方,(x-
)2=
.
通过配方,方程的左边变形为含x的完全平方形式(mx+n)2=p(p≥0),可直接开平方,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.这样解一元二次方程的方法叫做配方法.
3.用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)把二次项系数化为1;
(2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项;
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(4)用直接开平方法求出方程的根.
4.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.求根公式是:
x=
(b2-4ac≥0).
5.利用求根公式解一元二次方程的步骤:
(1)把方程化为一般形式,确定a、b、c的值;
(2)计算b2-4ac的值;
(3)若b2-4ac≥0,则代入求根公式求解.
6.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
(1)当b2-4ac>0时,方程有实数根:
;
(2)当b2-4ac=0时,方程有实数根:
x1=x2=
;
(3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根.
7.因式分解法
解方程x2-x=0.
方程左边x2-x可以分解因式:
x2-x=x(x-1),于是:
x=0或x-1=0.所以x1=0,x2=1.
上述解法过程中,不是不用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
8.因式分解法解一元二次方程的主要步骤:
(1)将方程化成右边等于0的形式;
(2)将方程左边分解因式(两个一次因式的积),方程化成(ax+m)(bx+n)=0的形式;
(3)由ax+m=0或bx+n=0得出方程的根.
9.直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比
形如x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0)的用直接开方法解.因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的,对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根,可考虑因式分解法或公式法.
二、知识讲解
考点/易错点1
列一元二次方程解应用题的一般步骤
与列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤也归结为:
审、设、列、解、检验、答.
(1)审:
是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系.
(2)设:
是指设元,也就是设未知数.
(3)列:
就是列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程.
(4)解:
就是解方程,求出未知数的值.
(5)检验:
是指检验方程的解能否保证实际问题有意义.
(6)答:
就是写出答案.
考点/易错点2
列一元二次方程解决实际问题的常见题型
(1)销售问题;
①销售问题的基本常见公式:
利润=售价-成本(注:
没有特殊说明成本=进价);利润率=利润÷成本;
②导出公式:
售价=成本x(1+利润率)
成本=售价÷(1+利润率)
利润率=利润÷(售价-利润)
③打折销售中有:
售价=标价X折扣
技巧:
一般都是通过题意用含有未知数的式子表示出公式中各部分,然后根据公式将它们组合在一起,通过化简整理即可得到实际问题的一元二次方程;另外“涨价了,卖的东西少”的问题可全化为1来解决问题,例如,每增加2元钱,少卖5件商品,可以看成每增加1元,少卖2.5件,这样设未知数是,每增加x元,少卖2.5x件。
(2)数字问题;
解数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数,一般采用间接设元法,如有关三个连续整数(或连续奇数,连续偶数)的问题,一般设中间一个数为x,再用含x的代数式表示其余两个数。
(3)面积问题;
利用两种不同的算法求图形的面积:
①一种利用特殊图形(三角形,长方形,正方形等)的面积公式求;
②一种利用面积的加减求。
(4)平均增长(降低)率问题.
①较小的数×
=较大的数;
②较大的数×
=较小的数。
(5)行程问题:
①记住几个常用公式,相遇问题,相距路程等于两人路程和;
②追及问题,相距距离等于两人路程差。
(6)工程问题:
甲乙两人工作总量等于"1".
考点/易错点3
列一元二次方程解实际问题的注意事项
(1)要搞清现实生活中的一些数量关系,例如:
距离=速度×时间,工作量=工作效率×工作时间,溶质重量=溶液重量×浓度等等.
(2)还有一些关键词语也要搞清,如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等.对于“增长率”问题,要注意区分“增”与“减”,如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等,都是在原来基数上减少,不能与增加混淆.
(3)列方程解应用题时,要对所求出的未知数进行检验,检验的目的有两个:
其一,检验求出来的未知数的值是否满足方程;其二,检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求,对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去.
三、例题精析
【例题1】
【题干】(巴中)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?
定价为多少元?
【答案】100个,60元.
【解析】解:
设每个商品的定价是x元,
由题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2000,
整理,得x2-110x+3000=0,
解得x1=50,x2=60.
当x=50时,进货180-10(50-52)=200个>180个,不符合题意,舍去;
当x=60时,进货180-10(60-52)=100个<180个,符合题意.
答:
当该商品每个定价为60元时,进货100个.
【例题2】
【题干】如果两个连续偶数的积为288,那么这两个数的和等于____________________.
【答案】34或-34.
【解析】解:
设中间一个偶数为x,另一个偶数为x+2,
根据题意得:
x(x+2)=288,即x2+2x=288,
配方得:
x2+2x+1=289,即(x+1)2=289,
解得:
x+1=±17,
解得:
x=16或x=-18,
∴两个偶数为16,18或-18,-16,
则之和为34或-34.
故答案为:
34或-34。
【例题3】
【题干】用一块长方形的铁片,在它的四个角上各自剪去一个边长是4cm的小正方形,然后把四边折起来,恰好做成一个没有盖的盒子,已知铁片的长是宽的2倍,做成盒子的容积是1536cm3,求这块铁片的长和宽。
【答案】宽为20cm,长为40cm.
【解析】解:
设铁片的宽为xcm,则长为2xcm.
根据题意得4(2x-8)(x-8)=1536,
整理得x2-12x-160=0,
解得x1=20,x2=-8(不合题意舍去)
当x=20时,2x=40.
答:
铁片的宽为20cm,长为40cm.
【例题4】
【题干】植树造林是造福子孙后代的善义之举,某中学师生从2005年到2008年四年内共植树1999棵,已知该校2005年植树344棵,2006年植树500棵,如果2006年到2008年的植树棵数的年增长率相同,那么该校2008年植树多少棵?
【答案】605棵.
【解析】解:
设该校两年植树棵数的年增长率为x,根据题意得
344+500+500(1+x)+500(1+x)2=1999,
解得x1=0.1=10%,x2=-3.1(舍去),
则500(1+10%)2=605.
答:
2008年植树605棵.
【例题5】
【题干】(安庆二模)为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程,其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
【答案】10个月.
【解析】解:
设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要(x-5)个月,由题意,得
x(x-5)=6(x+x-5),
解得:
x1=2(舍去),x2=15.
∴乙队单独完成这项工程需要15-5=10个月
答:
甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月.
【例题6】
【题干】一汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车.
(1)从刹车到停车用了多少时间?
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
(3)刹车后汽车滑行16m时约用了多少时间?
【答案】
(1)2.5s
(2)8m(3)1s.
【解析】解:
(1)25÷
=2.5(s);
答:
从刹车到停车用了2.5s.
(2)
=8(m);
答:
从刹车到停车平均每秒车速减少8m.
(3)设刹车后汽车滑行16m时约用了xs时间,
•x=16,
解得x=1或4,
但是4>2.5,
所以x=1,即刹车后汽车滑行16米用了1秒.
刹车后汽车滑行16m时约用了1s.
【例题7】
【题干】(尤溪县质检)某商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:
信息1:
甲、乙两种商品的进货单价之和是3元;
信息2:
甲商品零售单价比进货单价多1元,乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元;
信息3:
按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件,共付了12元.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求甲、乙两种商品的零售单价;
(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件.经调查发现,甲种商品零售单价每降0.1元,甲种商品每天可多销售100件.商店决定把甲种商品的零售单价下降m(m>0)元.在不考虑其他因素的条件下,当m为多少时,商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1700元?
【答案】
(1)2元和3元
(2)0.5元.
【解析】解:
(1)假设甲、种商品的进货单价为x,y元,乙种商品的进货单价为y元,
根据题意可得:
,
解得:
,
故甲、乙零售单价分别为2元和3元;
(2)根据题意得出:
(1-m)(500+100×
)+1×1200=1700,
即2m2-m=0,
解得m=0.5或m=0(舍去).
答:
当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元.
四、课堂运用
【基础】
1.2008年爆发的世界金融危机,是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机.受金融危机的影响,某商品原价为200元,连续两次降价a%后售价为148元,下面所列方程正确的是().
A.200(1+a%)2=148B.200(1-a%)2=148
C.200(1-2a%)=148D.200(1-a2%)=148
2.(新疆)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
3、(厦门模拟)某商店以每件16元的价格购进一批商品,物价局限定每件商品的利润不得超过30%.
(1)根据物价局规定,此商品每件售价最高可定为多少元?
(2)若每件商品售价定为x元,则可卖出(170-5x)件,商店预期要盈利280元,那么每件商品的售价应定为多少元?
4.(龙湖区模拟)参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场,共有多少个队参加比赛?
5.一两位数,数字之和是9,如将个位数字,十位数字对调与原数相乘的结果是1458,设十位数字为x,则列方程为_________________________.
【巩固】
1.(鞍山)小华将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元来购买学习用品,剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入银行,若存款的年利率又下调到原来的一半,这样到期后可得本息和63元,求第一次存款的年利率(不计利息税).
2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店要想每天赚400元,需要卖出多少件商品,每件商品的售价是多少元?
3.如图所示,△ABC中,∠B=90°,点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经多长时间,使△PBQ的面积等于8cm2.
4.(新疆)如图,某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走,乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时,甲恰好到点O处.若两人继续向前行走,求两个人相距85m时各自的位置.
.
5.张家港永安旅行社为吸引市民组团去普陀山风景区旅游,推出了如下收费标准:
(1)现有一个35人的团队准备去旅游,人均旅游费为_______元.
(2)某单位组织员工去普陀山风景区旅游,共支付给永安旅行社旅游费用27000元,请问:
该单位这次共有多少员工去普陀山风景区旅游?
6.(深圳模拟)某学校规定,该学校教师的每人每月用电量不超过A度,那么这个月只需交10元电费,如果超过A度,则这个月除了仍要交10元用电费外,超过部分还要按每度
元交费.
(1)胡教师12月份用电90度,超过了规定的A度,则超过的部分应交电费多少元?
(用含A的代数式表示)
(2)下面是该教师10月、11月的用电情况和交费情况:
月份
用电量(度)
交电费总额(元)
10月份
45
10
11月份
80
25
根据上表数据,求A值,并计算该教师12月份应交电费多少元?
【拔高】
1.(梧州)商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现,当每件商品售价为130元时,每天可销售70件,当每件商品售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此规律,请回答:
(1)当每件商品售价定为170元时,每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少?
(2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到1600元?
(提示:
盈利=售价-进价)
2.(温州模拟)今年小芳家添置了新电器.已知今年5月份的用电量是240千瓦时.
(1)若今年6月份用电量增长率是7月份用电量增长率的1.5倍,设今年7月份用电量增长率为x,
补全下列表格内容(用含x代数式表示)
月份
6月份
7月份
月增长率
x
用电量
(单位:
千瓦时)
(2)在
(1)的条件下,预计今年7月份的用电量将达到480千瓦时,求今年7月份用电量增长率x的值.(精确到1%)
(3)若今年6月份用电量增长率是7月份用电量增长率的n倍,6月份用电量为360千瓦时,预计今年7月份的用电量将不低于500千瓦时.则n的最大值为____________.(直接写出答案).
3.(镇江一模)小辉身高1.65米,他在体质健康卡上填写的是165厘米,其实这是度量单位引起的数值变化:
以1米为度量单位,那么他的身高就是1.65个度量单位,以1厘米为度量单位,那么他的身高就是165个度量单位.
商场某种电器商品,平均每天可销售30件,每件盈利200元.为了刺激消费,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价20元,商场平均每天可多售出4件.问每件商品降价多少元时,商场日盈利5880元?
(1)可选择不同的度量单位列出方程
方法1:
以1元为1个度量单位,设每件商品降价x元.根据题意,请列出方程:
_________________①
方法2:
以20元为1个度量单位,设每件商品降价x个20元.根据题意,请列出方程:
__________②
(2)请选择你所列的方程①或②,求出问题的解.
课程小结
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