行程问题相遇问题和追及问题地解题技巧.docx
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行程问题相遇问题和追及问题地解题技巧
行程问题、相遇问题和追及问题的解题技巧
一、行程问题、相遇问题和追及问题的核心公式:
行程问题最核心的公式“速度=路程÷时间”。
由此可以演变为相遇问题和追及问题。
其中:
相遇时间=相遇距离÷速度和,
追及时间=追及距离÷速度差。
速度和=快速+慢速
速度差=快速-慢速
二、相遇距离、追及距离、速度和(差)及相遇(追及)时间的确定
第一:
相遇时间和追及时间是指甲乙在完成相遇(追及)任务时共同走的时间。
第二:
在甲乙同时走时,它们之间的距离才是相遇距离(追及距离)分为:
相遇距离——甲与乙在相同时间内走的距离 之和;S=S1+S2
甲︳→S1→∣←S2←︳乙
ACB
追及距离——甲与乙在相同时间内走的距离 之差
甲︳→S1←∣乙→S2︳
ABC
在相同时间内S甲=AC,S乙=BC距离差AB=S甲-S乙
第三:
在甲乙同时走之前,不管是甲乙谁先走,走的方向如何?
走的距离是多少?
都不影响相遇时间和追及时间,只是引起相遇距离和追及距离的变化,具体变化都应视情况从开始相距的距离中加减。
简单的有以下几种情况:
三、例题:
(一)相遇问题
(1)A、B两地相距1000千米,甲车从A地开出,每小时行120千米,乙车从B地开出,每小时走80千米。
若两车从A、B两地同时开出,相向而行,T小时相遇,
则可列方程为 T =1000/(120+80) 。
甲︳→S1→∣←S2←︳乙
ACB
解析一:
①此题为相遇问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③甲乙在同时走时相距1000千米,也就是说甲乙相遇的距离为1000千米;
④利用公式:
相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式T =1000/(120+80)
解析二:
甲乙相距的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。
相距的距离=甲车走的距离+乙车走的距离
根据等量关系列等式1000=120*T+80*T
(2)A、B两地相距1000千米,甲车从A地开出,每小时行120千米,乙车从B地开出,每小时走80千米。
若甲车先从A地向B开出30分钟后,甲乙两车再相向而行,T小时相遇,
则可列方程为1000-120*30/60=(120+80)*T
甲︳→S1→∣→︳←︳乙
ACDB
解析一:
①此题为相遇问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③由于甲车先向乙走30分钟,使甲乙间的实际距离变短,甲乙在同时走时实际相距(1000-120*30/60)千米,也就是说甲乙相遇的距离实为940千米;
④利用公式:
相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式T=(1000-120*30/60)/(120+80)
解析二:
甲车先走20分钟到C点,这时甲乙两车实际相距距离CB为(1000-120*30/60)千米,CB间的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。
相遇距离=(开始两车相距的距离-甲车先走的距离),相遇距离=(甲车的速度+乙车的速度)*T
(1000-120*30/60)=(120+80)*T
(3)A、B两地相距1000千米,甲车从A地开出,每小时行120千米,乙车从B地开出,每小时走80千米。
若乙车先从B地向A开出20分钟后,甲乙两车再相向而行,T小时相遇,则可列方程为1000-120*20/60=(120+80)*T
甲︳→∣相遇←乙︳→乙先走←︳乙
ADCB
解析一:
①此题为相遇问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③甲乙在同时走时相距AC(1000-120*20/60)千米,也就是说甲乙相遇的距离实为960千米;
④利用公式:
相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式T=(1000-120*20/60)/(120+80)
(4)A、B两地相距1000千米,甲车从A地开出,每小时行120千米,乙车从B地开出,每小时走80千米。
若甲车先从A地背向B开出10分钟后到C(或乙车先从B地背向A开出10分钟后到D),甲乙两车再相向而行,T小时相遇,则可列方程为T=(1000+120*10/60)/(120+80)
︳←︳甲乙︳︳
CABD
解析一:
①此题为相遇问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③由于甲车先背向乙走了10分钟,使甲乙间的实际距离变长,甲乙在同时向相而行时实际相距(1000+120*10/60)千米,也就是说甲乙相遇的距离实为1020千米;
④利用公式:
相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式T=(1000+120*10/60)/(120+80)
解析二:
乙车先背向甲而行同甲
(5)A、B两地相距1000千米,甲车从A地开出,每小时行120千米,乙车从B地开出,每小时走80千米。
若甲车先从A背向乙走10分钟到C,乙车也从B背向甲走30分钟到D后,甲乙两车再相向而行,T小时相遇,
则可列方程为T=(1000+120*10/60+80*30/60)/(120+80)
︳←︳甲乙︳→︳
CABD
解析一:
①此题为相遇问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③由于甲乙两车先分别背向而行走了10分钟和30分钟,使甲乙间的实际距离变长,甲乙在同时走时实际相距(1000+120*10/60+80*30/60)千米,也就是说甲乙相遇的距离实为CD=1060千米;
④利用公式:
相遇时间=相遇距离÷速度和
根据等量关系列等式
T=(1000+120*10/60+80*30/60)/(120+80)
归纳总结:
不管甲乙两车在同时走之前谁先行(或同时行),
只要是相向而行,就会造成实际相遇距离变短,在确定相遇距离时,需用原始相距距离减去某车先行距离;
只要是相背而行,就会造成实际相遇距离变长,在确定相遇距离时,需用原始相距距离加上某车先行距离;
(二)追及问题
(1)A、B两地相距1000千米,甲车从A地开出,每小时行120千米,乙车从B地开出,每小时走80千米。
若甲乙两车同时开出,同向而行,甲(快车)在乙(慢车)后面,T小时后快车追上乙车,
可列方程为 T=1000/(120-80)
解析一:
甲︳→S1∣乙→︳
ABC
①此题为追及问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③在甲乙同时走时相距1000千米,也就是说甲乙追及的距离为1000千米;
④利用公式:
追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T=1000/(120-80)
解析二:
①甲乙在同时出发前相距1000千米为甲追上乙多走的距离,应确定为追及距离
②甲每小时比乙多走了(120-80)千米,
③求追及时间,实际上是求1000千米中有T个(120-80)
(2)若甲乙两车同时从A地出发,甲车的速度为每小时行120千米,乙车的速度为每小时走80千米。
乙(慢车)在(甲)快车后面,同向而行,T小时后甲与乙相距900千米,则可列方程为 T=900/(120-80)
解析一:
①此题为追及问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③由于甲乙速度不同,造成甲乙经T小时后相距900千米,也就是说甲乙追及的距离为900千米;
④利用公式:
追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T=900/(120-80)
A→
(3)若甲乙两车在长方形的跑道上同时从A地同向而行,甲车的速度为每小时行120千米,乙车的速度为每小时走80千米。
已知长方形跑道的周长为500千米,T小时后甲与乙相遇,则可列方程为T=500/(120-80)
解析一:
①此题为追及问题;
②甲乙共同走的时间为T小时;
③由于甲乙速度不同,只有甲经T小时多走一圈后才能追上乙,也就是说甲乙追及的距离为长方形的周长500千米;
④利用公式:
追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T=500/(120-80)
(4)甲乙同时从A地以40千米/小时速度同向出发,15分钟后,甲车因油量不足以90千米/小时需返回到A地加油,乙车继续原速前行,甲车在A地加油用了10分钟,随后甲车又以90千米/小时速度用了T小时追上乙车,可列方程为:
甲乙︳→S1∣乙→S2︳
ABC
解析一:
①此题为追及问题;
②甲追乙共同走的时间为T小时;
③由于甲乙同行15分钟产生距离AB=40*(15/60),甲在返回A地所用时间40*(15/60)/90小时和加油时间(10/60)小时乙车在依然前行,前行的距离为BC=40*【40*(15/60)/90+10/60】千米;则甲车追乙车实际距离为AC=40*(15/60)+40*【40*(15/60)/90+10/60】
④甲乙两车的速度差为(90-40)千米/小时
⑤利用公式:
追及时间=追及距离÷速度差。
根据等量关系列等式T={40*(15/60)+40*【40*(15/60)/90+10/60】}/(90-40)
归纳总结:
解追及问题的关键也在于确定追及时间和追及距离,具体同相遇问题。
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