高等数学作业题集版第六章多元函数微分学答案.docx
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高等数学作业题集版第六章多元函数微分学答案
高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案
一多元函数的基本概念
1.求下列定义域并画出草图:
x2y21
(1
)zxy)
(2)zarcsinarccos2
2
4xy
(3
)zln(yx)
(4)u
22
解:
(1){(x,y)x0,yx};
(2){(x,y)xy4};
***-*****
(3){(x,y)yx,x0,xy1}(4){(x,y,z)xyz,xyz1}
y22xyuuv
y解:
令xyu,v,由此得:
x
x1v1v
2.已知f(xy,)xy,求f(x,y)
u2uv2u2(1v)x2(1y)
)()故代入得:
f(u,v)(即:
f(x,y)1v1v1v1y
3.求下列各极限
(1)
1xy(2
)lim
(x,y)(0,1)x2y2(x,y)(0,0)lim
x2y2sin(xy)(3)lim(4)lim4
xxy4(x,y)(2,0)yy
解:
(1)
1xy1
1;
(x,y)(0,1)x2y21lim
(2
)
11
lim
(x,y)(0,0)(x,y)422lim
sin(xy)sin(xy)sin(xy)
limxlimlimx2
(x,y)(2,0)(x,y)(2,0)xy0x2yxyxylim
(3)
x2y2x2y***-*****
(4)由不等式04而()lim(22)0*****xxy2xy2yx2yxy
x2y2
0由加逼准则有lim4
xxy4y
4.证明下列极限不存在
x2yx2y
(1)lim
(2)lim
(x,y)(0,0)xy(x,y)(0,0)x4y2
证明:
(1)当(x,y)沿ykx(k1)趋于(0,0)时,
x2yx2kx12k
lim
(x,y)(0,0)xyx0xkx1kykx
lim
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
x2ykx4k
lim
(2)当(x,y)沿ykx趋于(0,0)时,lim2(x,y)(0,0)x4y2x0x4k2x41k2
2
ykx
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
二偏导数
1.求下列函数的偏导数
yx2y2
)(3)zexysin(xy)
(1)z
(2)zln(x2xxy
x2y2
(4)x(5)uxysin
z
yz
(6)f(x,t)解:
(1)z
xat
xat
(u)du为连续函数
z1y2xyx
zx12yyx
xy
yx
y2z2x2y
(2)yxxx(2x2y)2x
1
(3)
z1
2
yyx2xy2x
1zzxy
xexysin(xy)exycos(xy)yexysin(xy)ecosx(y)xy
(4)
zu
yzxy1xzu
xylnxzyz1yzu
xylnxyzlnyz
ux2y21x2y2
ysinxycos(5)xzzz
ux2y2x2y2ux2y242x2y2
xycosxsinxycos
zz2zyzzz
(6)fx(xat)(xat)2
.求函数f(x,y)exycos(
fta[(xat)(xat)]
2
x)(y1,1)处的偏导数fx解
:
f
y
(1,1)
(1,1)
f(x,1)xf(1,y)
y
x
x1(ecos
*****(y1)(y1
y1y
(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)
x
exsin
x)
x1
e
y1
4
xy2
3.设函数f(x,y)x2y4
0
(1)试计算fx(0,0),fy(0,0)
(2)讨论函数f(x,y)在(0,0)是否连续解:
(1)由偏导数的定义
f(0x,0)f(0,0)(x)2
fx(0,0)limlim0
x0x0xx
0(y)2
f(0,0y)f(0,0)02(y)4
fy(0,0)limlim0
y0y0yy
xy2ky4k
lim
(2)因为lim2,其极限值随k的不同而不同,所以极限2y0xy4y0k2y4y4k12
xky
(x,y)(0,0)
limf(x,y)不存在,从而函数f(x,y)在(0,0)处不连续.
z4
.曲线(1,1处的切线与y轴正向的夹角是多少?
x1
解:
设所求的角为,由偏导数的几何意义知
:
tan
zy
,所以.
65.设f(x,y,z)xy2yz解:
2
zx
2
,求fxx(0,0,1),fxz(1,0,2),fyz(0,1,0),fzzx(2,0,1)
fxy22zx
fxx2zfxz2x
2fxz
fy2xyz2fyz2zfz2yzx2(1,0,2)fy2z
(0,1,f0z)zx0
(
fzz2yfzzx0fxx(0,0,1)
23x23
6.设xy3xz,求,2,,3,
xyxxyzxyx
3
3
22
u1
解:
3x2y36xz2
xy2u19x2y22
xyy
2u
6xy36z22x3u
6y3x
3
3u
0
xyz
2r2r2r2
7
.验证:
r222
xyzr
r
证明
:
x
2r22y2z2
23xr2rx2z2
由对称性有:
y2r32rx2y2
z2r3
2r2r2ry2z2x2z2x2y22(x2y2z2)2r22
223*****xyzrrrrrr
三全微分及其应用
1.求函数z
xy
当x2,y1,x0.01,y0.03时的全增量和全微分
x2y2
解z
(20.01)(10.03)21
0.02822222
(20.01)(10.03)21
zy(y2x2)2x(xy2)2dz
zx(y2x2)
2
y(xy2)2
2
2
zz(yx)xy2(xyyx)22xy(xy)
1
0.027836
dz
x2y1x0.01y0.03
2.求下列函数的全微分
(1)uxyyzzx
(2)zarcsin
x
y
22
(3)zexysin(xy)(4)uxy3xz
33
xy
解
(1)
uy
xyyzzx(lnz)xx
y
z
x
uz
xyyzzx(lnx)yyzy
x
lnx)(
z
ux
xyyzzx(lny)zz
zlnz)d(duxy[
z
xyx
ln
y)dz]
(2)
zy
dz
zz
dxdy
xy
2
(3)
zzxy
xexysin(xy)exycos(xy)yexysin(xy)ecosx(y)xy
xy
y
y)xecosx(
dz[xesin(xy)d]x
xy
[yesinx(yxy)e
(ydycoxs
(4)
u13x2y36xz2xy
2
3
2
ux
3x3y22yyu
6x2zz
)dy62xzdz
du(3xy6xz
12x)dx(33xyy2
3
.证明函数f(x,y)证明因为
在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微
limf(x,y)x0y0
x0y0
0f(0,0),
所以f(x,y)在点(0,0)处连续.又
x0
lim
f(0x,0)f(0,0)
0,
x
所以fx(0,0)0.同样的fy(0,0)0,
所以f(x,y)
在点(0,0)处偏导数存在,而
lim
0
f[fxxfyy]
lim
xy
考虑点p(x,y)沿直线yx趋于(0,0)时,有
xylim
lim
x0y
0在点(0,0)处不
即f[fx(0,0)xfy(0,0)y]不是的高阶无穷小,
故f(x,y)可微.
4.在”充分”,”必要”,”充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内.
(1)f(x,y)在点(x,y)可微分是f(x,y);f(x,y)在点(x,y)连续是f(x,y)在该店可微的必要条件.
(2)zf(x,y)在点(x,y)的偏导数
zz,存在是f(x,y)该点可微分的必要条件,xy
zz,存在的充分条件.xy
zf(x,y)在点(x,y)可微分是f(x,y)在该点的偏导数
(3)函数zf(x,y)在点(x,y)的偏导数
zz,连续是是f(x,y)该点可微分的充分条件.xy
2z2z
(4)函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数,在区域D内连续是这两个二阶混
xyyx2z2z
合偏导数,在区域D内相等的充分条件.
xyyx
四多元复合函数的求导法则
1.设zxyxy,xe,ysint,求解:
2
2
t
dzdt
dzzdxzdy(2xy)et(2yx)cost(2etsint)et(2sintet)costdtxdtydt
dueax(yz)
zbcosxyasinx2.设u,其中,(a,b为常数),求22
dxab
duuudyudzeax(yz)eaxeax
解:
a2222acosx22(bsinx)
dxxydxzdxababab
eax2
(asinxabcosxacosxbsinx)2
2
ab
3.设zarctan
vzz,vxy,uxy,求,uxy
解:
zzuzvvuuvy
2222222xuxvxuvuvuvxy2zzuzvuv22yuyvyuv
x2xy
uuu,,r
2
222
4.设uxyz,xrcossin,yrsinsin,zrcos,求
解:
uuxuyuz2xcossin2ysinsin2zcosrxryrzr
2
2rcoss2inr22sin
2
sinr2
2cosr
2
2srin
2
2cros2
uuxuy2x(rsinsin)2yrcossinxy
2r2cossinsin22r2cossinsin20
uuxuyuz2xrcoscos2yrsincos2zr(sin)xyz
2r2cos2sincos2r2sin2sincos2r2sincos0
5.设uf(x2y2,exy),其中f具有一阶连续偏导数,求
uu,xy
解:
u
2xf1'yexyf2'xu
2yf1'xexyf2'y
6.设wf(xy,yz),其中f为可微函数,试验证:
xwxzwzywy解:
wxyf1
'
wyxf1'zf2'
'
'
wzyf2'
则:
xwxzwzxyf1zyf2ywy
u2u
7.设uyf(xy,xy),其中f为二阶连续可导,求,
xxy
2
解:
u
y[f1'2xyf2']x
2''xx2f'21f22
2u'
f1'2xy2f'[y1'f1
xy
'''
f1'4xy2fy(1f1
2
xy2
(xy2'1'f
2
''
)2]x2f
2
x)y12''f2
3
x2y22f
12z
8.若zf(xy)yf(xy),其中f为二次可微连续函数,试求
xxy
解:
z11
2f(xy)f'(xy)yyf'(xy)xxx
2z111
2f'(xy)xf''(xy)xyf'(xy)f'(xy)yf''(xy)xyxxx
yf''(xy)f'(xy)yf''(xy)
五方向导数与梯度
1.求函数zx2y2在(1,1)沿与x轴正向成60方向的方向导数。
解
z
2xxz12yel(cos60,sin60)(,y22zl
zx
(1,1)cos60
(1,1)
zy
(1,1)sin6012.试求uexyzx2y2在点(1,1,1)处沿曲线xt,切线正方向的方向导数。
解因为x1
'
y2t21,zt3在点(1,1,1)处
y'4tz'3t2所以s
(1,4t,3t2),
s
(1,1,1)
(1,4,3)
从而曲线在点(1,1,1)处切线方向的方向余铉为:
cos
又因为
u
x
(1,1,1)
(yzexyz2x)
(1,1,1)
e2,
uy
(1,1,1)
(xzexyz2y)
xye
xyz
(1,1,1)
e2,
uz
从而
(1,1,1)(1,1,1)
e,
ul
(1,1,1)
ux
(1,1,1)cos
uy
(1,1,1)cos
uz
(1,1,1)cos
222
3.求函数uxyz在球面xyz1上点M0(0,0,1)处的外法线方向的方向
导数。
解令F(x,y,z)xyz1Fx2x
2
2
2
0,0,1)在M0(Fy2yFz2z,
的外
法线方向的方向向量为(0,0,2),方向余铉为:
cos0,cos0,cos1
ul
(0,0,1)
ux
yx
(0,0,1)cos
uy
(0,0,1)cos
uz
(0,0,1)
cos1
4.设f(x,y)e,求grade.
yy
fyxf1x解2e,e则
xxyxyy
yx1x
grade2eiej
xx
y
x
yx
5.设f(x,y,z)xsin
的方向导数的最大值。
2
y
eyz,ardf求g2
102)(,并求函数f(x,y,z)在点(1,0,2)处
解gradf(fx,fy,fz)(2x,
1y5
coszeyz,yeyz)grad(f1,0,2)2,,0)222
f(x,y,
z)在点(1,0,2)处的方向导数的最大值为:
gradf(1,0,2)
2
2
2
6.设el(cos,sin),求函数f(x,y)xxyy在点(1,1)沿方向l的方向导数,并
分别确定角,使这导数有
(1)最大值;
(2)最小值;(3)等于0。
解
f
2xyxff
x2y
ly
(1,1)
(2xy(1,1)
cos(x
)
(1,1)
sin
因为cossin
(1)
)可见
4
45
(2)时,方向导数最小,最小值为437
(3)及时,方向导数等于0.
44
时,方向导数最大,
六隐函数及其微分法
1.设yexlny1,求
x
dydx
解:
设F(x,y)yelny1
Fxye
x
Fx1dyyex
Fye则
1ydxFyx
e
y
x
2.设exyxy,求
dxdy
xy
解:
F(x,y)e
xy
xyFxeyFye
xy
Fydxexyx
x则xy
dyFxey
z2z2z
3.设yzzxxy1,求,,2
xxxy
解:
F(x,y,z)yzzxxy1Fxzy
FyzxFzyx
Fzzy
xxFzyx
Fyzzx
yFzyx
(1
zzx
)(xy)(yz)
(1)(xy)(yz)
2zyyx
222
(xy)(xy)(xy)
2zzy
()xyyyx
zyz(xy)(yz)(xy)(yz)
2zzy2(yz)yx()x2xyx(xy)2(xy)2(xy)2
4.设xx(y,z),yy(x,z),zz(x,y)都是由方程F(x,y,z)0所确定的具有连续偏导数的函数,试证明:
xyz
1yzx
证明:
因为
FyxyFx
Fy
zzFyFz
xxFz
所以
FyFFxyz
()(z)(x)1yzxFxFyFz
5.设由方程Fxy,yz,zx0确定函数zzx,y,求
zz,.xy
解
Fz
xxFz
Fyz
而FzF2'F3'yFz
FxF1'F3'FyF1'F2'
FxF1'F3'z
则xFzF2'F3'FyF1'F2'z
yFzF2'F3'
6.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数
x2y2z250dydz
(1)设求,
dxdxx2y3z4
解:
方程组两边同时对x求导:
dy3xzdydz2x2y2z0dx3y2zdxdx
得:
dydz1230dzy2xdxdxdx3y2z
(2)设
uf(ux,vy)
2
vg(ux,vy)
其中f、g具有一阶连续偏导数,求
uv,xx
解:
方程组两边同时对x求偏导:
uv'u'
(xu)ff21xxx
得:
vuv
(1)g'2vyg'
12
xxx
u
'
uuf1'(12yvg2)f2'g1'x(1xf')(12yvg')f'g'1221
''''
(1xf)ggufv1111
''''x(1xf1)(12yvg2)f2g1
7.设xecosv,yeusinv,zuv,试求
zz
,xy
解:
zzuzvuvzzuzv
要求,xuxvxxxyuyvy
xeucosv则方程组两边同时对x求偏导,有:
u
yesinv
vuuu
1ecosve(sinv)xx
得:
uv0eusinveucosv
xxucosv
u
uvxe
要求,
vsinvyyxeu
u
xecosv
则方程组两边同时对y求偏导,有:
u
yesinv
vuuu
0ecosve(sinv)yy
得:
uv1eusinveucosvyyusinv
yeu
vcosveuy
zzuzvcosvsinv
vuu(u)eu(vcosvusinv)xuxvxee
zzuzvsinvcosvvuuueu(vsinvucosv)yuyvyee
七多元函数微分学的几何应用
1.求螺旋线xacos,解:
yasin,zb在点(a,0,0)处的切线与法平面方程。
dz
b,因(a,0,0,)对应于0d
dx
asind0
dyd
dy
acosda
dzd
dxd
000
xa0
b,所以在点(a,0,0,)处的切线方程为yz
ab
法平面方程为a(y0)b(z0)0即aybz0.
222
xyz6
2.求曲线在点(1,1,2)处的切线方程与法平面方程。
22
zxy
222
xyz6解:
由可确定两个一元隐函数,yy(x),zz(x),于是曲线在点(1,1,2)22
zxy
处的切向量为(1,
dydz
)dxdx
(1,1,2)
.方程组两边同时对x求导:
xdydydz2x2y2z0dyydxdxdx
得:
于是
dzdydx2x2ydz0dxdxdx
x1
y1z2
1
dzdx
x1y1z2
0
z2
从而切向量为(1,1,0),从而曲线在点(1,1,2)处的切线方程为x1y1
11
法平面方程为x1(y1)0即xy0.3.求出曲线xt,解:
因为x'1
yt2,zt3上的点,使在该点的切线平行于平面x2yz4。
z'3t2,所以曲线上任一点处的切线向量为:
s(1,2t,3t2)
y'2t
而已知平面的法向量为:
n(1,2,1).所以要使切线平行于平面,只需sn0
2
即:
14t3t0,得t1,t
1111.所以对应点为(1,1,1)或(,,).*****
4.求曲面2x3yezln(z1)0在点(1,2,0)处的切平面与法线方程。
解:
令F(x,y,z)2xyeln(z1)
3
z
Fx6x2FyezF
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- 高等数学 作业题 第六 多元 函数 微分学 答案