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概率分布以及期望和方差
上课时间:
上课教师:
上课重点:
掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差
上课规划:
解题技巧和方法
一两点分布
知识内容
⑴两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0p1,q1p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.二点分布举例:
某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果,则X的分布列满足二点分布.
X10
P0.80.2
两点分布又称01分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验,所以这种分布又称为伯努利分布.
(2)典型分布的期望与方差:
二点分布:
在一次二点分布试验中,离散型随机变量X的期望取值为p,
在n次二点分布试验中,离散型随机变量X的期望取值为np.
典例分析
,针尖向上;
1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令X
1
,如果针尖向上的
,针尖向下.
0
概率为p,试写出随机变量X的概率分布.
2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X表示“取到的
精选文库
,当取到白球时,
白球个数”,即X
1
,当取到红球时,,求随机变量X的概率分布.
0
3、若随机变量X的概率分布如下:
X
01
P
2
38C
9CC
试求出C,并写出X的分布列.
3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
0,(当第一次向上一面的点数不等于第二次向上一面的点数)
1,(当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数)
试写出随机变量的分布列.
4、篮球运动员比赛投篮,命中得1分,不中得0分,已知运动员甲投篮命
中率的概率为P.
⑴记投篮1次得分X,求方差D(X)的最大值;
⑵当⑴中D(X)取最大值时,甲投3次篮,求所得总分Y的分布列及Y的期望与方差.
二超几何分布
--2
精选文库
知识内容
将离散型随机量X所有可能的取xi与取的概率pi(i1,2,L,n)
列表表示:
Xx1x2
Pp1p2
⋯
⋯
xi
pi
⋯
⋯
xn
pn
一般地,有数N件的两物品,其中一有M件,从所有物品中任取n件(n≤N),n件中所含物品件数X是一个离散型随机量,它取m的概率
P(Xm)
CMmCnN
mM
(0
≤m
≤l,ln和M中小的一个).
CnN
我称离散型随机量
X的种形式的概率分布超几何分布,也称
X服
从参数N,M,n的超几何分布.在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同的概率P(Xm),从而列出X的分布列.超几何分布的期望和方差:
若离散型随机量X服从参数N,M,n的超几何分布,
(
)
nM
,D(X)
n(Nn)(NM)M.
E
X
N
N2(N1)
典例分析
例:
一盒子内装有10个球,其中3个旧的,7个新的,从中任意取4个,
取到新球的个数的期望是.
1.某人参加一次英口考,已知在的10道中,能答其
--3
精选文库
中的6题,规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试,每题分数为
20分,求他得分的期望值.
练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会,求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差.
练习3.在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次任取一个,并且取出不再放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数.求
,的期望值及方差.
三二项分布
--4
精选文库
知识内容
若将事件A生的次数X,事件A不生的概率q1p,那么在n次
独立重复中,事件A恰好生k次的概率是P(Xk)Cknpkqnk,其中
k0,1,2,L,n.于是得到X的分布列
X01⋯k⋯n
PC0np0qnC1np1qn1⋯Cknpkqnk⋯Cnnpnq0
由于表中的第二行恰好是二展开式
(qp)nC0np0qnC1np1qn1LCknpkqnkLCnnpnq0
各的,所以称的散型随机量X服从参数n,p的二分布,
作X~B(n,p).
二分布的均与方差:
若离散型随机量X服从参数n和p的二分布,
E(X)np,D(x)npq(q1p).
二分布:
若离散型随机量X服从参数n和p的二分布,E(X)np,
D(x)npq(q1p).
典例分析
二分布的概率算
例:
已知随机量
服从二分布,
1
2)等于
.
~B(4,),P(
3
1.甲乙两人行棋比,比采取五局三制,无哪一方先三局
比束,假定甲每局比的概率均2,甲以3:
1的比分的
3
概率()
A.8
B.64
C
.4
D
.8
27
81
9
9
2.某球运在三分投球的命中率是
1,他投球10
次,恰好投
2
3个球的概率
.(用数表示)
3.某人参加一次考,4道中解3道及格,已知他的解正
确率0.4,他能及格的概率_________(保留到小数点后两位小数)
接种某疫苗后,出反的概率0.80,有5人接种了疫苗,至
少有3人出反的概率
.(精确到0.01)
--5
精选文库
例题:
从一批由9件正品,3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率(结果保留2位有效数字).
练习1.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为
0.8000,有
四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需
要工人照看的概率是()
A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728
练习2.设在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若已知事件A至
少发生一次的概率等于65,求事件A在一次试验中发生的概率.
81
--6
精选文库
例题:
某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每
位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的
概率都是1.若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获
2
得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助.求:
⑴该公司的资助总额为零的概率;
⑵该公司的资助总额超过15万元的概率.
练习1.某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据
以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾
客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获
得利润250元.
⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
⑵求3位位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.
练习2.某万国家具城进行促销活动,促销方案是:
顾客每消费
1000元,便
--7
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可获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为1,若中奖,则家具城返还顾客
5
现金200元.某顾客消费了3400元,得到3张奖券.
⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率;⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.
例题:
设飞机A有两个发动机,飞机B有四个发动机,如有半数或半数以
上的发动机没有故障,就能够安全飞行,现设各个发动机发生故障的概率
p是t的函数p1et,其中t为发动机启动后所经历的时间,为正的常数,试讨论飞机A与飞机B哪一个安全?
(这里不考虑其它故障).
练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P,且各发动机
--8
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互不影响.如果至少50%的发动机能正常运行,飞机就可以顺利地飞行.问
对于多大的P而言,四发动机飞机比二发动机飞机更安全?
练习2.一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设
他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是1.
3
⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数,求的分布列;
⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数,求的分布列;
⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
二项分布的期望与方差
--9
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例题:
已知X~B(10,0.8),求E(X)与D(X).
练习1.已知X~B(n,p),E(X)
8,D(X)1.6,则n与p的值分别为(
)
A.10和0.8
B.20和0.4
C
.10和0.2
D
.100和0.8
练习
2.已知随机变量X服从参数为
6,0.4
的二项分布,则它的期望
E(X)
,方差D(X)
.
练习
3.已知随机变量X服从二项分布,且E(
)
2.4,D()
1.44,则二项分
布的参数n,p的值分别为
,
.
练习4.一盒子内装有10个乒乓球,其中3个旧的,
7
个新的,每次取一球,
取后放回,取4次,则取到新球的个数的期望值是
.
例题:
甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是
1,2,1.
3
5
2
⑴现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
⑵用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量
的概率分布及数学期望.
练习1.抛掷两个骰子,当至少有一个2点或3点出现时,就说这次试验成
功.
⑴求一次试验中成功的概率;
⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差.
练习2.某寻呼台共有客户3000人,若寻呼台准备了100份小礼品,邀请客户
在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问:
寻呼台能否向
每一位顾客都发出奖邀请?
若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少
应准备多少礼品?
四正态分布
--10
精选文库
知识内容
概率密度曲线:
样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X,则这条曲线称为X的概率密度曲线.
曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X落在指定的两个数a,b之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.
2.正态分布
⑴定义:
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的,而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布.
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量.
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
1
(x
)2
f(x)
e2
2,x
R,其中
,是参数,且
0,
2π
y
x=μ
Ox
.
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为、标准差为的正态分布通常记作N(,2).
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.
⑵标准正态分布:
我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布.
①正态变量在区间(,),(2,2),(3,3)内,取值的概
率分别是68.3%,95.4%,99.7%.
②正态变量在(,
)内的取值的概率为
1,在区间(3,
3)之外的取
值的概率是0.3%,故正态变量的取值几乎都在距
x
三倍标准差之内,这
就是正态分布的3原则.
若~N(
,2),f(x)为其概率密度函数,则称F(x)
P(≤x)
x
f(t)dt为概率
,2
x
1
t2
分布函数,特别的,
(x)
e2dt
为标准正态分布函数.
~N(01),称
π
2
P(x)(x
).
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得.
典例分析
(一)正态曲线(正态随机变量的概率密度曲线)
--11
精选文库
1.下列函数是正态分布密度函数的是()
2
1
(xr)
A.f(x)
e2
π
2
C.f(x)
1
(x1)2
πe
4
2
2
2πe
x2
B
.f(x)
2
2π
D
.f(x)
1
x2
e2
π
2
2.若正态分布密度函数f(x)
1
(x1)2
(xR),下列判断正确的是(
)
πe
2
2
A.有最大值,也有最小值
B
.有最大值,但没最小值
C.有最大值,但没最大值
D
.无最大值和最小值
x2
3.对于标准正态分布N0,1的概率密度函数fx
1
e2,下列说法不正确
2π
的是(
)
A.f
x为偶函数
B.f
x最大值为1
2π
C.f
x在x0
时是单调减函数,在x≤0时是单调增函数
D.f
x关于x
1对称
4.设的概率密度函数为f(x)
1
(x
1)2
2,则下列结论错误的是(
)
πe
2
A.P(
1)
P(
1)
B.P(1≤
≤1)P(
1
1)
C.f(x)的渐近线是x0
D.
1~N(0,1)
(二)求,
的取值以及概率
例题:
设X~N(,2),且总体密度曲线的函数表达式为:
1
x22x1
f(x)
e4,
2
π
xR.
⑴求,;⑵求P(|x1|
2)及P(1
2x122)的值.
练习1.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分
布,其密度函数为f(x)
1
(x80)2
200
,则下列命题中不正确的是(
)
e
10
2
A.该市这次考试的数学平均成绩为
80
分
B.分数在120分以上的人数与分数在
60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在
50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学标准差为10
(三)正态分布的性质及概率计算
--12
精选文库
例题:
设随机变量
服从正态分布N(0,1),a0,则下列结论正确的个数是
____.
⑴P(||
a)
P(||
a)
P(|
|a)
⑵P(||
a)
2P(
a)
1
⑶P(||
a)
12P(
a)
⑷P(||
a)1P(||a)
练习1.
已知随机变量X服从正态分布N(3,a2),则P(X3)
(
)
A.1
B.1
C.1
D.1
5
4
3
2
练习2.
在某项测量中,测量结果X服从正态分布N1,2
0
,若X在0,1
内取值的概率为
0.4
,则X在0,2内取值的概率为
.
练习3.
已知随机变量X服从正态分布N(2,2),P(X≤4)
0.84,则P(X≤0)
A.0.16
B
.0.32
C.0.68
D.0.84
练习4.
已知X~
N(
1,2),若P(3≤X≤-1)
0.4,则P(3≤X≤1)
(
)
A.0.4B.0.8C.0.6D.无法计算
加强训练:
1设随机变量服从正态分布N(2,9),若P(c2)P(c2),则c_______.
2设~N(0,1),且P(||b)a(0a1,b0),则P(≥b)的值是_______(用a表
示).
3正态变量X~N(1,2),c为常数,c0,若P(cX2c)P(2cX3c)0.4,求
P(X≤0.5)的值.
4某种零件的尺寸服从正态分布N(0,4),则不属于区间(4,4)这个尺寸范围
的零件约占总数的.
(四)正态分布的数学期望及方差
例题:
如果随机变量~N(,2),ED1,求P(11)的值.
(五)正态分布的3原则
--13
精选文库
例题:
灯泡厂生产的白炽灯寿命(单位:
h),已知~N(1000,302),要使灯
泡的平均寿命为1000h的概率为99.7%,则灯泡的最低使用寿命应控制在
_____小时以上.
练习1.一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差
为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少?
练习2.某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为
80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是______.
杂题(拓展相关:
概率密度,分布函数及其他)
练习3.
以Fx表示标准正态总体在区间
x内取值的概率,若随机变量
服从正态分布N
2,则概率P
等于(
)
A.F
F
B
.F1F
1
1
D
.2F
C.F
练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道题中,甲
能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随
机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差;
⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
课后练习
--14
精选文库
1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则
其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答)
2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反
面向上的次数为,则的数学期望是()
A.20B.25C.30D.40
3、某服务部门有n个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p,则该部门一天中平均需要
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