八年级数学竞赛题相似三角形.docx
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八年级数学竞赛题相似三角形
八年级数学竞赛题:
相似三角形
相似三角形的基本性质有:
1.对应角相等;
2.对应边成比例;
3.对应线段(高、中线、角平分线)之比等于相似比.
4.周长之比等于相似比;
5.面积之比等于相似比的平方.
相似三角形的性质,丰富了与线段、角、周长、面积等相关的知识和方法;扩展了研究角、面积等问题的视野.
例1如图,△ABC内有一点P,过P作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积S1、S2、S3分别为1、1、2,则△ABC的面积是___________.
例2一张等腰三角形纸片,底边长15cm,底边上的高的长为22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是().
A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张
例3某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m,20m的梯形空地上种植花木(如图1).
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/m2,当△AMD地带种满花后,共花了160元,请计算种满△BMC地带所需的费用;
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2和10元/m2,应选择种哪种花木,刚好用完所筹集的资金?
(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图2),请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC,并说出你的理由.
例4如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)求证:
△ABF≌△COE.
(2)当O为AC边中点,
=2时,如图②,求
的值;
(3)当D为AC边中点,
=n时,请直接写出
的值.
例5如图,已知直线l1的解析式为y=3x+6,直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,直线l2经过B、C两点,点C的坐标为(8,0),又已知点P在x轴上从点A向点C移动,点Q在直线l2上从点C向点B移动,点P、Q同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度,设移动时间为t秒.
(1)求直线l2的解析式;
(2)设△POQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式;
(3)试探究:
当t为何值时,△PCQ为等腰三角形?
1.如图,正方形ABCD边长是2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动,当DM=____________时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
2.如图,点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是________________.
3.如图,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若S△DOE:
S△COB=9:
16,则AD:
DB=___________.
4.在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形,使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角,其余顶点都在三角形的边上,则所作菱形的边长为________________.
5.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次是().
A.8,3B.8,6C.4,3D.4,6
6.如图,已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点,DE∥BC,且S△ADE:
S四边形DBCE=1:
3,那么AD:
AB等于().
A.
B.
C.
D.
7.如图,在□ABCD中,E为CD上一点,DE:
CE=2:
3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则S△ADE:
S△EBF:
S△ABF=().
A.4:
10:
25B.4:
9:
25C.2:
3:
5D.2:
5:
25
8.如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=3,若在边DC上有点P,使△PAD与△PBC相似,则这样的P点有()..
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.如图所示,某校计划将一块形状为锐角△ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长为120m,高AD长80m.学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分.现计划在△AHG上种草,在△BHE、△GFC上种花.问:
当FG长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等?
10.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;
(3)试问:
在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?
若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.
11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,两条对角线AC:
BD相交于O,若S△AOD:
S△COB=1:
9,那么S△BOC:
S△DOC=______________.
12.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB.若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2,则△ABC的面积为_____________.
13.如图,矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的1型模板如图放置,则矩形ABCD的周长为______________.
14.如图,梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2、q2,则梯形的面积为().
A.
B.
C.
D.
15.如图,△ABC中,CD⊥AB交AB于点D,有下列条件:
①∠A=∠BCD,②∠A+∠BCD=∠ADC;③
=
;④BC2=BD
BA.其中,一定能判断△ABC是直角三角形的共有().
A.0个B.1个C.2个D.3个
16.如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=
BC,CE=
AC,BE、AD相交于点F,连接DE,则下列结论:
①∠AFE=60°;②DE⊥AC;③CE2=DF
DA;④AF·BE=AE·AC.其中正确的结论有().
A.4个B.3个C.2个D.1个
17.如图,点E在正方形ABCD的边CD上运动,AC与BE交于点F.
(1)如图①,当点E运动到DC的中点时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;
(2)如图②,当点E运动到CE:
ED=2:
1时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;(3)当点E运动到CE:
ED=3:
1时,写出△ABF与四边形ADEF的面积之比;当点E运动到CE:
ED=n:
1(n是正整数)时,猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果,不要求写出计算过程);
(4)请你利用上述图形,提出一个类似的问题.
18.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,AB=4
,∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动的时间为t秒.
(1)求BC的长;.
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:
t为何值时,△MNC为等腰三角形.
应用探究乐园
19.已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足
(如图①所示).
(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图②所示),求线段PC的长;
(2)在图①中,连接AP,当AD=
,且点Q在线段AB上时,设点B、Q之间的距离为x,
=y,其中S△APQ表示△APQ的面积,S△PBC表示△PBC的面积,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域;
(3)当AD 三角形相似的条件 对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形.判定两个三角形相似的基本方法有: 两角对应相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 通过寻找(或构造)相似三角形,用以计算或论证的方法,我们称为相似三角形法,在计算线段的长度、证明角相等、证明线段成比例等方面有广泛的应用,是平面几何中应用最广泛的方法之一. 熟悉以下基本图形、基本结论: 问题解决 例1 (1)将三角形纸片(△ABC)按如图①所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF,已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似,那么EF的长度是______________. (2)如图②,△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=____________. 例2已知任意四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,且AB=CD.若只增加下列条件中的一个: ①AO=BO;②AC=BD;③ ;④∠OAD=∠OBC,一定能使∠BAC=∠CDB成立的可选条件是() A.②④B.①②C.③④D.②③④ 例3如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B= ,且DM交AC于F,ME交BC于G. (1)写出图中相似三角形,并证明其中的一对; (2)请连结FG,如果a=45°,AB=4 ,AF=3,求FG的长. 例4 (1)如图①,等边△ABC中,D为AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连结AE.求证: AE∥BC: (2)如图②,将 (1)中等边△ABC的形状改成为以BC为底边的等腰三角形,所作△EDC改成相似于△ABC,请问: 是否仍有AE∥BC? 证明明你的结论. 例5在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示. (1)如图①,在△ABC中,∠A=∠B,且∠A=60°,求证: a2=b(b+c); (2)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意的倍角△ABC,如图②,其中∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)是否仍然成立? 并证明你的结论. 1.如图,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上,若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB,则这个条件可以是_______________. 2.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别努AD、BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为_______________. 3.如图,点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线最多有_____________条. 4.已知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上,DE=3;连接BE与对角线AC相交于点M,则 的值是__________________. 5.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H,则图中共有相似三角形(). A.4对B.5对C.6对D.7对 6.如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长为(). A. B. C. D. 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线交BC的延长线于点E,则CE的长为(). A. B. C. D.2 8.直线DE与△ABC的AB边相交于点D,与AC边相交于E,下列条件: ①DE∥BC;②∠AED=∠B;③AE·AC=AD·AB;④ 中,能使△ADE与△ABC相似的条件有(). A.1个B.2个C.3个D.4个. 9.已知: Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB的中点,点C为折线OAB上的动点,线段PC把Rt△OAB分割成两部分.问: 点C在什么位置时,分割得到的三角形与Rt△OAB相似? (注: 在图中画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标). 10.取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为 的角(0°< ≤45°),得到△ABC′,如图②所示,试问: (1)当 为多少度时,能使得图②中AB∥CD? (2)当旋转至图③位置,此时 又为多少度? 图③中你能找出哪几对相似三角形,并求其中一对的相似比. (3)连结BD,当0°< ≤45°时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并说明理由. 11.如图,已知四边形ABCD为正方形,直角∠POQ的顶点在正方形对角线AC上,直角边分别交AB、BC于P、Q两点. (1)如图①,当点O在AC的中点时, =_______________; (2)如图②,当 时, =___________,并证明你的结论; (3)如图③,当 时, =___________,并证明你的结论. 12.如图,已知□ABCD中,过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G,若BE=5,EF=2,则FG的长是___________. 13.如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15m;分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处,向两侧地面上的E、D、B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆,那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为____________m. 14.如图,在□ABCD中,E、F分别是边AB、AD上的点,AC与EF交于点G, =________________. 15.如图: 矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点.DE⊥AM于E,则DE等于(). A. B. C. D. 16.如图,在△ABC中,∠BAC: ∠ABC: ∠ACB=4: 2: 1,AD是∠BAC的平分线,有如下三个结论: ①BC: AC: AB=4: 2: 1;②AC=AD+AB;③△DAC∽△ABC.其中正确的结论是(). A.①②B.②③C.①③D.①②③ 17.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的2倍,且AB=7,AC=8,则BC=(). A. B.10C. D. 18.如图;在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是中线,AE⊥BD,交BC于点E.求证: BE=2EC. 19.如图,H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BH=BQ,过B作HC的垂线,垂足为P.求证: DP⊥PQ. 20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点(不与B、C重合),EF⊥AB于F,EG⊥AC于G. (1)求证: (2)FD与DG是否垂直? 若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由; (3)当AB=AC中,△FDG为等腰直角三角形吗? 并说明理由. 21.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7, AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,点P不与点O、A重合,连结CP,过点P作PD交AB于点D. (1)求点B的坐标.; (2)当点P运动到什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标; (3)当点P运动到什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且 ,求这时点P的坐标.
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