高数第七章题库微分方程.docx
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高数第七章题库微分方程
第十二章微分方程答案
一、选择题
1.以下不是全微分方程的是C1
A.(x2
y)dx
(x2y)dy
0
B.
(y
3x2)dx
(4y
x)dy
0
C.3(2x3
3xy2)dx
2(2x2y
y2)dy
0D.
2x(yex2
1)dx
ex2
dy
0
2.若y3是二阶非齐次线性方程
(1):
y
P(x)yQ(x)
f(x)的一个特解,
y1,y2是对应
的齐次线性方程
(2)的两个线性没关的特解,那么以下说法错误的选项是(
c1,c2,c3为随意常数)
C
2
A.c1y1
c2y2是
(2)的通解
B.
c1y1
y3是
(1)
的解
C.c1y1
c2y2
c3y3是
(1)的通解
D.
y2
y3是
(1)
的解
3.以下是方程xdxydy
x2
y2dx的积分因子的是D
2
A.x2
y2
B.
1
y2
C.
x2
y2
D.
1
y2
x2
x2
d3y
x
d2y
2x
1的通解应包括得独立常数的个数为
(B
).
1
4.方程
e
dx2
e
dx3
(A)2
(B)3
(C)4
(D)0
5.已知方程y'p(x)y
0的一个特解
ycos2x,则该方程知足初始特解
y(0)2的特
解为(C
).
2
(A)
ycos2x
2
(B)
y
cos2x
1(C)
y
2cos2x(D)
y
2cosx
6.方程d3y
ex
d2y
e2x
1的通解应包括得独立常数的个数为
(B
).
1
dx3
dx2
(A)2
(B)3
(C)4
(D)0
7.设线性没关的函数
y1,y2,y3都是微分方程
y''p(x)y'
q(x)y
f(x)的解,则该方程
的通解为(D).2
(A)
y
c1y1
c2y2
y3
(B)
y
c1y1
c2y2
(c1
c2)y3
(C)
y
c1y1
c2y2
(1
c1
c2)y3
(D)
y
c1y1
c2y2
(1
c1c2)y3
8.设方程y''
2y'
3y
f(x)有特解y*
,则其通解为(
B
).
1
(A)
c1ex
c2e3x
(B)
c1ex
c2e3x
y*
(C)
c1xex
c2xe3x
y*
(D)
c1ex
c2e3x
y*
9.微分方程y'
ycotx
0的通解为(A
).
1
(A)
y
csinx(B)
y
c
(C)
y
ccosx
(D)
c
sinx
y
cosx
10.
方程y
cosx的通解为(C
)
1
(A)
y
sinxc1x
c2
(B)
y
sinx
c1x
c2
(C)
y
cosx
c1x
c2
(D)
y
cosx
c1x
c2
11.
y
ex的通解为(
C
)
1
(A)
ex
(B)
ex
(C)
ex
c1xc2
(D)
ex
c1x
c2
y
2
y
3
0
12.
微分方程
y
xy4
的阶是(
B
)
1
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
13.
以下微分方程中,属于可分别变量方程的是
(
C
)
1
(A)
xsin
xydx
ydy
0
(B)
y
ln
x
y
dy
xsiny
y
1y
ex
y
2
(C)
dx
(D)
x
14.方程
y
2y
0的通解是(
C
)
1
A.
ysin2x
;
B.
y
4e2x;
C.
y
ce2x
;
D.
yex
c。
15.以下函数中的(D)是微分方程式y7y12y0的解。
1
A.
yx3;
B.
yx2;C.
ye2x;D.
ye3x。
16.
以ex和exsin
x为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是(
D)
2
(A)y2y
y0
(B)y2y2y4
(C)y
y
0
(D)无这样的方程。
17.
y
2y
y
x2
1的特解y*可设为(C
)
2
(A)
y*
exAx2
Bx
C(B)
y*
Ax3
Bx2
Cx
D
(C)
y*
Ax2
Bx
C
(D)
y*
xex
Ax2
Bx
C
y
tcos2t
4y
sin2t的一个特解,则该方程的通解是(A
18.
若
4
是方程y
)
(A)y
t
(B)yc1sin2t
t
c1sin2t
c2cos2t4
cos2t
4
cos2t
(C)y
c1
c2t
2t
t
(D)y
2t
2t
t
e
4
cos2t
c1e
c2e
4
cos2t
19.
以下各微分方程中是一阶线性方程的是(
B
)
1
(A)xy
y2
x
(B)y
xy
sinx
(C)yy
x
(D)y2
xy0
20.
方程y
2y
5y
sin2x的特解可设为(
D
)
2
(A)y
x
asin2x
(B)y
asin2x
(C)y
x
asin2x
bcos2x
(D)yasin2x
bcos2x
二、
填空题
1、以y
c1
c2tc3t2
et(c1,c2,c3为随意常数)为通解的常微分方程是
d3y
3d2y
3dy
y0
2
dt3
dt2
dt
2、若1,x2,x4是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解,那么该方程的通解是
c1(x2
1)
c2(x4
1)1
(c1,c2为随意常数)
1
3.
微分方程dy
y2cosxdx的通解:
y
1
1
sinx
c
4.
微分方程xdy
ydx
y2eydy的通解是:
x
y(c
ey)
1
5.
微分方程ydx+(y-x)dy=0
的通解是
x
lny
c
2
:
y
6.以y
cos2x
sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是
y''
4y
0。
2
dy
y
y
f
u,
7.解形如dx
x
的微分方程,求解时可作的变量代换
x
yu
xu
1
8.微分方程y
4y
3y
0的通解y=
C1exC2e3x
1
9.微分方程y"+2yˊ+2y=0的通解是
y
ex
C1cosx
C2sinx
。
1
10、微分方程y
10y
34y
0的通解是
y
e
5x
(
c1
cos3
x
c2
sin3)
1
x
三、
计算题
1.解方程(x1)
dy
ny
ex(x
1)n
1,这里n为常数。
2
dx
解:
将方程改写为dy
n
y
ex(x
1)n。
dx
x
1
第一求齐次方程
dy
x
n
y
0
的通解为y
c(x
1)n
dx
1
再设y
c(x)(x
1)n,于是dy
dc(x)(x
1)n
n(x
1)n
1c(x),带入原方程,得
dc(x)
dx
dx
ex,即c(x)
ex
C,C为随意常数。
dx
于是原方程通解为
y(ex
C)(x1)n。
5
#
2.解方程d3x
x
0
2
dt3
解:
特点方程为
3
1
0,它的根为
1,1
3i。
2
2
于是原方程解为
zc1et
1
t
3
3
e2
c3sin
t)。
c1,c2,c3为随意常数
(c2cos
t
4#
2
2
3.解方程dy
y
tgy
2
dx
x
x
解:
作变量代换y
dy
du
u
du
uu
tgu
u
x
,则原方程变成
x
。
即
x
dx
dx
dx
du
dx,解得sinu
ecx,别的还有解
tgu
0,即sinu
0。
于是方程通解为
tgu
x
sinu
cx,这里c为随意常数。
代回本来变量,得原方程通解
siny
cx
5
#
x
4.解方程dy
2x
y
y2
2
dx
解:
将原方程改写为
dx
2x
y2
,即dx
2xy。
dy
y
dy
y
先求出齐次方程
dx
2x的通解为x
cy2。
dy
y
再设x
c(y)y2,dx
dc(y)y2
2c(y)y,代入原方程得
dc(y)
1
dy
dy
dy
y
解得c(y)
lny
C,C为随意常数。
因此原方程通解为
x
y2(C
lny)
5
#
5.解方程:
xdy
2
xy
y(x
0)
2
dx
解:
将方程改写为dy
2
y
y(x
0),作代换y
u,dy
xdu
u,则原方程
dx
x
x
x
dx
dx
变成
xdu
2
u。
即
du
dx。
dx
2
u
x
于是得此方程通解为
u
ln(
x)
c,即u
[ln(
x)c]2
,(ln(
x)c
0),这里c为随意常数。
别的方程还有解u0。
代回本来的变量,得原方程通解yx[ln(x)c]2(ln(x)c0)与y05#
6.解方程d4x
2d2x
x0
2
dt4
dt2
解:
特征方程为(2
1)2
0,有两个二重根i
,原方程的四个实值解分别是
cost,tcost,sint,tsint。
故通解为
x
(c1
c2t)cost
(c3
c4t)sint,c1,c2,c3,c4为随意常数
4
#
7.设二阶可微函数
y满足方程
y
6y
4e4x
,y(0)=
1,
y'(0)
1,求y
2
3
解:
由题知对应齐次方程的特点方程为
r
2
6
0
r
解得r
0,r
2
6
1
于是对应齐次方程的通解为yc1c2e6x
设非齐次方程的特解为:
Y*
ke4x
把它代入所给方程,得
k
1
2
因此:
Y
*
1
4x
e
2
故已知方程的通解为
y
c1
6x
1
e
4x
c2e
2
1
1
又f'(0)
1
故c1
c2
,f(0)=
2
1(1
2
即:
y
e6x
e4x)
7
#
2
8.求微分方程y''
4y'
3y
2e
x的通解
3
解:
由题知对应齐次方程的特点方程为
r
2
4
3
0
r
解得r
1
,r
2
3
1
于是对应齐次方程的通解为
y
c1e
x
c2e3x
因
1是特点根,故设非齐次方程的特解为:
Y*
axex
把它代入所给方程,得
a
1
因此:
Y*
xe
x
故已知方程的通解为
y
c1ex
c2e3x
xex
7
#
9.求微分方程y''
2y'
yxex的通解
3
解:
由题知对应齐次方程的特点方程为r2
2r10,解得r1r21。
于是对应齐次方程的通解为yc1exc2xex
因1是重特点根,故设非齐次方程的特解为:
Y*
(ax
b)x2ex
把它代入所给方程,得
a
1
因此:
Y
*
13
e
x
,b=0
x
6
1
6
故已知方程的通解为
y
c1e
x
c2xe
x
3
e
x
7
#
x
6
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- 第七 题库 微分方程