最大公约数和最小公倍数竞赛题.docx
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最大公约数和最小公倍数竞赛题
新课标七年级数学竞赛培训第32讲:
最大公约数和最小公倍数
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)设a与b是正整数,且a+b=33,最小公倍数[a,b]=90,则最大公约数(a,b)=()
A.1B.3C.11D.9
2.(3分)古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:
甲,乙,丙,丁,戊,已,庚,辛,壬,癸,地支有12
个:
子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如
下两列:
甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…
从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅••则第2次甲和子在同一列时,该列的序号是()
A.31B.
3.(3分)两个正数的和是60,1
61
N们的最小公倍数是273
C.91
则它们的乘积是()
D.
121
A.273B.
4.(3分)2001的正约数的个数是
819
()
C.
1199
D.
1911
A.3
B.
4
C.
6
D.
8
5.(3分)下面的四句话中正确的是()
A.正整数a和b的最大公约数大于等于a
B.正整数a和b的最小公倍数大于等于ab
C.正整数a和b的最大公约数小于等于a
D.正整数a和b的公倍数大于等于ab
6.(3分)360>473和172X361这两个积的最大公约数是()
A.43B.86C.172D.4
7.(3分)所有形如F…w的六位数(a,b,c分别是0〜9这十个数之一,可以相同,但a和)的最大公约数是()
A.1001B.101C.13D.11
&(3分)用长为45cm,宽为30cm的一批砖,铺成一块正方形,至少需要()块.
A.6B.8C.12D.16
9.(3分)祖孙两人的年龄都是合数,明年他们的岁数相乘是1610,那么祖孙两人今年的年龄分别是(B)
A.70岁、23岁B.69岁、22岁C.115岁、14岁D.114岁、13岁
10.(3分)在正整数1,2,3,•••,100中,能被2整除但不能被3整除的数的个数是()
A.33B.34C.35D.37
二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20
11.(4分)a,b是彼此不相等的非零数字,则与4017的最大公约数是_一.
12.(4分)写出一组4个连续自然数,使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数,这组自
然数依次为1735,1736,1737,1738.
13.(4分)设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225.
(1)如果m和n的最大公约数为15,贝Um+n=__;
(2)如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=.
14.(4分)两个正整数之和为667,其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍,那么满足条件的正整数有—组.
15.(4分)(a,b)表示两个正整数a和b的最小公倍数,例如[14,35]=70,则满足[x,y]=6,[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有组.
三、解答题(共8小题,满分100分)
16.(12分)甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆,加上两端的两根一共有53根电线杆.现在改成每隔60m安装一根电线杆,除两端两根不需移动外,中途还有多少根不必移动?
17.(12分)如图,一个圆圈上有n(nv100=个孔.小明像玩跳棋一样,从A孔出发,逆时针方向将一枚棋子跳
动,每步跨过若干个孔,希望跳一圈后回到A孔.他先每步跳过2个孔,结果只能跳到B孔;他又试着每步跳过4
个孔,结果还是跳到B;最后他每步跳过6孔,正好回到A孔.问这个圆圈上一共有多少个孔?
18.(12分)23个不同的正整数的和是4845,问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论,并说明你的理由.
19.(12分)张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张.如果已知x,y,z的最小公倍数为60,x和y的最大公约数为4,y和z的最大公约数为3,那么张华发出的新年贺卡是多少张?
20.(12分)在一间屋子里有100盏电灯排成一横行,依从左到右的顺序编上号码1,2,3,•••,100.每盏电灯上
有一根拉线开关,最初所有电灯全是关的,现有100个学生在门外排着队,第一个学生走进屋来,把编号是1的倍
数的电灯的开关拉一下;接着第二个学生走进屋来,把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下;…;最后第100
个学生走进屋来,把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下,这样做过以后,问哪些电灯是亮的?
21.(12分)用整元的人民币购物,若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕,一定可以把钱花
完,请证明这一结论.
22.(14分)已知两数和是60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求此二数.
23.(14分)甲、乙、丙三人到李老师那里求学,甲每6天去一次,乙每8天去一次,丙每9天去一次,如果8月17日他们三人在李老师处见面,那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢?
新课标七年级数学竞赛培训第32讲:
最大公约数和最小公倍数
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)设a与b是正整数,且a+b=33,最小公倍数[a,b]=90,则最大公约数(a,b)=()
A.1
B.3
C.11
D.9
考点:
约数与倍数.2383486
专题:
特疋专题.
分析:
假设出(a,b)=x,得出x是a,b,a+b及[a,
b]的公约数,得出
x的值是x=1或x=3,进一步利用数的整
除性知识进行分析,得出符合要求的答案.
解答:
解:
令(a,b)=x,则x是a,b,a+b及[a,b]的公约数,
故x是33和90的公约数,知x=1或x=3.
当x=1时,a与b互质,而a+b=33,当a不能被3整除,则b不能被3整除,
而[a,b]=90,说明a、b至少有一个能被3整除.
当a能被3整除,由a+b=33,则b也能被3整除,
故(a,b)工1即xMl
当x=3时,即有(a,b)=3,
ab=[a,b],(a,b)=3X90=32x5勺6而a+b=33,「.a=15,b=18,(a,b)=3.故选B.
2.(3分)古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:
甲,乙,丙,丁,戊,已,庚,辛,壬,癸,地支有12
个:
子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如
下两列:
甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…
从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅••则第2次甲和子在同一列时,该列的序号是()
A.31B.61C.91D.121
考点:
约数与倍数.
分析:
此题是关于排列组合问题,找出最小公倍数是关键.
解答:
解:
根据题意分析可得:
其中天干有10个,地支有12个.12与10的最小公倍数是60,故序号每隔60循环一次,故第2次甲和子在同一列时,该列的序号是61.故答案B
点评:
本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
3.(3分)两个正数的和是60,它们的最小公倍数是273,则它们的乘积是()
A.273
B.819C.1199D.1911
考点:
:
约数与倍数.
专题:
计算题;数字问题.
分析:
先对273分解质因数273=3X7X13,所以,两个数为3,7,13中的任意两数的乘积.
解答:
解:
•••273=3>7X13,
•这两个数为3,7,13中的任意两个数的乘积,•••有3,7,13,21,39,91,273这七个数,又•••两数和为60,
•这两个数为21,39,
所以乘积为21>39=819.故选B.
点评:
本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目,解答此题时,先用273分解质因数,然后利用凑
项法”解答.
4.(3分)2001的正约数的个数是()
A.3
B.4C.6D.8
分析:
先分解质因数2001=3X567,然后根据约数个数定理来解答.
解答:
解:
•••2001=3X667,
•••2001的正约数的个数是:
(1+1)X(1+1)=4.故选B.
点评:
本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点,在解答此题时,用到了约数个数定理:
对于一个数a可以
分解质因数:
a=a1?
a2a3…则a的约数的个数就是(门+1)(「2+1)(「3+1)••需要指出来的是,a1,a2,a3••都
12332
是a的质因数.r,r,r••是a1,a2,a3…的指数.比如,360=2X3X,所以360约数的个数是(3+1)X(2+1)
X(1+1)=24个.
5.(3分)下面的四句话中正确的是()
A.正整数a和b的最大公约数大于等于a
B.正整数a和b的最小公倍数大于等于ab
C.正整数a和b的最大公约数小于等于a
D.正整数a和b的公倍数大于等于ab
分析:
运用特殊值法进行排除,例如3是6和9的公约数,小于6,所以正整数a和b的最大公约数大于等于a,
同理可得出符合要求的答案.
解答:
解:
A、3是6和9的公约数,小于6,所以排除A;
B、6和9的最小公倍数是18,小于54,所以排除B;
C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的;故C正确;
D、6和9的最小公倍数是18,小于54,所以排除D;故选C.
点评:
此题主要考查了最大公约数与最小公倍数,利用特殊值法进行排除,是解决问题的最简捷办法.
6.(3分)360>473和172X361这两个积的最大公约数是()
A.43
B.86C.172D.4
分析:
解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数,但由于361是一个质数,我们只要将172分解,再看一
看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案.
解答:
解:
•••361是质数且不能被473整除,172=2XX3,473=43X1,360=4>90,
•360X473和172>361这两个积的最大公约数是4>43=172.故选C.
点评:
此题主要考查最大公约数的求法,熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键.
7.(3分)所有形如:
-:
■:
的六位数(a,b,c分别是0〜9这十个数之一,可以相同,但a和)的最大公约数是()
A.1001B.101C.13D.11
分析:
首先表示出这个六位数,100000a+10000b+1000c+100a+10b+c,再进行分解因数,得出它们的最大公约数.
解答:
解:
•••100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c
=1001(100a+10b+c)
1001是四位数,比100a+10b+c大,
•最大公约数一定是1001.故选:
A.
点评:
此题主要考查了最大公约数,以及正确表示一个六位数,将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键.
&(3分)用长为45cm,宽为30cm的一批砖,铺成一块正方形,至少需要()块.
A.6
B.8C.12D.16
分析:
'
45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长,然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求.
解答:
解:
•••[45,30]=90(cm),
•••所求正方形的面积是:
90X90=8100(cm)2,
•••铺成该正方形所需的砖的块数为:
8100-(45X30=6(块);故选A.
9.(3分)祖孙两人的年龄都是合数,明年他们的岁数相乘是1610,那么祖孙两人今年的年龄分别是(B)
A.70岁、23岁B.69岁、22岁C.115岁、14岁D.114岁、13岁
考点:
:
约数与倍数.
分析:
首先先了解下合数质数的概念质数:
除了1和它本身外,没有别的因数的数是质数.合数:
除了1和它
本身外,还有别的因数的数是合数.再据题意把1610写成几个质数的及的形式,然后确定其答案.
解答:
i
解:
1610/2=805,805/5=161,161/7=23,所以由明年他们的岁数相乘是1610,可得
1610=2X5>7X23.
这里可以确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是
(1)2和805,
(2)5和322,(3)7和230,(4)35和
46.
假设孙子明年的年龄是2>7=14,那么今年孙子明年的年龄是14-1=13(质数)与已知矛盾,不成立.
如果由1610=2>5XX,设孙子明年的年龄是23,那么爷爷明年的年龄是2X5X7=70.
又23-仁22,70-仁69,22、69都是合数符合题意.
故答案:
分别是69岁、22岁,选B
点评:
此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握.此题关键是把1610写成几个质数的积的形式.
10.(3分)在正整数1,2,3,•••,100中,能被2整除但不能被3整除的数的个数是()
A.33
B.34C.35D.37
分析:
在1-n之间,能被2整除的数有个,能被3整除的数有个,同时能被2和3整除的数有|个.
236
解答:
解:
在正整数1,2,3,•••,100中,能被2整除的数有100吃=50(个);能被2整除又能被3整除,即能被6整除的数有100吒勺6(个),
所以,能被2整除但不能被3整除的数的个数是50-16=34(个).故选B.
点评:
本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题.最小公倍数:
①6及6的倍数能冋时被2和3整
除;②10及10的倍数能同时被2和5整除;③15及15的倍数能同时被3和5整除;④30及30的倍数能同时被2、3和5整除.
二、填空题(共5小题,每小题4分,满分20
11.(4分)a,b是彼此不相等的非零数字,则I,与4017的最大公约数是39
分析:
将.<■改写成10101X1的形式,再将他与4017分别分解质因数,找出相同的因数,相乘即可求出最大公约数.
解答:
解:
t则恥止ab=abxw+止X0+^b=10101xab=3XX3X37xnb,
又•••4017=3X13X103,而ab是两位数,
•命引泌与4017的最大公约数是3X3=39.
点评:
本题主要考查求最大公约数的方法,熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键.
12.(4分)写出一组4个连续自然数,使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数,这组自
然数依次为1735,1736,1737,1738.
分析:
根据题意,可先求出5,7,9,11的最小公倍数,我们可发现5,7,9,11是等差数列,所求得的最小公
倍数分别加上5,7,9,11仍然是5,乙9,11的倍数.然后试着求得新的4个数,既得答案.
解答:
解5,7,9,11的最小公倍数是5X7X9X仁3465
3465+5=3470仍能被5整除,
3465+7=3472仍能被7整除,
3465+9=3474仍能被9整除,
3465+11=3476仍能被11整除,
3470、3472、3474、3476这四个数相差2,所以把这四个数除以2,就可以得到4个连续自然数1735,1736,1737,1738,它们依次分别被5、7、9、11整除,且最小.
故写出一组4个连续自然数,这组自然数依次为1735,1736,1737,1738.
点评:
此题考查了学生对最小公倍数的理解和掌握•解答此题的关键是先求出5,7,9,11的最小公倍数.
13.(4分)设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225.
(1)如果m和n的最大公约数为15,则m+n=105;
(2)如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=90.
分析:
根据题意及最大公约数、最小公倍数的意义先分析推断,得到
(1)m/15和n/15的最大公约数为1,互质.
(2)
m、n是不大于它们的最小公倍数a的.
解答:
解:
(1)m和n的最大公约数为15那么m/15和n/15的最大公约数为1,互质3(m/15)+2(n/15)=15,m/15=1,n/15=6m=15,n=90m+n=105故答案是105.
(2)vm和n的最小公倍数为45
•m、n是不大于它们的最小公倍数a的,
因此3m+2n<5a=225
使等号成立,必须要:
m=n=a=45.
所以m+n=90.故答案是:
90.
点评:
此题考查了学生对最大公约数和最小公倍数的理解和掌握.关键是通过分析推断得出结论.
14.(4分)两个正整数之和为667,其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍,那么满足条件的正整数有_—组.
考点:
:
约数与倍数.
分析:
;
根据最大公约数与最小公倍数的关系:
设
X[ab]或[a,b]=ab/(a,b)来求解.
a,b为两个自然数,贝9(a,b)和[a,b]有如下关系:
ab=(a,b)
解答:
解:
设所求的两个数是a、b•则由已知条件得
[a,b]=120?
(a,b),
•••a?
b=(a,b)?
[a,b]=120?
(a,b)2,
又•••a+b=667=23X29,
当(a,b)=23时,120=5X24,29=5+24,
•所求的数为5X23和24X23
即115和552,
当(a,b)=29时,120=8X15,23=8+15,
•所求的数为8X29和15X29即232和435,
故满足条件的正整数有2组•故答案为:
2.
点评:
本题考查的是关于最大公约数与最小公倍数的题目•最大公约数和最小公倍数之间的关系:
设a,b为两个
自然数,贝9(a,b)和口,b]有如下关系:
ab=(a,b)X[ab]或[a,b]=ab/(a,b).
15.(4分)(a,b)表示两个正整数a和b的最小公倍数,例如[14,35]=70,则满足[x,y]=6,[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有5组.
考点:
:
约数与倍数.2383486
分析:
由[x,y]=6,[y,z]=15,可得y既能整除6,又能整除15,所以y整除3,因此,y只能为1,3.当y=1时,x=6,z=15;当y=3时,x=1或6,z=5或15,然后即可得出答案.
解答:
解:
由[x,y]=6,[y,z]=15,•y既能整除6,又能整除15,
•y整除3,因此,y只能为1,3.
•••当y=1时,x=6,z=15;
当y=3时,x=1或6,z=5或15,
•满足条件的正整数组(x,y,z)为:
(6,1,15),(2,3,5),(2,3,15),(6,3,5),(6,3,15),所以共有5组.故答案为:
5.
点评:
本题考查了最小公倍数,难度适中,关键是对最小公倍数的理解和把握.
三、解答题(共8小题,满分100分)
16.(12分)甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆,加上两端的两根一共有53根电线杆.现在改成每隔60m安装一根电线杆,除两端两根不需移动外,中途还有多少根不必移动?
分析:
由题意得:
甲地到乙地距离为:
45X53-1)=2340(m),根据45与60的最小公倍数为180,可得2340£80=13,然后即可得出答案.
解答:
:
解:
由题意得:
甲地到乙地距离为:
45X(53-1)=2340(m),
•/45与60的最小公倍数为180,
•••2340出80=13,
•••除两端两根不需移动外,中途还有13-1=12根不必移动.
点评:
本题考查了最小公倍数,难度一般,关键是利用最小公倍数求解现实问题.
17.(12分)如图,一个圆圈上有n(nv100=个孔.小明像玩跳棋一样,从A孔出发,逆时针方向将一枚棋子跳动,每步跨过若干个孔,希望跳一圈后回到A孔•他先每步跳过2个孔,结果只能跳到B孔;他又试着每步跳过4
个孔,结果还是跳到B;最后他每步跳过6孔,正好回到A孔•问这个圆圈上一共有多少个孔?
分析:
根据题意知,n是3、5、7的倍数,所以问题就转化为求3、5、7的最小公倍数的问题.
解答:
解:
依题意,每步跳过2孔,连起点一共要跳过3个孔,故除掉B孔外,圆圈上的孔数是3的倍数,有3|n-1;每步跳过4个孔,连起点一步要跳过5个孔,故除掉B孔外,圆圈上的孔数是5的倍数,因此,有
5|n-1;又每步跳过6个孔时,可回到A孔,这表明7|门.因(3,5)=1,故15|n-1.因nv100,故n只可能是16,31,46,61,76,91,其中仅有91是7的倍数,故n=91,即圆圈上有91个孔.
点评:
本题主要考查了关于最小公倍数的应用题•提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数,方法步骤是:
(1)先提取出这几个数的最大公因数,可以分次提取(此时所得的商互质,但不一定两两互质);
(2)再
在不互质的商中提取公因数,其他商照写下来,直到各商两两互质为止;(3)最后把提取出的各数及各商
数连乘起来,乘积就是这几个数的最小公倍数.
18.(12分)23个不同的正整数的和是4845,问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论,并说明你的理由.
考点:
:
约数与倍数.
分析:
,
应先把4845分解,找到约数可能的数.再设出最大公约数,找出23个数最小值,进而求得最大公约数.
解答:
t
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设23个不冋的正整数的最大公约数为d,则,
23个不同的正整数为:
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- 关 键 词:
- 最大公约数 最小公倍数 竞赛题