中考数学分类自定义之线段垂直平分线的性质.docx
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中考数学分类自定义之线段垂直平分线的性质
2013年中考数学分类汇编之线段垂直平分线的性质
一.选择题
10.(2013遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
A.1B.2C.3D.4
考点:
角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.
分析:
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
解答:
解:
①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=
∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=
AD,
∴BC=CD+BD=
AD+AD=
AD,S△DAC=
AC•CD=
AC•AD.
∴S△ABC=
AC•BC=
AC•
AD=
AC•AD,
∴S△DAC:
S△ABC=
AC•AD:
AC•AD=1:
3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:
①②③④,共有4个.
故选D.
点评:
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质.
10.(2013威海)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF
考点:
正方形的判定;线段垂直平分线的性质.
分析:
根据中垂线的性质:
中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC进而得出四边形BECF是菱形;由菱形的性质知,以及菱形与正方形的关系,进而分别分析得出即可.
解答:
解:
∵EF垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵CF=BE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形;
当BC=AC时,
∵∠ACB=90°,
则∠A=45°时,菱形BECF是正方形.
∵∠A=45°,∠ACB=90°,
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形.
故选项A正确,但不符合题意;
当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项B正确,但不符合题意;
当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项C正确,但不符合题意;
当AC=BD时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D错误,符合题意.
故选:
D.
点评:
本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识,熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键.
8.(2013威海)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD,下列结论错误的是( )
A.∠C=2∠AB.BD平分∠ABC
C.S△BCD=S△BODD.点D为线段AC的黄金分割点
考点:
线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;黄金分割.
分析:
求出∠C的度数即可判断A;求出∠ABC和∠ABD的度数,求出∠DBC的度数,即可判断B;根据三角形面积即可判断C;求出△DBC∽△CAB,得出BC2=BC•AC,求出AD=BC,即可判断D.
解答:
解:
A.∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=72°,
∴∠C=2∠A,正确,故本选项错误;
B.∵DO是AB垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=36°,
∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD,
∴BD是∠ABC的角平分线,正确,故本选项错误;
C,根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等,错误,故本选项正确;
D.∵∠C=∠C,∠DBC=∠A=36°,
∴△DBC∽△CAB,
∴
=
,
∴BC2=BC•AC,
∵∠C=72°,∠DBC=36°,
∴∠BDC=72°=∠C,
∴BC=BD,
∵AD=BD,
∴AD=BC,
∴AD2=CD•AC,
即点D是AC的黄金分割点,正确,故本选项错误;
故选C.
点评:
本题考查了相似三角形的性质和判定,等腰三角形性质,黄金分割点,线段垂直平分线性质的应用,主要考查学生的推理能力.
23.(2013泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是.
考点:
含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.
分析:
根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°,则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.
解答:
解:
∵∠ACB=90°,FD⊥AB,
∴∠∠ACB=∠FDB=90°,
∵∠F=30°,
∴∠A=∠F=30°(同角的余角相等).
又AB的垂直平分线DE交AC于E,
∴∠EBA=∠A=30°,
∴直角△DBE中,BE=2DE=2.
故答案是:
2.
点评:
本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知∠EBA=30°.
10.(2013临沂)如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )
A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC
考点:
线段垂直平分线的性质.
分析:
根据线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等可得AB=AD,BC=CD,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD,平分∠BCD,EB=DE,进而可证明△BEC≌△DEC.
解答:
解:
∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=CD,
∴AC平分∠BCD,平分∠BCD,EB=DE,
∴∠BCE=∠DCE,
在Rt△BCE和Rt△DCE中
,
∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL),
故选:
C.
点评:
此题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及等腰三角形的性质,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
7.(2013扬州)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;几何综合题.
分析:
连接BF,根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC,∠BCF=∠DCF,四条边都相等可得BC=CD,再根据菱形的邻角互补求出∠ABC,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF,根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC,从而求出∠CBF,再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF.
解答:
解:
如图,连接BF,
在菱形ABCD中,∠BAC=
∠BAD=
×80°=40°,∠BCF=∠DCF,BC=CD,
∵∠BAD=80°,
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°,
∵EF是线段AB的垂直平分线,
∴AF=BF,∠ABF=∠BAC=40°,
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°,
∵在△BCF和△DCF中,
,
∴△BCF≌△DCF(SAS),
∴∠CDF=∠CBF=60°.
故选B.
点评:
本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,综合题,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.
9.(2013天门)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )
A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm
考点:
线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质.
分析:
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,求出AB、AC值,求出BE、CF值,求出BM、CN值,代入MN=BC﹣BMCN求出即可.
解答:
解:
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,
∴∠B=∠C=30°,BD=CD=3cm,
∴AB=
=2
cm=AC,
∵AB的垂直平分线EM,
∴BE=
AB=
cm
同理CF=
cm,
∴BM=
=2cm,
同理CN=2cm,
∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm,
故选C.
点评:
本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,喊30度角的直角三角形性质,解直角三角形等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
二.填空题
15.(2013义乌)如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连结OC,若∠AOC=125°,则∠ABC=.
考点:
线段垂直平分线的性质;角平分线的性质;等腰三角形的性质.
分析:
先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC,根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C,然后根据角平分线的定义解答即可.
解答:
解:
∵AD⊥BC,∠AOC=125°,
∴∠C=∠AOC﹣∠ADC=125°﹣90°=35°,
∵D为BC的中点,AD⊥BC,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠C=35°,
∵OB平分∠ABC,
∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°.
故答案为:
70°.
点评:
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等边对等角的性质,角平分线的定义,是基础题,准确识图并熟记各性质是解题的关键.
15.(2013百色)如图,菱形ABCD的周长为12cm,BC的垂直平分线EF经过点A,则对角线BD的长是cm.
考点:
菱形的性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质.
分析:
首先连接AC,由BC的垂直平分线EF经过点A,根据线段垂直平分线的性质,可得AC的长,由菱形的性质,可求得AC=AB=3,然后由勾股定理,求得OB的长,继而求得答案.
解答:
解:
连接AC,
∵菱形ABCD的周长为12cm,
∴AB=6,AC⊥BD,
∵BC的垂直平分线EF经过点A,
∴AC=AB=3,
∴OA=
AC=
,
∴OB=
=
,
∴BD=2OB=3
.
故答案为:
3
.
点评:
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
15.(2013淄博)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,
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