北京市西城区高三一模数学文科试题带答案.docx
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北京市西城区高三一模数学文科试题带答案
北京市西城区2015年高三一模试卷
数学(文科)2015.4
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.设集合,集合,若,则实数的范围是()
(A)
(B)
(C)
(D)
2.复数满足,则在复平面内,复数对应的点位于()
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.关于函数和,下列说法中正确的是()
(A)都是奇函数
(B)都是偶函数
(C)函数的值域为(D)函数的值域为
4.执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为3,则输出的n的值为______.
(A)
(B)
(C)
(D)
5.设分别为直线和圆上的点,则的最小值为()
(A)(B)
(C)(D)
6.设函数的定义域为,则“,”是“函数为增函数”的()
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是()
(A)2枝玫瑰的价格高
(B)3枝康乃馨的价格高
(C)价格相同
(D)不确定
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知平面向量满足,,那么____.
10.函数的最小正周期是____.
11.在区间上随机取一个实数x,则x使不等式成立的概率为____.
12.已知双曲线C:
的一个焦点是抛物线的焦点,且双曲线C的离心率为,那么双曲线C的方程为____;渐近线方程是____.
13.设函数则____;函数的极小值是____.
14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费情况如下表:
奖品
收费(元/件)
工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
如图,在中,,,,点在线段上,且.
A
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)求的值.
D
BC
16.(本小题满分13分)
已知等差数列的前项和为,且满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式及;
(Ⅱ)若()成等比数列,求的最小值.
17.(本小题满分14分)
如图,在五面体中,四边形为正方形,,
平面平面,且,,点G是EF的中点.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若点在线段上,且,求证:
//平面;
(Ⅲ)已知空间中有一点O到五点的距离相等,请指出点的位置.(只需写出结论)
18.(本小题满分13分)
2014年12月28日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.(不考虑公交卡折扣情况)
乘公共电汽车方案
10公里(含)内2元;
10公里以上部分,每增加1元可乘坐5公里(含).
乘坐地铁方案(不含机场线)
6公里(含)内3元;
6公里至12公里(含)4元;
12公里至22公里(含)5元;
22公里至32公里(含)6元;
32公里以上部分,每增加1元可乘坐20公里(含).
已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.
(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1人,试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率;
(Ⅱ)已知选出的120人中有6名学生,且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中分层抽样所选的结果相同,现从这6人中随机选出2人,求这2人的票价和恰好为8元的概率;
(Ⅲ)小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里,试写出s的取值范围.(只需写出结论)
19.(本小题满分14分)
设点为椭圆的右焦点,点在椭圆上,已知椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过右焦点的直线与椭圆相交于,两点,记三条边所在直线的斜率的乘积为,求的最大值.
20.(本小题满分13分)
设,函数,函数,.
(Ⅰ)判断函数在区间上是否为单调函数,并说明理由;
(Ⅱ)若当时,对任意的,都有成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当时,若存在直线(),使得曲线与曲线分别位于直线的两侧,写出的所有可能取值.(只需写出结论)
北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学(文科)2015.4
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B2.C3.C4.B
5.A6.B7.D8.A
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.
11.12.
13.14.
注:
第12,13题第一问2分,第二问3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
因为,,,
所以,,,………………3分
又因为,所以,.………………4分
在中,由余弦定理,得……………7分
,
所以.………………9分
(Ⅱ)在中,由正弦定理,得,所以,………12分
所以.………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
设公差为,
由题意,得………………4分
解得,,…………………5分
所以,…………………6分
.…………………7分
(Ⅱ)解:
因为成等比数列,所以,……………9分
即,…………………10分
化简,得,…………………11分
考察函数,知在上单调递增,
又因为,,,所以当时,有最小值6.………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为,点G是EF的中点,所以.……………1分
又因为,所以.……………2分
因为平面平面,且平面平面,平面,
所以平面.…………………4分
因为平面,所以.………………5分
(Ⅱ)证明:
如图,过点作//,且交于点,连结,
因为,所以,………………6分
因为,点G是EF的中点,所以,
又因为,四边形ABCD为正方形,
所以//,.所以四边形是平行四边形.
所以.……………8分
又因为平面,平面,
所以//平面.………………11分
(Ⅲ)解:
点为线段的中点.………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”,………………1分
由统计图可知,得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为,,(人).
所以票价小于5元的有(人).………………2分
故120人中票价小于5元的频率是.
所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率.………………4分
(Ⅱ)解:
记事件B为“这2人的票价和恰好为8元”,………………5分
由统计图,得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为,
则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3,2,1(人).………6分
记票价为3元的同学为,票价为4元的同学为,票价为5元的同学为,
从这6人中随机选出2人,所有可能的选出结果共有15种,它们是:
,
.………………8分
其中事件的结果有4种,它们是:
.………9分
所以这2人的票价和恰好为8元的概率为.………………10分
(Ⅲ)解:
.………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
设,由题意,得,所以,.…………2分
则椭圆方程为,
又点在椭圆上,所以,解得,
故椭圆方程为.………………5分
(Ⅱ)解:
由题意,直线的斜率存在,右焦点,………………6分
设直线的方程为,与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),………7分
由消去,得.………………8分
由题意,可知,则有,,………9分
所以直线的斜率,直线的斜率,…………10分
所以
.………………12分
即,
所以当时,三条边所在直线的斜率的乘积有最大值.……14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
结论:
函数在区间上不是单调函数.…………………1分
求导,得,…………………2分
令,解得.
当变化时,与的变化如下表所示:
0
↗
↘
所以函数在区间上为单调递增,区间上为单调递减.
所以函数在区间上不是单调函数.…………………4分
(Ⅱ)解:
当时,函数,,.
由题意,若对任意的,都有恒成立,
只需当时,.…………………5分
因为.令,解得.
当变化时,与的变化如下表所示:
0
↗
↘
所以.…………………7分
又因为.
令,解得.
当变化时,与的变化如下表所示:
0
↘
↗
所以.…………………9分
综上所述,得.…………………10分
(Ⅲ)解:
满足条件的的取值集合为.…………………13分
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