15 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案高中数学北师大版必修3.docx
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15用样本的数字特征估计总体的数字特征教案高中数学北师大版必修3
1.5用样本的数字特征估计总体的数字特征教案
【教学目标】
1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法.
2.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图.
3.能够利用图形解决实际问题.
【教法指导】
本节重点是频率分布直方图、频率分布折线图的意义;难点是应用频率分布直方图估计总体的分布;
本节知识的主要学习方法是:
动手与观察,思考与交流,归纳与总结.加强新旧知识之间的联系,培养自己分析问题、解决问题的能力,从而获得学习数学的方法.
【教学过程】
课本导读
1.频数、频率
将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫做该组的频数,每组频数除以全体数据的个数即得该组的频率.
2.频率分布表
当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布,反映总体频率分布的表格称为频率分布表.
3.频率分布直方图
以横轴表示总分,纵轴表示
的比值,以每个组距为底,以各频率除以组距的商为高,分别画成矩形,这样就得到了频率分布直方图.
4.频率分布折线图
把频率分布直方图中各个长方形上端的中点顺次连接起来,就得到频率分布折线图.
5.总体密度曲线
频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则相应的频率分布折线图将越来越接近于一条光滑曲线y=f(x),统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
难点辨析:
1.如何理解用样本的频率分布估计总体分布?
总体分布是指总体取值的分布规律,这种分布我们一般是不知道的.用样本去估计总体,是研究统计问题的一个基本思想,对于不易知道的总体分布,常常用样本的频率分布对它进行估计.样本的容量越大,这种估计就越精确.用样本估计的思想就是用部分考察全体、用离散考察连续、用有限考察无限的思想,是用观察测量值来探究客观规律的一种重要的基本思想.
2.如何理解频率分布折线图与总体密度曲线?
(1)为了方便看图,一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连,所以横轴上的左右两端点没有实际的意义.
(2)总体密度曲线呈中间高、两边低的“钟”形分布,总体的数据大致呈对称分布,并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内.
(3)用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特征,必须随机抽取样本.由于抽样的随机性,当抽取的样本变化时,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.
(4)用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特征,必须随机抽取样本.由于抽样的随机性,当抽取的样本变化时,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.
典例分析:
1、(08·广东文)为了调查某厂工人生产某种产品的能力随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到频率分布直方图如图,则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________.
2、一个容量为20的样本数据,分组后组距为10,区间与频数分布如下:
(10,20],2;(20,30],3;(30,40],4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70],2.则样本在(-∞,50]上的频率为( )
A.
B.
C.
D.
3、对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命(h)
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
个数
20
30
80
40
30
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图及折线图;
(3)估计电子元件寿命在400h以上的电子元件出现的频率.
4、为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?
样本容量是多少?
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该校全体高
一学生的达标率是多少?
故第二小组的频率是0.08,样本容量是150,高一学生达标率是88%.
【评析】
(1)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据,非常直观地表明分布的形状,使我们能够看到题意中看不清楚的信息和数据模式.
(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性,利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
5、某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位:
千克):
61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 5656 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54
54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 5150 50 49 48
列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图及频率分布折线图.
(6)取各小长方形上边的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图.
总结规律、提高升华:
用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特性,必须随机抽取样本.由于样本的随机性,可以想到,如果随机抽取另外一个样本,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.
变式训练:
1.在样本的频率分布直方图中,一共有n个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的
,且样本容量为160,则中间一组的频数是( )
A.32 B.20 C.40 D.25
2、(2010·福建文,14)将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图,若第一组至第
六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n等于________.
3、已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,12,那么这组数据落在8.5~11.5内的频率为________.
4、如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率分布直方图,由图中可看出频率最大时数据所落在的范围是________.
5、下面列出43位美国历届总统(从1789年的华盛顿到2001年的小布什)的就任年龄:
57 61 57 57 58 57 61 54 68 51 49 64 5048 65 52 56 46 54 49 51 47 55 55 54 4251 56 55 51 54 51 60 62 43 55 56 61 5269 64 46 54
(1)分别以5和4为组距画出相应的频率分布直方图,并用自己的语言描述一下历届美国总统就任年龄的分布情况;
(2)两次所作的频率分布直方图相同吗?
试分别估计就任年龄在55岁以下的频率,并与实际频率作比较.
6、在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据,将数据分组如下表:
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
2
合计
100
(1)完成频率分布表,并画出频率分布直方图;
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少?
6.茎叶图
当样本的数据较少,且最大数是两位有效数字时,用中间的数字表十位数,即第一个有效数字,两边的数
字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出的叶子,因此,通常把这种图叫做茎叶图.
7.茎叶图有哪些优点?
用茎叶图表示有两个突出的优点:
其一,在统计图上没有原始信息的损失,所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;其二,茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.但茎叶图便于表示两位有效数字的数据,虽然可以表示两个人以上的比赛结果(或两个以上的记录),但没有分别表示两个记录那么直观、清晰.
例:
1、随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:
cm),获得身高数据的茎叶图如图.
根据茎叶图判断________班的平均身高较高.
2、下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知( )
A.甲运动员的成绩好于乙运动员B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D.甲运动员的最低得分为0分
3、某中学高一
(1)班甲、乙两名同学自高中以来每次数学考试成绩情况如下:
甲的得分:
95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107
乙的得分:
83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,97,102
作出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人成绩进行比较.
【评析】茎叶图在数据较少,较为集中时比较适用,由于较好地保留了原始数据,所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布,还可以用来分析样本数据的一些数字特征.
总结规律、提高升华:
1、茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分组;茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频率;
2、对茎叶图的分析一般从中位数、对称性两方面来说明情况.
变式训练:
1、某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若统计员计算无误,则数字x应该是( )
A.5B.4C.3D.2
2、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下:
甲的得分:
12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.
乙的得分:
8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.
(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图;
(2)根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平.
课堂小结:
表示样本分布的方法:
(1)频率分布表
(2)频率分布图(包括直方图和条形图)
(3)频率分布折线图
(4)茎叶图
作业:
课后习题
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