华中科技大学复变函数与积分变换练习册答案.docx
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华中科技大学复变函数与积分变换练习册答案.docx
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华中科技大学复变函数与积分变换练习册答案
练习
1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
12i2i
1)3
4i5i;
2i
12i
解:
16
4i
5i
(13i)3
(2)
(2)
13i
(
解:
)3
=25
8
i
25
Rez
16
Imz
25
285z
85
(cos
3
isin3)
[ei3]3
25
Rez
Imz
z1
Argz
arctan1
2
2kk
Argz
2k
2.将下列复数写成三角表示式。
1)13i
解:
13i
2i
2(cos53
isin5)
3
2)1i
2i
解:
2(cos
isin)
4
3.利用复数的三角表示计算下列各式。
23i
1)
32i
23i
解:
32i
cos
2
isin
2
2)
422i
422i
解:
3
83/4
28[cos
[22(cos3
4
2k]isin3
4
k0,1,2,3
isin
1
4)]4
/4
2k]
3
28[cos
8k
16
3
isin
16
8k]
4..设z1,z2,z3三点适合条件:
z1z2z3=0,
z1
z2
1,z1,z2,z3是内接于单位圆
z3
=1的一个正三角形的项点
证:
因z1z2z31,所以z1,z2,z3都在圆周zz11,又因z1z2z3=0
又
z2
z1
则z1z2z3,z1z2z31,所以z1z2也在圆周z1上,
z1z2z1z21,所以以0,z1,z1z2为顶点的三角形是正三角形,所以向量z1与z1
2
之间的张角是3,同理z2与z1z2之间的张角也是3,于是z1与z2之间的张角是3,同理
2
与z3,z2与z3之间的张角都是3,所以z1,z2,z3是一个正三角形的三个顶点。
3
5.解方程z310
解
3:
z
1
2k
zcos
1
3
3
z1
cos
isin
i
3
3
2
2
z2
cos
isin
1
5
5
1
3
z3
cos
isin
3
3
2
2
2k
isin
3
k0,1,2
6.试证:
证:
当
1,
1时,
7.设zz2cos(z0,是Z的辐角),求证znzn2cosn
证:
zz
1
2cos
2
z2cosz
10
则z
cos
isin
当z
cos
isin
1
时zcos
isin
nz
n
z
(cosn
isin)[cos(
n)isin(n)]2cosn
故znzn2cosn
当zcosisin时,同理可证
*8.思考题:
(1)复数为什么不能比较大小?
答:
复数域不是有序域,复数的几何意义是平面上的点
(2)是否任意复数都有辐角?
答:
否,z0是模为零,辐角无定义的复数。
练习
(1)
4
z
x
iyarg(zi)arg[xi(y1)]
解:
设
iy则4
x
0
y
1
0
x
y
1
则点Z的轨迹为:
1.指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线?
arg(zi)
2)zaRe(zb),其中a,b为实数常数;
y
0
解:
设zxiy则:
(xa)iy
Re(xbiy)
222
y22(ab)xb2a2
(x
22
a)y
(x
b)2
x
b0
则
若:
a
b
则轨迹为:
y
0
a
b
b
x
若:
a
b
则
2
2
b)(x
ab
y22(a
)
轨迹:
2
a
b,
b
x
若:
a
则
2无意义
3)zzazazb
ab
2(ab)(x2)
xb
0,其中为a复数b为实常数。
解:
由题设
可知:
(za)(za)b
2
2
即:
z
a
a
b
2
b,
若:
a
2
则
Z的轨迹为一点-a,
若:
a
b,
则
Z的轨迹为圆,圆心在
-a,半径为
2
a0
2.用复参数方程表示曲线,连接1i与14i直线段解:
z(1i)[(14i)(1i)]t0t1则z(1i)(25i)t(0t)
3.描出下列不等式所确定和区域与闭区域,并标出区域边界的方向。
并指明它是有界的还是无界的?
是单连域还是多连域?
z1,Rez
(1)
2
解:
由
z
1,得x
y21
1
1
Rez
x
又
2,得
2
有界,单连域
2
(2)Rez
1
解:
令z
xiy
由Rez2
1x2y21
2
x21
即:
y
无界,单连域
z1
3)
z1
解:
令zx
iy
则:
52
(x3)2
242
y2(3)2
4.对于函数解:
令zx
f(z)
iz,D:
Im
z0,描出当
iy则wf(z)
iz
i(xiy)
yix
y0
Imz0,则
Rewy
w的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴
0,
limRez
5.试证z0z不存在。
z在区域
x
Rezlim
limx0xiy证:
z0z=y0xiy
令ykx则:
上述极限为1ki不确定,因而极限不存在。
*6.思考题
(1)怎样理解复变函数wf(z)?
答:
设wuiv,zxiy,则wf(z)就是uivf(xiy)u(x,y)iv(x,y)uu(x,y)即vv(x,y)因此,一个复变函数f(z)与两个实变函数u(x,y)和v(x,y)相对应,从几何意义上来说,复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。
(2)设复变函数f(z)当径)有无关系?
zz0时的极限存在,此极限值与z趋于z0所采取的方式(取的路
答:
没有关系,z以任意方式趋于z0时,极限值都是相同的,反过来说,若令z沿两条不同
的曲线趋于z0时极限值不相等,则说明f(z)在z0没有极限,这与高等数学中的情形是类似的,
只是一元实函数中,
x只能从左、右以任何方式趋于x0,而这里可以从四面八方任意趋于练习三
z0。
。
1.用导数定义,求limf(z解:
z0
f(z)zRez的导数。
(zz)Re(zz)zRezlimz0
z)f(z)
2.
zRezzRezlim
z0
lim(Rez
z0
z
Rez)
z
z0时,导数不存在,z0时,导数为0。
zRez
lim(Rez
x0
y0
lim(RezRezz
z0
xxiy)
xiy
下列函数在何处可导?
何处不可导?
何处解析?
何处不解析?
1
1)
f(z)
解:
ux
f(z)
Rez)
z
x2
iy
y
i22u(x,y)iv(x,y)xy
222
(xy)
uy
2xy(x2当且仅当x
vx
22
y)
y时,
(x2x2
(x2
f(z)满足C
vy
2xy
22
y)
2
y
22
y)
R条件,故当x
y时f(z)可导,但在复平面不解析。
2)
32
x3xy
解:
f(z)
令f(z)u(x,y)
22
ux3x3y
i(3x2yiv(xy)
y3)
uy6xy
vx6xy
22vy3x3y
则
因f(z)在复平面上处处满足CR条件,且偏导数连续,
f(z)可导且解析。
3.设mynxyi(xlxy)为解析函数,试确定
l,m,n
的值。
解:
由C
R条件可知:
2nxy
2lxy所以nl
又3my2nx2
3x2ly2
所以3ml,且n3
m1
即n
l3
4.设f(z)在区域D内解析,试证明在
D内下列条件是彼此等价的
1)
f(z)=常数;
2)f(z)0;
3)Ref(z)常数
2)Imf(z)常数;(5)f(z)解析;(6)f(z)常数。
证:
由于f(z)在且域D内解析,则可得CR方程成立,即
u
vu
v
x
y且y
x
1)→
2)
由
f(z)c则
f(z)
c
0在D
内成立,
故(
2)
显然成立,
u
vi
v
ui
0
u
u
0u(x,y)
f(z)
2)→
3)
由
x
x
y
y
x
y
是常数
即
Ref(z)
常数
v
0
y
v(x,y)
uu
0
v
0
3)→
4)
u
常数
xy
由C
R条件
x
是常数
Imf(z)常数
4)
→5)若
Imf(z)
c,f(z)
uic,f(z)uic1,因f(z)在D内解析
u
vc
u
vc
0,
0
x
yy
y
xx
u
(c),
u
(c)
即x
y
y
x
一阶偏导连续且满足
C
R条件f(z)在D内解析
5)
→6)
f(z)u
iv,
g(z)
f(z)uiv因g(z)解析,则由CR条件
u
v
u
v
x
y
y
x
,对f(z)在D内解析,
uv0v为常数yx
f(z)
为常数
6)→1)
f(z)
常数
f(z)=常数,令
2u
v2c
分别对
x,
y求偏导数得
u
u
u
v
0
(u2
v2)
u
0
x
y
x
v
u
uu
0
(u2
v2)
u
0
x
y
y
2若u
2v
0
则u
v0,f(z)
0
,因而得证
u
ui
0
v
2
若u2
v2
0
,则x
y
,故u
常数,由CR条件x
f(z)
常数
0,
v
为常数
*5.思考题:
(1)复变函数f(z)在一点z0可导与在z0解析有什么区别?
答:
f(z)在z0解析则必在z0可导,反之不对。
这是因为f(z)在z0解析,不但要求f(z)在z0
可导,而且要求f(z)在z0的某个邻域内可导,因此,f(z)在z0解析比f(z)在z0可导的要求高
2
得多,如f(z)z在z0=0处可导,但在z00处不解析。
(2)函数f(z)在区域D内解析与f(z)在区域D内可导有无区别?
答:
无,(两者等价)。
3)用CR条件判断f(z)u(x,y)iv(x,y)解析时应注意些什么?
答:
u(x,y),v(x,y)是否可微。
4)判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。
答:
一是定义。
二是充要条件。
三是可导(解析)函数的和、差、积、商与复合仍可导(解析)函数
练习四
uv0v为常数yx
解:
由
f(z)解
析可知
:
ux
vy
uy
vx
而ux2yuy
2(x
1)
则
vx
uy
2(x
1),v
yux
2y
所以
v(x,y)
vy
dy
2ydy
2y
(x)
2(x
1)
vx
(x)
(x)
2(x1)dx
(x
1)2c
由f
(2)
i可知c
0
f(z)
2(x
1)y
i(y2
x2
2x1)
1.由下列条件求解析函数f(z)uiv
(1)u2(x1)y,f
(2)i
v
2)
y
arctg,x
x
0.
vx
解:
因
vy
x
22
xy
f(z)解析
可知:
ux
vy
x
22
xy
uy
vx
u(x,y)
uxdx
1ln(x2
2
uyx
即f(z)
y
2
y
1ln(
2
(y)
y2)
2dx
y2
y
22xyciarctgyx
x
y2)
(y)
u(x,y)
122ln(xy)
2
22
px
2.设vesiny,求p的值使v为调和函数,并求出解析函数f(z)uiv。
解:
要使v(x,y)为调和函数,有:
vvxxvyy0,即:
p2epxsinyepxsiny0
1时,v为调和函数,要使
f(z)解析,则uxvy,uy
vx
u(x,y)uxdxvydyepxcosydx
1pxpx
uyepxsiny(y)pepxsiny
p
(y)(1p)epxsiny(y)
p
1epxcosy(y)p
(p
1)epxcosycp
px
即:
u(x,y)pecosyc
ex(cosyisiny)cezcp1f(z)xz
e(cosyisiny)cecp
3.如果f(z)uiv为解析函数,试证u是v的共轭调和函数
证:
因f(z)解析,有:
u0,v0,uxvy,uyvx
所以,u,v均为调和函数,且u亦为调和函数
vxuy
vyux故u是v的共轭调和函数
(u)
y
(u)
x
4.如果f(z)uiv是一解函数,试证:
if(z)也是解析函数
证:
因f(z)解析,则uxvy,uy
vx
且u,v均可微,从而
u也可微。
而if(z)viuvi(u)
vx
可知:
(u)uy
y
vy
ux(u)x
即满足C
R条件if(z)也是解析函数。
5.试解方程:
z
(1)e1
3i
3i2(cossin)
i(2k)1n2i(2k)
ez1
2e3e3kz
解:
33
zln2i(2k)kz
3
(2)sinzcosz0
i2z
解:
由题设可知:
ei2zi
6.求下列各式的值:
解:
Ln(34i)
(1)Ln(34i)
ln5iarg(34i)
ln5i(2karatg)
2)
33
解:
Ln33i
333
27e
iLn3
27
i(ln3i2k)
27e
iln32k
27e2k[cos(ln3)isin(ln3)]
2i
(3)e
2i2i1
解:
eee
e2(cos1isin1)
*7.思考题
(1)为什么复变指数函数是周期函数,而实变指数函数没有周期?
答:
由于实数是复数的特例,因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时,要使定义的各种复变初等函数当z取实数x时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变,但不能保持所有的性质不变。
复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。
如对复数z,一般没有ez0。
而复变
x指数函数的周期性,仅当周期是复数(2ki)时才显现出来。
所谓实变指数函数ex没有周期,是
指其没有实的周期。
(2)实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?
答:
两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。
最大的区别是,实变三角函数中,正弦函数与余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,
sinz1与
cosz1
不再成立。
因为
sinz
iziz
ee
iz
iz
iz
e
2
12ey
ey
iz
当y
时,e
0,ey
sinz
(3)怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同?
并理解复变对数函数的运算性质。
答:
因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。
所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数,LnzlnziArgz.
Lnz的主值即lnzlnziargz,是单值函数,当zx,而x0时,lnz就与高等数学中的lnx值一致了。
在复变对数函数的运算性质中,注意到等式
ln(z1z2)lnz1lnz2与ln(z1/z2)lnz1lnz2,要对其含义理解清楚。
在实变对数函数中它们的意义是明了的,但在复变指数函数中,例如,
Ln(z1z2)Lnz1z2iArg(z1z2).
lnz1lnz1iArgz1,lnz2lnz2iArgz2,
而lnz1z2lnz1lnz2,
Arg(z1z2)Argz1Argz2
左端多值函数也必有一个值使等式成
应理解为:
任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值,
即不能只考虑某
立。
反过来也一样。
也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的
单值支)。
后一式也同样理解,但对等式
nLnzLn(zn)和LnznLnz,
它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。
如对
2Lnz2lnri(24k).k0,1,2,
Ln(z2)lnr2i(22m),m0,
两者的实部是相同的,但虚部的可取值不完全相同。
而从
1,
nLnz
2
z
2,
Lnzn,取n
2i2
r2ei2,得
2时,设zrei,得
(4)调和函数与解析函数有什么关系?
答:
如果f(z)uiv是区域D内的解析函数,则它的实部u和虚部v的二阶偏导数必连续,从而满足拉普拉斯方程,所以是调和函数。
由于解析函数的导函数仍是解析函数,所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是f(z)的相应阶导数的实部和虚部,所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。
故可以推出:
u、v的任意阶偏导数仍是调和函数。
(5)若v是u的共轭调和函数,可以说u是v的共轭调和函数吗?
答:
不行,两者的地位不能颠倒。
因为,若v是u的共轭调和函数,则应有
vv
uu
成立,
yx
所能推知的是
而u是v的共轭调和函数,要求xu是v的共轭调和函数。
yx
y两者一般不能同时
习五
1.计算积分
1i
0[(x解:
0
(1,0)
[(x
(0,0)
1
(x
0
1
2
1i
0[(x
y)
y)
ix2)dx
2.计算积分
i
解:
令zre
2
y)ix2]dz,积分路径:
ix2]dz
ix]2dz
(1,0)
(0,0)[(x
自原点沿实轴至
2
y)ix2)]dz
1铅直向上至1+i。
1
0(1
i)dy
1,再由
的值,其中
C为(
1)z2;
(2)z4.
i
rei
rie
r
2ri
zdzzrzdz当r2时,为4
当r4时,为8i
3.求积分
z
e
dz
解:
cz
z
e
dz
cz
的值,其中C为由正向圆周z
z
e
dz
z2z
z
e
dz
z1z
1
c2
4.计算cz2
1
2dzcz2z
解:
dz
z
,其中
C为圆周z
2.
1dz
2z(z1)
2i2i0
2(z
dz
1)
21zdz
5.计算下列积分值:
i
sinzdz
0
1)
解:
i
sinzdz
0
cosz
1cosi
2)
1iz
zezdz
1
解:
1i
zezdz
1
zdez
(zez
ez)
1i
ie
1i
6.当积分路径是自
i(x2iy2)dz
i沿虚轴到
i,
利用积分性质证明:
证:
i(x2iy2)dzi(x2
iy2)dz
i2
iy2ds1.22
*7.思考题
1)在积分的定义中为什么要强调积分
f(z)“沿曲线C由到的积分”?
它与“沿曲线C
到的积分”有什么区别?
b
f(x)dx
答:
在定积分中已有a
bf(x)dx
,即积分是与区间的方向有关的,这里
wf(z)在C上
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