根轨迹分析法习题解答.docx
- 文档编号:27791148
- 上传时间:2023-07-05
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:466.33KB
根轨迹分析法习题解答.docx
《根轨迹分析法习题解答.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《根轨迹分析法习题解答.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
根轨迹分析法习题解答
第四章根轨迹分析法
4.1学习要点
1根轨迹的概念;
2根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用;
3根轨迹绘制法则与步骤;
4应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
4.2思考与习题祥解
题4.1思考与总结下述问题。
(1)根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
(2)在绘制根轨迹时,如何运用幅值条件与相角条件?
(3)归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
(4)总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响,归纳系统需要增加开环零、极点的情况。
答:
(1)当系统某一参数发生变化时,闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。
根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时,如何根据系统已知的开环传递函数的零极点,来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
因此,对于高阶系统,不必求解微分方程,通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响,以及要满足系
统动态要求,应如何配置系统的开环零极点,获得期望的根轨迹走向与分布。
(2)根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。
根轨迹方程可由闭环特征方程式得到,且为复数方程。
可以分解为幅值条件与相角条件。
运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上;运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
(3)归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。
除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹,如
系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换,将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上,才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程1_G(s)H(s)二0与负反馈系统的闭环特征方程1・G(s)H(s)=0存在一个符号差别。
因此,正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致,而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。
负反馈系统的相角条件(二,2k二)是180根轨迹,正反馈系统的相角条件
(0,2k二)是0根轨迹。
因此,绘制正反馈系统的根轨迹时,凡是与相角有关的绘制法则,如实轴上的根轨迹,根轨迹渐近线与实轴的夹角,根轨迹出
射角和入射角等等,都要变二•2k二角度为02k二。
(4)由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向,所以增加开环零、极点将使根轨迹的形状和走向发生改变,从而使系统性能也随之发
生变化。
一般地,增加合适的开环零点,可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势,从而改善系统的稳定性和快速性。
增加开环极点时,增加了根轨迹的条
数,改变了根轨迹渐近线的方向,可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势,削弱系统的稳定性和快速性。
增加开环零极点,都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角,可能改变
根轨迹在实轴上的分布。
如果系统期望主导极点在根轨迹左侧时,可通过增加开环零点(超前校正),使闭环系统的根轨迹向左弯曲,通过期望主导极点,满足系统动态要求;如果系统期望主导极点在根轨迹右侧时,可通过增加开环极点(滞后校
正),使闭环系统的根轨迹向右弯曲,通过期望主导极点,满足系统动态要求。
一2
(s2)(s■4)
(s2)3
解:
K
(1)G(s)H(s)=s(s+2)(s+4)
1)起点:
二个开环极点-■Pj=0,-■p2=-2,-■P3=-4,n=3o
2)终点:
无有限开环零点m=0
3)实轴上(-二,-4]、[-2,0]为根轨迹区间
4)根轨迹渐近线
所以分离点为s1
5)求分离点
6)
A,(s)B(s)_B,(s)A(s)=0得:
3s212s8=0
解得:
s=—2拓一0.845s2=—2—?
"肚一3.155
33
因为实轴上的根轨迹在4]、[-2,0]区间内,
1)起点:
二个开环极点—p1=-2,—p2二-2,—P3=-4,n=3
2)
3)
4)
终点:
无有限开环零点
实轴上(-二,-4]为根轨迹区间。
根轨迹渐近线
求分离点
2+2+4
_A:
3-0
亠±180°(2k+1)
U=
-600,1800
5)
A(s)B(s)-B(s)A(s)=0得:
3s26s20=0
解得:
Sr=-2,S2=-10
3
因为实轴上的根轨迹在(4]区间内,离点为3。
且-2为系统开环重极点
所以分
6)根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为:
s3+8s2+20s+16+K=0
将J代人s,整理得:
(K-8「2T6)•j(20••八3)=0
由此可得下列联立方程:
2-
⑷(20-J)=0
图4.2题4.2
(2)根轨迹
解得:
-=-25,K=144
根轨迹如图4.2所示
2)终点:
无有限开环零点m=0,
因此,根轨迹分成3条,它们均由-2出发趋向无限远点
3)实轴上(-二,-2]为根轨迹区间
4)根轨迹渐近线
2+2+2
-cA2
3-0
「土上「一GO。
,1800
5)求分离点
实轴上的分离点为-2。
32
s6s12s8K=0
6)根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为
将「代人s,整理得:
由此可得下列联立方程
(一68K)j(12—=0
2
K-6-8=0
(12_J)=0
解得:
•二23,K=64
可见,根轨迹与其渐近线重合。
根轨迹如图4.3所示
=64
=64
图4.3题4.2(3)根轨迹
题4.3已知负反馈控制系统的开环传递函数为
K(s3)(s2)(s4)
K(s3)
s(s2)(s4)
K(s2)
2
s(s2s2)
试绘制各系统的根轨迹图
解:
(1)
1)起点:
两个开环极点_p1--2,_0--4,n=2
2)终点:
有一个有限开环零点-Z=-3,m=
3)实轴上(-:
:
,-4]、[-3,-2]为根轨迹区间o
4)根轨迹渐近线
即:
系统根轨迹分成两条,一条从(-2,0)点出发,终止于有限开环零点
(-3,0),另一条从(-4,0)点出发,沿正实轴方向趋于无限远点。
根轨迹如图4.4所示。
-K_X-
-4-3-2
图4.4题4.3
(1)根轨迹
s(s+2)(s+4)
1)起点:
三个开环极点-P1=0,-P2--2,-P3--4,n=3
2)终点:
一个有限开环零点一Z=一3,m=1。
3)实轴上[-4,-3]、[-2,0]为根轨迹区间。
4)根轨迹渐近线
024-33
5)求分离点
A,(s)B(s)_B,(s)A(s)=0
得:
2s315s236s24=0
因为实轴上的分离点应该在[-2,0]区间内,利用凑试法可得
0M-1.1O
根轨迹如图4.5所示。
图4.5题4.3
(2)根轨迹
(3)G(s)H(s)二
K(s2)
2s(s2s2)
1)起点:
二个开环极点~'Pi=0,~■p2=-1・j,_'P3=—1-'j,n=3o
2)终点:
一个有限开环零点一z=-2,m=1
3)实轴上[-2,0]为根轨迹区间
4)
根轨迹渐近线
即渐近线为虚轴
5)根轨迹的出射角
n斗m
由可=1800八匚)得:
jZ±id
十=1800-(135090。
_450)=00故-2=00根轨迹如图4.6所示
图4.6题4.3(3)
试绘
题4.4有一个开环传递函数为G(s)H(s)=2K(Sl)的负反馈系统
s(0.5s+1)
制系统的根轨迹。
解:
1)起点:
二个开环极点-Pi--p2=0,-p3--2,n=3o
2)终点:
一个有限开环零点
3)实轴上[-2,-1]为根轨迹区间
4)根轨迹渐近线
002-1
3-1
1800(2k1U900
3-1
根轨迹如图4.7所示
图4.7题4.4根轨迹
题4.5已知负反馈控制系统的开环传递函数
G(s)H(s)K,试证明-1j3是该系统根轨迹上的一点
(s+1)(s+2)(s+4)
并求出相应的K值。
解:
系统有二个开环极点,无开环有限零点。
开环零极点与s=-1•j..3
点的分布如图4.8所示
图4.8题4.5系统开环零极点分布
1)若s为根轨迹上的点,则必满足相角条件,即:
(sP)(sP2)(sP3)=90°60°30°=180°
•Is是根轨迹上的一点。
2)求与s相应的K值。
根据幅值条件:
1_
1
_1_1
K-
(s+PJ(s+P2)(s+P3)
込nW12
所以K=12
4.6设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)二K(S6),试证明该系统
s(s+4)
根轨迹为一圆形,并指出其圆心和半径。
证明:
设s为系统根轨迹上的一点,则根据相角条件有:
.(s6)-.s-.(s4)=180°
令s_;「j,
可得.(二j••6)_•(匚j-.(二j••4)=180°
0
即:
arctgarctg—-arctg180
■亠6.4
整理得:
arctgarctg—=1800arctg—
6.4
利用反正切公式,可得:
题4.7有一开环传递函数为G(s)H(s)的负反馈控制系统,
s(s+2)(s+4)
试用根轨迹法求使闭环系统主导极点的衰减系数等于0.5时的K值,并求出此
时闭环系统的特征根。
解:
系统的根轨迹如图4.9所示。
当=0.5时,阻尼角为arccos0.5=600,此时阻尼线与根轨迹的交点即为系统的闭环主导极点,而相应的K值即为所求。
设主导极点为S__•nj1_2,'n,足--n-j】1-'’n
代入特征方程得:
K(-‘n-j1-2n)(-n-j、1-2'n2)(-「n—j.1-2,n4)=0
取S1(S2同理),并将.=0.5代入上式,得:
图4.9题4.7根轨迹及阻尼角图
即当.=0.5时,K=9,而此时闭环系统的特征根为
s^-一0.7j1.2,S2二_0.7-j1.2,S3二-4.7。
题4.8已知负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)二
论零点-z=-a对系统根轨迹的影响。
(分别取a=0.5,1.5,
如图4.10(b)、(c)、(d)所示
图4.10题4.8系统根轨迹
在(a)图中,当系统不具有开环零点时,与实轴成600方向趋向无穷远的分支,随着K值的增加,将穿过虚轴进入右半S平面,系统会随之不稳定。
在
(b)、(c)、(d)图中,由于增加了零点,与实轴成60°方向趋向无穷远的分支,拐向直角方向延伸,其结果是改善了系统的稳定性。
并且可以看出:
当开环零点由左向右移动时,根轨迹会向相反的方向,即朝左移动,使稳定性进一步得到改善
题4.9已知负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)二K2(ST),试求K=1
s(s+2)
时,以T为参变量的根轨迹。
解:
K=1时,系统的闭环特征方程为
s+T
1G(s)H(s)0
s(s+2)
即s2(s2)s'T=0
可得以T为参变量时的等效开环传递函数为
2
2
绘制以T为参变量时系统根轨迹:
1)起点:
二个开环极点-卩勺二。
-p2〜-1,-P31-1,n=3
2)终点:
无开环有限零点m=0。
3)实轴上(-二,-1]、T,0]为根轨迹区间。
4)根轨迹渐近线
5)根轨迹的分离点
A'(s)B(s)-B'(s)A(s)=0得:
3s24s^0
1
解得Sj=T,s2二-一
3
6)根轨迹与虚轴的交点
将j■代人s,整理得:
(-2「2,T)*j(;〃•;〃3)=0
由此可得下列联立方程
解得:
一_1,T=2
根据以上信息,可绘制根轨迹如图4.11所示
题4.10试绘制如下图所示系统以.为参变量的根轨迹。
题4.10系统结构图
解:
(1)找等效传递函数
由系统结构图,可知系统开环传递函数为:
6(1s)
G(s)H(s^s(s
(1)(s}2)
因此,闭环系统的特征方程式为
6(1+is)
1G(s)H(s)=10
s(s+1)(s+2)
即s(s-1)(s2)66^0
可得以•为参变量时的等效开环传递函数为
6s
(2)绘制根轨迹
起点:
三个开环极点-P1=「2,
1)
2)
终点:
一个有限开环零点
_P2二-j2,-卩3=-3,n=3o
=0,m=1
7O
3)
实轴上[-3,0]为根轨迹区间。
4)
根轨迹渐近线
_3+jV2_jJ2
3-1
丁=_18°0(2k―亠。
3-1
5)根轨迹的出射角
n」m
由J=180°可■)得:
r:
180°-(25°90°-90°)=155°
故匕=-155°
根据以上信息,可绘制根轨迹如图4.12所示
图4.12题4.10根轨迹
题4.11已知正反馈系统开环传递函数为G(s)H(s)=K(1「s),试绘制系统s(s+2)
的根轨迹。
解:
应按零度根轨迹规则,绘制系统的根轨迹。
1)起点:
两个开环极点-p1=0,-p2--2,n=2。
2)终点:
一个有限开环零点一Z=簽m=1。
3)实轴上[-2,°]、1,二)为根轨迹区间。
根轨迹的分离点
4)
A(s)B(s)-A(s)B(s)=0得:
s2-2s-2=0
解得s^--0.732,S2=2.732
4)根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为:
s2•2s-Ks•K=°
将s=j「代入上式,整理得:
(-・2•K)•j(2,■-K■)=°
K_(02=0
由此可联立方程:
K°
灼(2_K)=0
解得:
-=-.2,K=2。
可以证明系统的根轨迹时以开环零点-Z=1为圆心,以开环零点到分离
点S、S2的距离.3为半径的圆。
如图4.13所示。
图4.13题4.11根轨迹
1)起点:
四个开环极点_■p1=-p2=0,-p3=〜2,—p4=〜
2)终点:
一个有限开环零点-z=-1,m=1。
5)根轨迹的分离点
A,(s)B(s)_B,(s)A(s)=0
得:
(4s18s216s)(s1)-s2(s26s8)=0s(3s3+16s2+26s+16)=0
求得:
s比3.08-S2=0,3,4比T.12士j0.68
根据实轴上系统根轨迹的分布-所以分离点为&=3.08
正反馈系统根轨迹如图4.14(a)所示
(2)负反馈系统的根轨迹。
(此时应该按常规根轨迹规则绘制)
1)起点:
四个开环极点-Pl=-P2=0,-P3=-2,-P4=-4n=4
2)终点:
一个有限开环零点-Z=-1,m=1。
3)实轴上[~4,:
:
)、[-2,-1]为根轨迹区间。
4)根轨迹渐近线
2+4—15
一:
-A二
4-13
5)根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为:
s4•6s3•8s2•Ks•K=0
将J代人s,整理得:
C'4-82K)j(^-6.3^0
由此可得下列联立方程
K亠心4-82=0
(K-62)=0
解得:
'-二-2,K=12
负反馈系统根轨迹如图4.14(b)所示
图4.14题4.12系统根轨迹
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 轨迹 分析 习题 解答