高中数学核心知识点常考题型精析计数原理.docx
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高中数学核心知识点常考题型精析计数原理
高中数学核心知识点常考题型精析:
计数原理(文)
题型一、组合问题
1.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( )
A.
240种
B.
360种
C.
480种
D.
720种
2.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )
A.
12种
B.
18种
C.
36种
D.
54种
3.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A.
60种
B.
70种
C.
75种
D.
150种
4.方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.
28条
B.
32条
C.
36条
D.
48条
5.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有( )
A.
30种
B.
36种
C.
42种
D.
48种
6.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( )
A.
36
B.
32
C.
28
D.
24
7.某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 _________ 种.(用数字作答)
8.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有 _________ 种(用数字作答).
9.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 _________ .
10.已知
的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[﹣1,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点,则实数k的取值范围是 _________ .
11.设集合A={(x1,x2,x3,x4)|xi∈{﹣1,0,1},i=1,2,3,4},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤3”的元素个数为 _________ .
题型二、二项式中系数最值问题
12.若二项式
展开式中含有常数项,则n的最小取值是( )
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
题型三、二项展开式中的特定项及其系数
13.(1﹣3x)5的展开式中x3的系数为( )
A.
﹣270
B.
﹣90
C.
90
D.
270
14.(1﹣x)10的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为:
_________ .
15.设常数a∈R,若
的二项展开式中x7项的系数为﹣10,则a= _________ .
16.设(1﹣x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8,则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|= _________ .
17.二项式
的展开式(按x的降幂排列)中的第4项是 _________ .
18.(x﹣
)4的展开式中的常数项为 _________ (用数字作答)
题型四、分步乘法计数原理的应用
19.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A.
12种
B.
24种
C.
30种
D.
36种
20.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )
A.
56
B.
65
C.
D.
6×5×4×3×2
21.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有 _________ 种.(用数字作答)
题型五、分类加法计数原理的应用
22.用数字“1,2”组成一个四位数,则数字“1,2”都出现的四位数有 _________ 个.
23.一家5口春节回老家探亲,买到了如下图的一排5张车票:
其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置,小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一,则座位的安排方式一共有 _________ 种.
24.某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A、B不能住同一房间,则共有 _________ 种不同的安排方法(用数字作答).
题型六、二项式与数列
25.已知数列{an}的首项为1,设f(n)=a1Cn1+a2Cn2+…+akCnk+…+anCnn(n∈N*).
(1)若{an}为常数列,求f(4)的值;
(2)若{an}为公比为2的等比数列,求f(n)的解析式;
(3)数列{an}能否成等差数列,使得f(n)﹣1=2n•(n﹣1)对一切n∈N*都成立?
若能,求出数列{an}的通项公式;若不能,试说明理由.
题型七、排列、组合的创新题
26.将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数
,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.
(1)求p(100);
(2)当n≤2014时,求F(n)的表达式;
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)﹣g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.
高中数学核心知识点常考题型精析:
计数原理(文)
参考答案与试题解析
题型一、组合问题
1.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序有( )
A.
240种
B.
360种
C.
480种
D.
720种
考点:
排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
直接从中间的4个演讲的位置,选1个给甲,其余全排列即可.
解答:
解:
因为6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,甲先安排在除开始与结尾的位置还有
个选择,剩余的元素与位置进行全排列有
,所以甲只能在中间的4个位置,所以不同的演讲次序有
=480种.
故选C.
点评:
本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用,考查计算能力.
2.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )
A.
12种
B.
18种
C.
36种
D.
54种
考点:
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题是一个分步计数问题,首先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42,余下放入最后一个信封,根据分步计数原理得到结果.
解答:
解:
由题意知,本题是一个分步计数问题,
∵先从3个信封中选一个放1,2,有
=3种不同的选法;根据分组公式,其他四封信放入两个信封,每个信封两个有
=6种放法,
∴共有3×6×1=18,
故选B.
点评:
本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中,这里包含两个步骤,先平均分组,再排列.
3.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A.
60种
B.
70种
C.
75种
D.
150种
考点:
排列、组合及简单计数问题;排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
专题:
排列组合.
分析:
根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
解答:
解:
根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,
再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,
则不同的选法共有15×5=75种;
故选C.
点评:
本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.
4.方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.
28条
B.
32条
C.
36条
D.
48条
考点:
排列、组合及简单计数问题;抛物线的标准方程.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
方程变形得
,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,然后进行排列.
解答:
解:
方程变形得
,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,
先排a,b,有
种,c有
种,所以表示抛物线的曲线共有
,又因为当b=±2时,b2都等于4,所以重复的抛物线有
种,所以不同的抛物线有
﹣
=32条.
故选B.
点评:
此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的9条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法,要能熟练运用.
5.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有( )
A.
30种
B.
36种
C.
42种
D.
48种
考点:
组合及组合数公式.菁优网版权所有
专题:
常规题型;压轴题.
分析:
根据题意,分析可得,不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值14日或乙值16日的排法数,再加上甲值14日且乙值16日的排法,进而计算可得答案.
解答:
解:
根据题意,不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值14日或乙值16日的排法数,再加上甲值14日且乙值16日的排法,
即C62C42﹣2×C51C42+C41C31=42,
故选C.
点评:
本题考查组合数公式的运用,注意组合与排列的不同,本题中,要注意各种排法间的关系,避免重复、遗漏.
6.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( )
A.
36
B.
32
C.
28
D.
24
考点:
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
依题意,分①5在两端与②5不在两端两种情况,进而分析1、2两个数的情况数目,由分类计数的加法原理计算可得答案.
解答:
解:
如果5在两端,则1、2有三个位置可选,
排法为2×A32A22=24种,
如果5不在两端,则1、2只有两个位置可选,首先排5,有
=3种,然后排1和2,有A22A22=12种,
3×A22A22=12种,
共计12+24=36种;
故选A.
点评:
本题考查排列、组合的应用,注意优先分析受限制的特殊元素与分类讨论的方法的使用.
7.某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 30 种.(用数字作答)
考点:
组合及组合数公式.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题;分类讨论.
分析:
由题意分类:
(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,确定选法;
(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,确定选法;然后求和即可.
解答:
解:
分以下2种情况:
(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;
(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.
所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.
故答案为:
30
点评:
本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
8.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有 90 种(用数字作答).
考点:
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据分组分配问题的思路,先将5人分成3组,计算可得其分组情况,进而将其分配到三个不同场馆,由排列公式可得其情况种数,由分步计数原理计算可得答案.
解答:
解:
根据题意,首先将5人分成3组,
由分组公式可得,共有
=15种不同分组方法,
进而将其分配到三个不同场馆,有A33=6种情况,
由分步计数原理可得,不同的分配方案有15×6=90种,
故答案为90.
点评:
本题考查排列组合里分组分配问题,注意一般分析顺序为先分组,再分配.
9.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为
.
考点:
排列、组合及简单计数问题;古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
专题:
计算题;概率与统计.
分析:
甲、乙两人相邻,可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列,然后代入古典概率的求解公式即可求解
解答:
解:
记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有
=6,
则甲、乙两人相邻而站,把甲和乙当做一个整体,甲和乙的排列有
种,然后把甲乙整体和丙进行排列,有
种,因此共有
=4种站法
∴
=
故答案为:
点评:
本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解,本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列,本题是一个基础题.
10.已知
的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[﹣1,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点,则实数k的取值范围是
.
考点:
二项式定理;函数零点的判定定理.菁优网版权所有
专题:
综合题;转化思想;综合法.
分析:
先求出展开式中的常数项T,求得函数的周期是2,由于g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点,即函数f(x)与r(x)=kx+k有四个交点,根据两个函数的图象特征转化出等价条件,得到关于k的不等式,求解易得.
解答:
解:
∵
的常数项为
=2
∴f(x)是以2为周期的偶函数
∵区间[﹣1,3]是两个周期
∴区间[﹣1,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点可转化为f(x)与r(x)=kx+k有四个交点
当k=0时,两函数图象只有两个交点,不合题意
当k≠0时,∵r(﹣1)=0,两函数图象有四个交点,必有0<r(3)≤1解得0<k≤
故答案为:
点评:
本题考点二项式定理,主要考查依据题设条件灵活转化的能力,如g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点,即函数f(x)与r(x)=kx+k有四个交点,灵活转化是正确转化是解题的关键.
11.设集合A={(x1,x2,x3,x4)|xi∈{﹣1,0,1},i=1,2,3,4},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤3”的元素个数为 64 .
考点:
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤3”入手,由x得取值,绝对值只能是1或0,将x分为两组A={0},B={﹣1,1},分别讨论xi所有取值的可能性,分为4个数值中有1个是0,2个是0,3个是0这样的三种情况分别进行讨论.
解答:
解:
由题目中“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤3”考虑x1,x2,x3,x4的可能取值,设A={0},B={﹣1,1}
分为①有1个取值为0,另外3个从B中取,共有方法数:
•23=32;
②有2个取值为0,另外2个从B中取,共有方法数:
•22=24;
③有3个取值为0,另外1个从B中取,共有方法数:
•21=8
∴元素个数为32+24+8=64.
故答案为:
64.
点评:
本题看似集合题,其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中,分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法,也是高考中一定会考查到的思想方法.
题型二、二项式中系数最值问题
12.若二项式
展开式中含有常数项,则n的最小取值是( )
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
考点:
二项式定理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为0方程有解.由于n,r都是整数求出最小的正整数n.
解答:
解:
展开式的通项为Tr+1=3n﹣r(﹣2)rCnrx2n﹣
令2n﹣
=0,据题意此方程有解
∴n=
,当r=6时,n最小为7.
故选C.
点评:
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,属于中档题.
题型三、二项展开式中的特定项及其系数
13.(1﹣3x)5的展开式中x3的系数为( )
A.
﹣270
B.
﹣90
C.
90
D.
270
考点:
二项式系数的性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由(1﹣3x)5的展开式的通项公式Tr+1=
•(﹣3x)r,令r=3即可求得x3的系数.
解答:
解:
设(1﹣3x)5的展开式的通项公式为Tr+1,
则Tr+1=
•(﹣3x)r,
令r=3,得x3的系数为:
(﹣3)3•
=﹣27×10=﹣270.
故选A.
点评:
本题考查二项式系数的性质,着重考查二项式(1﹣3x)5的展开式的通项公式的应用,属于中档题.
14.(1﹣x)10的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为:
0 .
考点:
二项式系数的性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数分别取1;9求出展开式的x的系数与x9的系数;求出两个系数的差.
解答:
解:
展开式的通项为Tr+1=(﹣1)rC10rxr
所以展开式的x的系数﹣10
x9的系数﹣10
x的系数与x9的系数之差为(﹣10)﹣(﹣10)=0
故答案为:
0
点评:
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.
15.设常数a∈R,若
的二项展开式中x7项的系数为﹣10,则a= ﹣2 .
考点:
二项式系数的性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项,令x的指数为7求得x7的系数,列出方程求解即可.
解答:
解:
的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r(
)r=C5rx10﹣3rar
令10﹣3r=7得r=1,
∴x7的系数是aC51
∵x7的系数是﹣10,
∴aC51=﹣10,
解得a=﹣2.
故答案为:
﹣2.
点评:
本题主要考查了二项式系数的性质.二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.
16.设(1﹣x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8,则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|= 256 .
考点:
二项式系数的性质.菁优网版权所有
专题:
二项式定理.
分析:
由题意可得(1+x)8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8,在此等式中,令x=1,可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值.
解答:
解:
由题意可得(1+x)8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8,
在此等式中,令x=1,可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256,
故答案为:
256.
点评:
本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的x赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题.
17.二项式
的展开式(按x的降幂排列)中的第4项是 ﹣84x3 .
考点:
二项式系数的性质.菁优网版权所有
专题:
二项式定理.
分析:
根据二项展开式的通项公式,即可求得展开式(按x的降幂排列)中的第4项.
解答:
解:
二项式
的展开式的通项公式为Tr+1=
•(﹣1)r•x9﹣2r,
故按x的降幂排列中的第4项为﹣
•x3=﹣84x3,
故答案为:
﹣84x3.
点评:
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
18.(x﹣
)4的展开式中的常数项为 24 (用数字作答)
考点:
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分析:
利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项,令x的指数为0得常数项.
解答:
解:
展开式的通项公式为Tr+1=
=(﹣2)rC4rx4﹣2r
令4﹣2r=0得r=2
得常数项为C42(﹣2)2=24.
故答案为24.
点评:
二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.
题型四、分步乘法计数原理的应用
19.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A.
12种
B.
24种
C.
30种
D.
36种
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题是一个分步计数问题,恰有2人选修课程甲,共有C42种结果,余下的两个人各有两种选法,共有2×2种结果,根据分步计数原理得到结果.
解答:
解:
由题意知本题是一个分步计数问题,
∵恰有2人选修课程甲,共有C42=6种结果,
∴余下的两个人各有两种选法,共有2×2=4种结果,
根据分步计数原理知共有6×4=24种结果
故选B.
点评:
本题考查分步计数问题,解题时注意本题需要分步来解,观察做完这件事一共有几步,每一步包括几种方法,这样看清楚把结果数相乘得到结果.
20.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )
A.
56
B.
65
C.
D.
6×5×4×3×2
考点:
分步乘法计数原理.菁优网版权所有
分析:
6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,实际上是有6个人选择座位,且每人有5种选择方法,
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