数独方法及技巧小图小学数独方法.docx
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数独方法及技巧小图小学数独方法
数独技巧(SudokuStrategies)
数独快速入门〔上篇〕
数独快速入门〔中篇〕
数独快速入门〔下篇〕
数独快速入门〔上篇〕
例一:
在左边第一个九宫格里,哪格可以放数字1,先看到再第一列和第二列里已经有了数字1,所以很明显了,除了棕色格子之外,上面两列格子已经不能放1了。
例二:
换个进阶例来看看,第一列和第二列不能放1,但仅就第三列而言,2的旁边似乎都可以放1的样子,但再看看被颜色标示的第三行,看到第三行有1之后,就知道棕色格子应该放1。
例三:
来个更进阶点的,想想左上角第一个九宫格里,哪一格可以放1,
再看先看看前两列,应该不能放1,
看被颜色标示的第二行与第三行,又是不能放1,
很显然的,就只有棕色格子能放1。
例四:
再看看这个重要例,想想左上角第一个九宫格里,哪格可以放1,先看看被颜色标示的第二列,再看看被颜色标示的第二行,经过分析后可知1要放在这棕色格子。
例五:
换个轻松点的例,看看第一列,数字有哪些,显而易见的就是缺1。
数独快速入门〔中篇〕
例一:
看看这个比上篇难的,想想1能放在哪里呢,被颜色标示起来的第一列和第一行已经不能放1了,就左上角的九宫格而言,在红色标示区域似乎是可以摆1的,但在这里而言,似乎无法决定1放在两格红色区域的哪一格,所以,可以先看看邻近的九宫格,发现到棕色格子能放1喔,这时候就不用怀疑马上写下1。
例二:
看看这个有技术性的,想想1能放在哪里,看到黄色的第一列已经有1,所以不能再放1了,就中央的九宫格而言,合理的推论,1一定是在第二列中央红色三格的其中之一了,既然知道第二列的情况,再考虑黄色区域后,那么可以先确定右方九宫格的1必然放在这棕色格子。
例三:
由上篇的概念再进阶,考虑这上面三个九宫格,看看能否决定1的位置,黄色标示的第三行已先被排除,就第一个九宫格而言,1一定在红色区域,就黄色标示区域来看,已不能再放1了,这时可以马上先决定右上九宫格里的棕色格子是能放1的啦。
例四:
看到这左上方九宫格的第一列,就可以马上知道缺了哪两个数字,是不是已经看出红色格子不是1就是9了,但是又看到第二行有1,所以很轻松知道左上棕色格子一定是1,接下来9就确定在红色格子了。
例五:
先看看这第一列,左上方的九宫格里,第一列绝对有1、8、9,再考虑到第一行黄色区域,看到有8和9,这下就可确定1绝对放在左上角的棕色格子。
数独快速入门〔下篇〕
例一:
来看看这个高级进阶例子,可以先把眼光放在第一列和第一行,看到在黄色区域里都有2和3,所以此黄色区域已经不能再放2和3了,这时可以考虑到左上九宫格里的红色格子能放2和3,再看到第一列和第三列的黄色区域,这黄色区域里已经不能放1,在左上九宫格里,能放1的只有红色与棕色格子,但红色格子将会被2和3所占据,所以能确定棕色格子必然为1。
例二:
看看左上方九宫格里,能否由些微线索决定1的位置,首先,看到第一列后先排除5、6、7,又因左上方九宫格里有2、3、4,再排除这三个数字,这下,在左上方九宫格的第一列,只剩下1、8、9可以填,然后,又看到第一行有8和9,所以,棕色格子必然不会是8和9,那么,就只剩下1可以填入啦!
∙直观法(DirectEliminationTechniques)
∙候选数法(CandidatesEliminationTechniques)
直观法(DirectEliminationTechniques)
经常在报章杂志上看到的数独谜题,一般就算再难都可以用直观法来解决。
它不需要象候选数法(CandidatesEliminationTechniques)那样在每个空白的单元格中用铅笔填上一大堆候选数。
你只要有相对锐利的眼光和一定的逻辑分析能力,就可以准确地把空余的数字逐个填出来。
实际上,直观法就是对数独游戏规如此的充分利用。
虽然它并不如候选数法(CandidatesEliminationTechniques)那样强大,但通常要想体会解决数独谜题的乐趣,使用直观法却是不二之选。
直观法(DirectEliminationTechniques)具有以下的特点:
轻松上手。
即便是数独新手,在拿到谜题的一刹那,就可以用直观法来解题了。
无需辅助。
在纸上解题时一般只需要一支钢笔就可以。
因为是通过推理和逻辑分析来确定哪个格填哪个数,或是哪个数填在哪个格里,所以根本不需要猜测。
容易掌握。
对于直观法(DirectEliminationTechniques)中应用的各种算法,可以很快掌握并应用于实际中。
相对简单。
比起候选数法(CandidatesEliminationTechniques),它的算法相比照拟简单,当然能解决的谜题的复杂度也相对要低。
在直观法(DirectEliminationTechniques)中,常用的算法包括:
1.单元唯一法(SolePositionTechnique)
2.单元排除法(BasicEliminationTechnique)
3.区块排除法(BlockEliminationTechnique)
4.唯一余数法(SoleNumberTechnique)
5.组合排除法(binationEliminationTechnique)
6.矩形排除法(RectangleEliminationTechnique)
1.单元唯一法(SolePositionTechnique)
这应该算是直观法中最简单的方法了。
根本上只需要看谜题,推理分析一概都用不上,这是因为要使用它所需满足的条件十清楚显。
同样,也正是因为它简单,所以只能处理很简单的谜题,或是在处理较复杂谜题的后期才用得上。
我们先来看一个例子:
在上图中,观察行B,可以看到除了[B3]外,其他所有的单元格中都已有了数字,根据数独游戏的规如此,即每行,列或区块中不能有重复的数字,如此[B3]中能填入的数字只能是行B中所未出现过的,也就是数字3。
所以可以毫不犹豫地在[B3]中填入3。
这就是单元唯一法在行中的应用。
这里的单元(Unit,orgroup),指的是行,列或区块。
所以有三种情况:
当某行有8个单元格中已有数字,或
当某列有8个单元格中已有数字,或
当某区块有8个单元格中已有数字。
无论是哪种情况,我们都可以很快地在该行,列或区块剩余的空格中填入该单元还未出现过的数字。
下面是单元唯一法在列中的应用:
在第7列中,只有[F7]未填入数字,且这一列中数字8还未出现过。
所以[F7]=8。
在区块中也是一样:
在起始于[D7]的区块中,只有[E7]还未填入数字,且这个区块中数字5还未出现过,所以可以马上在[E7]中填入5。
单元唯一法在解题初期应用的几率并不高,而在解题后期,随着越来越多的单元格填上了数字,使得应用这一方法的条件也逐渐得以满足。
2.单元排除法(BasicEliminationTechnique)
单元排除法是直观法中最常用的方法,也是在平常解决数独谜题时使用最频繁的方法。
使用得当的话,甚至可以单独处理中等难度的谜题。
使用单元排除法的目的就是要在某一单元〔即行,列或区块〕中找到能填入某一数字的唯一位置,换句话说,就是把单元中其他的空白位置都排除掉。
它对应于候选数法中的隐式唯一法。
那么要如何排除其余的空格呢?
当然还是不能忘了游戏规如此,即行,列或区块中不能有重复的数字。
从另一个角度来理解,就是
如果某行中已经有了某一数字,如此该行中的其他位置不可能再出现这一数字。
如果某列中已经有了某一数字,如此该列中的其他位置不可能再出现这一数字。
如果某区块中已经有了某一数字,如此该区块中的其他位置不可能再出现这一数字。
单纯理解上面的规如此还是不足以解题,但是在实践中这些规如此却可以交叉使用。
在实际解题过程中,应用最多也最方便的是对区块的单元排除法,我们可以先看下面这个例子:
对于起始于[D1]的区块,其未填数字的空格有6个之多,如果不使用单元排除法,是很难为这一区块填入任何数字的。
这时我们就可以利用行,列与区块的相互关系,即一个单元格既在某一行上,也同时在某一列上以与某一区块中的这种关系来解题。
观察数字9在谜题中的位置,可以看到它出现在[B2],[A4],[C7],[D8],[I1]和[H9]。
而这些位置中,只有[B2],[D8]和[I1]与起始于[D1]的区块有关联。
因为[I1]=9,它所在的第1列上的其他单元格中不可能再出现9,而区块中的[D1]和[F1]正好也在第1列上,所以这两个单元格填入9的可能性被排除。
同理,因为[B2]=9,它所在的第2列中的其他单元格不可能再填入9,而区块中的[D2]和[E2]也正好在第2列上,因此,这两个单元格填入9的可能性也被排除掉了。
再看行D,因为[D8]=9,所以该行上的[D1],[D2]和[D3]也不可能再填入9,而这些单元格正好也在起始于[D1]的区块中。
所以,这个区块中能填入数字9的位置就只剩下了[E3],这样就通过排除法找到了答案,即[E3]=9。
下面再看一个在行中使用单元排除法的例子:
在谜题中观察数字4和行H,在行H有5个空单元格无法确定数字,但是[C3]位置上的4使得其所在的第3列中的其他单元格上不能再出现4,所以[H3]不能填入4。
[I4]上的4使得其所在的区块中也不能再填入4,它帮助行H排除了两个单元格[H4]和[H6],而第8列上的[E8]中的数字4使得同样位于这一列上的[H8]也排除了填入4的可能。
这样,行H中能填入4的位置就只剩下[H9]了。
在列中也可以使用单元排除法:
在第7列中,我们试图确定能填入数字1的位置。
在行B中,数字1已经出现在[B2]上,所以[B7]不可能再填入数字1了。
而位于[D8]的数字1也使得[F7]排除了填入数字1的可能,因为它们位于同一区块中。
这样,第7列上就只有[A7]能填入数字1了。
通过上面的示例,可以看到,要对区块使用单元排除法,需要观察与该区块相交的行和列。
要对行使用单元排除法,需要观察与该行相交的区块和列。
要对列使用单元排除法,需要观察与该列相交的区块和行。
在实际解题过程中,行,列和区块之间的关系并不象上面这些图中所示的那么明显,所以需要一定的眼力和细心观察。
一般来说,先看哪个数字在谜题中出现得最多,就从哪个数字开始下手,找到还未填入这个数字的单元〔行,列或区块〕,利用已填入该数字的单元格与单元之间的关系,看能不能排除一些不可能填入该数字的位置,直到剩下唯一的位置。
如果害怕搞不清已经处理过哪些数字的话,可以从数字1开始,从左上角的区块开始一直检查到右下角的区块,看能不能在这些区块中应用单元排除法。
然后测试数字2,以此类推。
单元排除法是应用得最多的直观法,虽然在实践中经常会因为粗心而漏掉很多使用这一方法的机会,但只要勤加练习,就可以运用自如。
3.区块排除法(BlockEliminationTechnique)
区块排除法是直观法中进阶的技法。
虽然它的应用围不如单元排除法那样广泛,但用它可能找到用单元排除法无法找到的解。
有时在遇到困难无法继续时,只要用一次区块排除法,接下去解题就会势如破竹了。
区块排除法实际上是利用区块与行或列之间的关系来实现的,这一点与单元排除法颇为相似。
然而,它实际上是一种模糊排除法,也就是说,它并不象单元排除法那样利用谜题中现有确实定数字对行,列或区块进展排除,而是在不确定数字的具体位置的情况下进展排除的。
这句话听起来似乎不好理解,让我们先从一个例子入手,看看区块排除法是怎么应用的。
对于上面这个谜题,用根本的单元排除法或是单元唯一法都无法再找到解。
这时可以尝试使用区块排除法。
我们先从填入数字最多的区块着手,也就是起始于[G4]的区块,该区块中只有[H6]和[I5]为空,且剩余数字1和2还未填入。
这样,我们可以想方法确定这两个数字的位置。
观察全局,可以看到[D2]=2,根据单元排除法,它所在的第2列上不能再出现数字2,所以[H2]和[I2]将不能填入2,这使得起始于[G1]的区块中数字2可能出现的位置仅剩下[I1]和[I3],见如如下图:
虽然我们无法确定2在起始于[G1]的区块中确实定位置,但幸运的是,能填入2的位置正好都在行I上,也就是说,无论2在[I1]还是在[I3],行I的其他单元格中将不可能再出现数字2,所以可以毫不犹豫地排除在[I5]填入2的可能性,这样,对于起始于[G4]的区块而言,能填入数字2的位置就只剩下[H6]了。
所以[H6]=2。
接下来,当然毫无疑问,利用单元唯一法,在[I5]填入数字1。
先小结一下上面的求解方法:
解题时,实际上是在对目标区块〔主区块〕有影响的区块〔辅助区块〕中应用单元单元排除法,使辅助区块满足某些条件并能参与对主区块的数字排除。
实际应用中,可能出现下面四种情况:
当某数字在某个区块中可填入的位置正好都在同一行上,因为该区块中必须要有该数字,所以这一行中不在该区块的单元格上将不能再出现该数字。
当某数字在某个区块中可填入的位置正好都在同一列上,因为该区块中必须要有该数字,所以这一列中不在该区块的单元格上将不能再出现该数字。
当某数字在某行中可填入的位置正好都在同一区块上,因为该行中必须要有该数字,所以该区块中不在该行的单元格上将不能再出现该数字。
当某数字在某列中可填入的位置正好都在同一区块上,因为该列中必须要有该数字,所以该区块中不在该列的单元格上将不能再出现该数字。
其中1,2两种情况相对常见,也比拟容易判断。
上面的示例就是第1种情况。
下面我们会看到第2种情况的例子:
虽然在起始于[A7]的区块中,未填入数字的空单元格多达4个,但我们还是可以轻松地确定数字5的位置。
这是因为在起始于[G7]的区块中,我们欣喜地发现数字5可能出现的位置正好都在第8列上,这时5确实切位置已经不重要了,因为它已经满足了上面介绍的第2种情况的条件,因此可以参与对起始于[A7]的区块进展数字排除了。
在它的影响下,[A8]和[B8]中填入数字5的可能性已经不存在,因为它们都在第8列上。
这样,在起始于[A7]的区块中,数字5能填入的位置只剩下[A9]和[C9]了。
这时,我们再利用单元排除法,通过[A4]位置上的数字5再消除其所在行A上的[A9],最终得到能填入5的唯一位置[C9]。
下面看几个比拟少见的例子
在行C上,数字3的位置可以通过下面的方法来确定:
先看行B,利用单元排除法,通过[H2]和[F3]位置上的3进展列排除,得到行B中能填入3的位置为[B4]和[B5]。
碰巧的是,这两个单元格都在起始于[A4]的区块中,这时已经满足了上述情况3的条件。
利用单元排除法的区块排除,如此行C上的[C4]和[C5]都不能再填入3;再加上[F3]的列排除的共同努力,最终确定数字3在行C上的唯一位置就是[C1]。
第4种情况的例子如下:
在这个示例中,只是使用单元排除法和单元唯一法到这一步就继续不下去了。
要想求得数字8在第6列的位置,就必须要借助区块排除法。
先看第4列,通过位于[C3]和[I8]的数字8的行排除,使8在第4列可能填入的位置只剩下[D4]和[F4],而这两个单元格正好都在起始于[D4]的区块中。
因为第4列不能没有数字8,而数字8如果填在区块中的其他位置〔如[D6],[E6]或[F6]〕时将迫使[D4]和[F4]上不能再填入8,这样会导致第4列没有数字8。
因此,第6列中的[D6],[E6]和[F6]能填入数字8的可能性被排除。
这样第6列中就只剩下[B6]能填入8了。
实际解题过程中,还会碰到比拟复杂的情况,看下面的谜题:
你能确定数字3在起始于[A1]的区块中的位置吗?
先看位于[C5]的数字3,它不仅排除了同一行中[C1]和[C3]中填入3的可能性,也同时排除了同一行中[C8]和[C9]填入3的可能性,这使得在起始于[A7]的区块中,能填入3的位置只剩下[B8]和[B9],见如如下图:
利用区块排除法,在起始于[A7]的区块中,无论3在[B8]还是[B9],行B中的其他位置都不能再填入3,所以[B1],[B2]和[B3]都被排除。
于是,在起始于[A1]的区块中,能填入3的位置仅剩下[A1]和[A2]了。
但至此我们还无法确定3的准确位置,这时我们还要借助于其他的辅助区块来进一步排除。
观察起始于[D1]的区块,利用[D7]位置上的3排除同一行的[D1],以与用[G3]位置上的3排除同一列的[E3]和[F3],使区块中可能填入3的位置只余[E2]和[F2],刚好这两个位置都在第2列中,符合上面介绍的第2种情况,于是可以把[A2]也排除掉。
最后,我们就可以很肯定地在[A1]中填入数字3了。
这个例子同时使用了多个辅助区块同时参与排除。
在实际使用中虽然这种情况并不常见,但却也不少见。
关键在于如何能正确识别并恰当应用区块排除法。
相信通过大量的练习并勤于分析思考,这种方法就可以运用自如,得心应手。
下面是其他的一些例子,可以帮助更好地理解并掌握这种技法:
4.唯一余数法(SoleNumberTechnique)
唯一余数法是直观法中较不常用的方法。
虽然它很容易被理解,所以说明这个方法不需要很大篇辐,然而在实践中,却不易看出能够使用这个方法的条件是否得以满足,从而使这个方法的应用受到限制。
与单元唯一法相比,唯一余数法是确定某个单元格能填什么数的方法,而单元唯一法是确定某个数能填在哪个单元格的方法。
另外,应用单元唯一法的条件十分简单,几乎一目了然。
与候选数法相比,唯一余数法相当于显式唯一法。
虽然显式唯一法是候选数法中最简单且应用最容易的方法,但在直观法中却正好相反。
先看一个例子:
对于单元格[G9]应该填入什么数字,就算你把前面介绍的所有直观技法都用上,也不得而知。
然而,我们通过观察它所在的行,列和区块,可以发现除了数字2以外,1到9中其他的数字都出现了,其中行G中包含了7,6,9,5,3和8,第9列中包含了数字5,8,7和1,起始于[G7]的单元格中包含了3,8,4,7,5和1。
这样,如果[G9]不填入数字2,就一定会违反游戏“行,列或区块不能出现重复数字〞的规如此。
所以[G9]中的数字一定是2
总结一下,就是如果某一单元格所在的行,列与区块中共出现了8个不同的数字,那么该单元格可以确定地填入还未出现过的数字。
怎么样,很简单吧,但在实践中却不那么容易识别。
看下面的谜题:
你能看出来对哪个单元格应用唯一余数法吗?
还有这个谜题:
答案分别是[E6]=9和[I7]=9。
一般来说,只有在使用根本的排除方法都失效的情况下,才试着使用这个方法来解题。
5.组合排除法(binationEliminationTechnique)
组合排除法和区块排除法一样,都是直观法中进阶的技法,但它的应用围要更小一点。
一般情况下,根本没有机会用到这种方法解题,所以要找到相应的例子也都很困难。
当然,如果你希望优先以这个技法来解题的话,还是能碰到很多能符合使用组合排除法条件的情况。
组合排除法,顾名思义,要考虑到某种组合。
这里的组合既包括区块与区块的组合,也包括单元格与单元格的组合,利用组合的关联与排斥的关系而进展某种排除。
它也是一种模糊排除法,同样是在不确定数字的具体位置的情况下进展排除的。
下面先看一个例子:
对于上面这个谜题,你能确定数字6在起始于[G4]的区块中的位置吗?
要想获得正确的答案初看起来有些困难。
因为虽然在[G9]和[H3]已经存在了两个6,但是利用它们只能行排除区块中的[G4]和[H6]两个单元格,还是无法确定6到底是在[I4]还是在[I5]中。
这时候,组合排除法就派上用场了。
现在撇开起始于[G4]的区块,先看它上面的两个区块,即起始于[A4]和[D4]的区块。
这几个区块的共同特点是占有同样的几列,也就是第4列至第6列,因此它们之间的数字会相互直接影响。
对于起始于[A4]的区块,利用[A1]处已有的数字6进展行排除,可以得到这个区块中可能填入6的位置只剩下两个:
[B5]和[C6]。
对于起始于[D4]的区块,利用[E7]处已有的数字6进展行排除,可以得到这个区块中可能填入6的位置也剩下两个:
[F5]和[F6]。
这时,我们仍无法确定6在这两个区块中确实切位置。
但不妨对可能出现的情况作一下分析:
假设在起始于[A4]的区块中,[B5]=6,如此同一区块中的[C6]必不为6,而且[B5]还将列排除[F5],这样在起始于[D4]的区块中,只有[F6]=6。
假设在起始于[A4]的区块中,[C6]=6,如此同一区块中的[B5]必不为6,而且[C6]还将列排除[F6],这样在起始于[D4]的区块中,只有[F5]=6。
简单地说,只有两种可能:
[B5]=6且[F6]=6,或者[C6]=6且[F5]=6。
决不会再出现其他的情况。
但无论是其中哪一种情况,第5列和第6列都会有确定的6出现在这两个区块中,也就是说,第5列和第6列的其他位置不可能再出现数字6。
这样,原本无法肯定的6在起始于[G4]区块中的位置,一下子就变得明确了。
利用起始于[A4]和[D4]的区块对起始于[G4]的区块进展列排除,可以把[I5]排除掉,这样,就只剩下[I4]可以填入6了。
小结一下,组合排除法的要满足的条件如下:
如果在横向并行的两个区块中,某个数字可能填入的位置正好都分别占据一样的两行,如此这两行可以被用来对横向并行的另一区块做行排除。
如果在纵向并行的两个区块中,某个数字可能填入的位置正好都分别占据一样的两列,如此这两列可以被用来对纵向并行的另一区块做列排除。
让我们再看一个例子:
要想确定数字1在起始于[D4]的单元格中的位置,我们将设法借助于其横向上相邻两个区块的帮助。
利用[I2]的列排除,我们可以把起始于[D1]的区块中的[E2]和[F2]排除掉,这样,这个区块中能填入1的位置剩下[D1],[D3]和[E1]。
利用[H7]的列排除,可以把起始于[D7]的区块中的[E7]和[F7]排除掉,再利用[A9]的列排除,可以把这个区块中[E9]和[F9]排除掉,这样,这个区块中能填入1的位置只剩下[D8]和[E8]。
虽然在起始于[D1]的区块中,能填入1的位置多达3个,但是它们正好只分布在行D和行E上,而且在起始于[D7]的区块中能填入1的位置所占据的也是这两行。
最终1的位置只可能有三种情况:
[D1]=1且[E8]=1;或者[D3]=1且[E8]=1;或者[E1]=1且[D8]=1。
无论是哪种情况,行D和行E都会有确定的1出现在这两个区块中,也就是说,这两行的其他位置不会再出现1。
于是,
借助于这两个区块的行排除,我们可以把起始于[D4]的区块中的[D4]和[D6]排除掉,再利用[G4]位置的列排除,最终确定1的位置在[F6]。
下面是其他一些使用组合排除法的例子:
在实践中,组合排除法的实际应用机会不如区块排除法多。
但是,掌握这一技法无疑可以大大提高求解谜题的灵活性,从而增加解题的乐趣。
6.矩形排除法(RectangleEliminationTechnique)
矩形排除法虽然浅显易懂,但一般在实际解题的时候应用得却比拟少。
这是因为即使谜题中存在满足使用这一方法的情况,也很难直接看出来。
然而,相对组合排除法而言,在解题过程中倒是能有更多的机会用上矩形排除法。
下面先看一个例子:
对于这个谜题,如果不用矩形排除法是无法继续下去的。
我们将通过讲解这种技法,从而找到数字8在起始于[G1]的区块中的位置。
乍看之下,好象一筹莫展。
因为[B2]和[E3]上的8只能列排除左下角这个区块中的[G2],[H2],[G3]和[I3]这4个单元格,这时仍剩下两个单元格[G1]和[H1]无法确定。
让我们先来留意一下第6列
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